2011年(全国卷II)(含答案)高考文科数学

1 20112011 年普通高等学校招生全国统一考试 年普通高等学校招生全国统一考试 2 2 全国卷 全国卷 数学数学 文文 试题试题 一 选择题一 选择题 本大题本大题 共共 1212 题题 共计共计 6060 分分 1 设集合 U 1 2 3 4 M 1 2 3 N 2 3 4 则 M N A 1 2 B 2 3 C 2 4 D 1 4 2 函数 y 2 x 0 的反函数为 A x R B x 0 C y 4x2 x R D y 4x2 x 0 3 设向量 a b 满足 a b 1 则 a 2b A B C D 4 若变量 x y 满足约束条件则 z 2x 3y 的最小值为 A 17 B 14 C 5 D 3 5 下面四个条件中 使 a b 成立的充分而不必要的条件是 A a b 1 B a b 1 C a2 b2 D a3 b3 6 设 Sn为等差数列 an 的前 n 项和 若 a1 1 公差 d 2 Sk 2 Sk 24 则 k A 8 B 7 C 6 D 5 7 设函数 f x cos x 0 将 y f x 的图像向右平移个单位长度后 所得 的图像与原图像重合 则 的最小值等于 A B 3 C 6 D 9 8 已知直二面角 l 点 A AC l C 为垂足 点 B BD l D 为垂足 若 AB 2 AC BD 1 则 CD 2 A 2 B C D 1 9 4 位同学每人从甲 乙 丙 3 门课程中选修 1 门 则恰有 2 人选修课程甲的 不同选法共有 A 12 种 B 24 种 C 30 种 D 36 种 10 5 分 设 f x 是周期为 2 的奇函数 当 0 x 1 时 f x 2x 1 x 则 f 5 2 A B C D 11 设两圆 C1 C2都和两坐标轴相切 且都过点 4 1 则两圆心的距离 C1C2 A 4 B C 8 D 12 已知平面 截一球面得圆 M 过圆心 M 且与 成 60 二面角的平面 截该 球面得圆 N 若该球面的半径为 4 圆 M 的面积为 4 则圆 N 的面积为 A 7 B 9 C 11 D 13 二 填空题 本大题 共 4 题 共计 20 分 13 1 x 10的二项展开式中 x 的系数与 x9的系数之差为 14 已知 tan 2 则 cos 15 已知正方体 ABCD A1B1C1D1中 E 为 C1D1的中点 则异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦值为 16 已知 F1 F2分别为双曲线 C 的左 右焦点 点 A C 点 M 的 坐标为 2 0 AM 为 F1AF2的平分线 则 AF2 三 解答题 本大题 共 6 题 共计 70 分 17 设等比数列 an 的前 n 项和为 Sn 已知 a2 6 6a1 a3 30 求 an和 Sn 3 18 ABC 的内角 A B C 的对边分别为 a b c 1 求 B 2 若 A 75 b 2 求 a c 19 根据以往统计资料 某地车主购买甲种保险的概率为 0 5 购买乙种保险但 不购买甲种保险的概率为 0 3 设各车主购买保险相互独立 1 求该地 1 位车主至少购买甲 乙两种保险中的 1 种的概率 2 求该地的 3 位车主中恰有 1 位车主甲 乙两种保险都不购买的概率 20 如图 四棱锥 S ABCD 中 AB CD BC CD 侧面 SAB 为等边三角 形 AB BC 2 CD SD 1 1 证明 SD 平面 SAB 2 求 AB 与平面 SBC 所成的角的大小 4 21 已知函数 f x x3 3ax2 3 6a x 12a 4 a R 1 证明 曲线 y f x 在 x 0 处的切线过点 2 2 2 若 f x 在 x x0处取得极小值 x0 1 3 求 a 的取值范围 22 已知 O 为坐标原点 F 为椭圆 C 在 y 轴正半轴上的焦点 过 F 且斜率为的直线 l 与 C 交于 A B 两点 点 P 满足 1 证明 点 P 在 C 上 2 设点 P 关于点 O 的对称点为 Q 证明 A P B Q 四点在同一圆上 5 20112011 年普通高等学校招生全国统一考试 年普通高等学校招生全国统一考试 2 2 全国卷 全国卷 数学数学 文文 试题试题 答案解析答案解析 一 选择题 本大题 共 12 题 共计 60 分 1 5 分 D M N 1 2 3 2 3 4 2 3 又 U 1 2 3 4 M N 1 4 2 5 分 B 由 x 0 得 y 0 反函数为 x 0 3 5 分 B 由 a b 1 得 4 5 分 C 由 x y 的约束条件画出可行域如图 6 设 l0 则过 A 点时 z 的值最小 由得 A 1 1 zmin 2 1 3 1 5 5 5 分 A A 项中 a b 1 b 所以充分性成立 但必要性不成立 所以 a b 1 为 a b 成立的充分不必要条件 6 5 分 D 由 Sk 2 Sk 24 ak 1 ak 2 24 a1 kd a1 k 1 d 24 2a1 2k 1 d 24 又 a1 1 d 2 k 5 7 5 分 C 由题意得 为函数 f x cos x 的最小正周期的正整数倍 k N 6k k N 的最小值为 6 8 5 分 C 如图 AB 2 AC BD 1 连结 BC 则 ABC 为直角三角形 7 又 BCD 为直角三角形 9 5 分 B 先从 4 人中选 2 人选修甲课程 有种方法 剩余 2 人再选修剩下 的 2 门课程 有 22种方法 共有种方法 10 5 分 A f x 是周期为 2 的奇函数 11 5 分 C 由题意可设两圆的方程均为 x r 2 y r 2 r2 将 4 1 代入 可得 4 r 2 1 r 2 r2 r2 10r 17 0 此方程两根 r1 r2分别为两圆半径 两圆心的距离 12 5 分 D 由题意可得截面图形 8 圆 M 的面积为 4 圆 M 的半径为 2 与 所成二面角为 60 BMC 60 在 OMB 中 OMB 90 MB 2 OB 4 OBM 60 OB CD 在 OMN 中 OMN 30 圆 N 的面积为 二 填空题 本大题 共 4 题 共计 20 分 13 5 分 0 解析 1 x 10的通项公式 系数之差为 14 5 分 解析 tan 2 又 sin2 cos2 1 5cos2 1 9 15 5 分 解析 如图 连结 DE AD BC AE 与 BC 所成的角 即为 AE 与 AD 所成的角 即 EAD 设正方体棱长为 a 16 5 分 6 解析 F1 6 0 F2 6 0 M 2 0 F1M 8 MF2 4 由内角平分线定理得 又 AF1 AF2 2a 2 3 6 2 AF2 AF2 AF2 6 三 解答题 本大题 共 6 题 共计 70 分 17 10 分 解 设 an 的公比为 q 由题设得 10 解得或 当 a1 3 q 2 时 an 3 2n 1 Sn 3 2n 1 当 a1 2 q 3 时 an 2 3n 1 Sn 3n 1 18 12 分 解 1 由正弦定理得 由余弦定理得 b2 a2 c2 2accosB 故 因此 B 45 2 sinA sin 30 45 sin30 cos45 cos30 sin45 故 19 12 分 解 记 A 表示事件 该地的 1 位车主购买甲种保险 B 表示事件 该地的 1 位车主购买乙种保险但不购买甲种保险 C 表示事件 该地的 1 位车主至少购买甲 乙两种保险中的 1 种 D 表示事件 该地的 1 位车主甲 乙两种保险都不购买 1 P A 0 5 P B 0 3 C A B P C P A B P A P B 0 8 2 P D 1 P C 1 0 8 0 2 P E 0 2 0 82 0 384 20 12 分 解法一 11 1 取 AB 中点 E 连结 DE 则四边形 BCDE 为矩形 DE CB 2 连结 SE 则 SE AB 又 SD 1 故 ED2 SE2 SD2 所以 DSE 为直角 由 AB DE AB SE DE SE E 得 AB 平面 SDE 所以 AB SD SD 与两条相交直线 AB SE 都垂直 所以 SD 平面 SAB 2 由 AB 平面 SDE 知 平面 ABCD 平面 SDE 作 SF DE 垂足为 F 则 SF 平面 ABCD 作 FG BC 垂足为 G 则 FG DC 1 连结 SG 则 SG BC 又 BC FG SG FG G 故 BC 平面 SFG 平面 SBC 平面 SFG 作 FH SG H 为垂足 则 FH 平面 SBC 即 F 到平面 SBC 的距离为 由于 ED BC 所以 ED 平面 SBC E 到平面 SBC 的距离 d 也为 12 设 AB 与平面 SBC 所成的角为 则 解法二 以 C 为坐标原点 射线 CD 为 x 轴正半轴 建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz 设 D 1 0 0 则 A 2 2 0 B 0 2 0 又设 S x y z 则 x 0 y 0 z 0 1 x 2 y 2 z x y 2 z x 1 y z 由得 故 x 1 由得 y2 z2 1 又由得 x2 y 2 2 z2 4 即 y2 z2 4y 1 0 故 于是 故 DS AS DS BS 又 AS BS S 所以 SD 平面 SAB 2 设平面 SBC 的法向量 a m n p 13 则 又 故 取 p 2 得 又 故 AB 与平面 SBC 所成的角为 21 12 分 解 1 f x 3x2 6ax 3 6a 由 f 0 12a 4 f 0 3 6a 得曲线 y f x 在 x 0 处的切线方程 为 y 3 6a x 12a 4 由此知曲线 y f x 在 x 0 处的切线过点 2 2 2 由 f x 0 得 x2 2ax 1 2a 0 当时 f x 没有极小值 当或时 由 f x 0 得 故 x0 x2 由题设知 1 a 3 当时 不等式无解 当时 解不等式 得 综合 得 a 的取值范围是 14 22 12 分 解 1 F 0 1 l 的方程为 代入 并化简得 设 A x1 y1 B x2 y2