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文档简介

向量的范数 例1考虑下面的两个线性方程组 其解分别为 和 在对方程组的解进行误差分析 讨论解方程组的迭代法的收敛性以及讨论方程组的 优劣 时 需要利用向量与矩阵的范数的概念 定义 设X x1 x2 xn T Rn 则定义 1 向量的2 范数 2 向量的 范数 3 向量的1 范数 定义设向量X Rn 若X的实值函数N X X 满足条件 1 非负性 X 0 且 X 0的充要条件为X 0 2 齐次性 kX k X k R 3 三角不等式 对任意X Y Rn 都有 X Y X Y 则称N X X 为Rn上的向量X的范数 矩阵范数和条件数 定义 设矩阵A Rn n 若A的实值函数N A A 满足条件 1 非负性 A 0 且 A 0当且仅当A 0 2 齐次性 A A R 3 三角不等式 A B A B 4 柯西 施瓦茨不等式 AB A B 则称 A 为矩阵A的范数 定义 设向量X Rn 矩阵A Rn n 且给定一种向量范数 X p 则称 为由向量范数派生的矩阵算子范数 定理 设A aij n n 则对应于3种常见的向量范数 有3种矩阵范数 列和的最大值 行和的最大值 是ATA的最大特征值 也称为谱范数 矩阵范数的一些性质 证 x为A的特征向量 证毕 定义 设A aij n n 的特征值为 r 定义A的谱半径为 条件数和病态矩阵 若矩阵A的条件数较大 则称A为病态矩阵 注意到 因为 条件数 很小 条件数表示了对误差的放大率 同样 类似有 注 一般判断矩阵是否病态 并不计算A 1 而由经验得出 行列式很大或很小 如某些行 列近似相关 元素间相差大数量级 且无规则 主元消去过程中出现小主元 特征值相差大数量级 精确解为 A 1 解 考察A的特征根
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