北京市西城区2017-2018学年度高三上学期期末理科数学试卷.doc

北京市西城区 2017 2018 学年度第一学期期末试卷 高三数学 理科 2018 1 第第 卷卷 选择题 共 40 分 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题列出的四个选项中 选 出符合题目要求的一项 1 若集合 则 03 Axx 12 Bxx AB A 13 xx B 10 xx C 02 xx D 23 xx 2 下列函数中 在区间上单调递增的是 0 A 1yx B 1 yx C sinyx D 1 2 yx 3 执行如图所示的程序框图 输出的值为S A 2 B 6 C 30 D 270 4 已知为曲线 为参数 上的动点 设为原点 则的MC 3cos sin x y OOM 最大值是 A 1 B 2 C 3 D 4 5 实数满足 则的取值范围是 x y 10 10 10 x xy xy 2xy A 0 2 B 0 C 1 2 D 0 6 设是非零向量 且不共线 则 是 的 a b a b ab 2 2 abab A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 7 已知 是函数的图象上的相异两点 若点 到直线的距离相等 AB2 x y AB 1 2 y 则点 的横坐标之和的取值范围是AB A 1 B 2 C 1 D 2 8 在标准温度和大气压下 人体血液中氢离子的物质的量的浓度 单位 mol L 记作 和氢氧根离子的物质的量的浓度 单位 mol L 记作 的乘积等于常数 H OH 已知 pH 值的定义为 健康人体血液的 pH 值保持在 7 35 7 45 14 10 pHlg H 之间 那么健康人体血液中的可以为 H OH 参考数据 lg20 30 lg30 48 A 1 2 B 1 3 C 1 6 D 1 10 第第 卷卷 非选择题 共 110 分 二 填空题 本大题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 9 在复平面内 复数对应的点的坐标为 2i 1i 10 数列是公比为的等比数列 其前项和为 若 则 n a2n n S 2 1 2 a n a 5 S 11 在 中 的面积为 则 ABC3a 3 C ABC 3 3 4 c 12 把件不同的产品摆成一排 若其中的产品与产品都摆在产品的左侧 则不同4ABC 的摆法有 种 用数字作答 13 从一个长方体中截取部分几何体 得到一个以原长方体的 部分顶点为顶点的凸多面体 其三视图如图所示 该几何 体的表面积是 14 已知函数 若 则的值域是 若的值 2 2 1 3 xxxc f x cx x 0c f x f x 域是 则实数的取值范围是 1 2 4 c 三 解答题 本大题共 6 小题 共 80 分 解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步 骤 15 本小题满分 13 分 已知函数 2 2sincos 2 3 f xxx 求的最小正周期 f x 求在区间上的最大值 f x 0 2 16 本小题满分 13 分 已知表 1 和表 2 是某年部分日期的天安门广场升旗时刻表 表 1 某年部分日期的天安门广场升旗时刻表 日期升旗时刻日期升旗时刻日期升旗时刻日期升旗时刻 1 月 1 日7 364 月 9 日5 467 月 9 日4 5310 月 8 日6 17 1 月 21 日7 314 月 28 日5 197 月 27 日5 0710 月 26 日 6 36 2 月 10 日7 145 月 16 日4 598 月 14 日5 2411 月 13 日 6 56 3 月 2 日6 476 月 3 日4 479 月 2 日5 4212 月 1 日7 16 3 月 22 日6 156 月 22 日4 469 月 20 日5 5912 月 20 日 7 31 表 2 某年 2 月部分日期的天安门广场升旗时刻表 日期升旗时刻日期升旗时刻日期升旗时刻 2 月 1 日7 232 月 11 日 7 132 月 21 日 6 59 2 月 3 日7 222 月 13 日 7 112 月 23 日 6 57 2 月 5 日7 202 月 15 日 7 082 月 25 日 6 55 2 月 7 日7 172 月 17 日 7 052 月 27 日 6 52 2 月 9 日7 152 月 19 日 7 022 月 28 日 6 49 从表 1 的日期中随机选出一天 试估计这一天的升旗时刻早于 7 00 的概率 甲 乙二人各自从表 2 的日期中随机选择一天观看升旗 且两人的选择相互独立 记 为这两人中观看升旗的时刻早于 7 00 的人数 求的分布列和数学期望 XX E X 将表 1 和表 2 中的升旗时刻化为分数后作为样本数据 如 7 31 化为 记表 2 中 31 7 60 所有升旗时刻对应数据的方差为 表 1 和表 2 中所有升旗时刻对应数据的方差为 2 s 判断与的大小 只需写出结论 2 s 2 s 2 s 17 本小题满分 14 分 如图 三棱柱中 平面 111 ABCA B C AB 11 AAC C 1 2AAABAC 1 60A AC 过的平面交于点 交于点 1 AA 11 B CEBCF 求证 平面 1 AC 1 ABC 求证 四边形为平行四边形 1 AA EF 若 求二面角的大小 2 3 BF BC 1 BACF 18 本小题满分 13 分 已知函数 其中 esin1 ax f xx 0a 当时 求曲线在点处的切线方程 1a yf x 0 0 f 证明 在区间上恰有个零点 f x 0 2 19 本小题满分 14 分 已知椭圆过点 且离心率为 22 22 1 0 xy Cab ab 2 0 A 3 2 求椭圆的方程 C 设直线与椭圆交于两点 若直线上存在点 使得四边形3ykx C M N3x P 是平行四边形 求的值 PAMNk 20 本小题满分 13 分 数列 满足 或 n A 12 4 n aaan 1 1a n am 1 0 kk aa 1 1 2 1 kn 对任意 都存在 使得 其中且两两不相等 i j s t ijst aaaa 1 2 i j s tn 若 写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号 2m 1 1 1 2 2 21 1 1 1 2 2 2 21 1 1 1 1 2 2 2 2 记 若 证明 12n Saaa 3m 20S 若 求的最小值 2018m n 北京市西城区 2017 2018 学年度第一学期期末 高三数学 理科 参考答案及评分标准 2018 1 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 8 8 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 4040 分分 1 A 2 D 3 C 4 D 5 D 6 C 7 B 8 C 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 6 6 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 3030 分分 9 10 11 1 1 3 2n 31 4 13 12 13 14 836 1 4 1 1 2 注 第注 第 1010 1414 题第一空题第一空 2 2 分 第二空分 第二空 3 3 分分 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 8080 分分 其他正确解答过程 请参照评分标准给分其他正确解答过程 请参照评分标准给分 15 本小题满分 13 分 解 因为 2 2sincos 2 3 f xxx 4 分 1cos2 cos2cossin2sin 33 xxx 5 分 33 sin2cos21 22 xx 7 3sin 2 1 3 x 分 所以的最小正周期 8 分 f x 2 2 T 因为 0 2 x 所以 10 分 2 2 333 x 当 即时 11 2 32 x 5 12 x 分 取得最大值为 13 f x31 分 16 本小题满分 13 分 解 记事件 A 为 从表 1 的日期中随机选出一天 这一天的升旗时刻早于 7 00 1 分 在表 1 的 20 个日期中 有 15 个日期的升旗时刻早于 7 00 所以 3 153 A 204 P 分 X 可能的取值为 40 1 2 分 记事件 B 为 从表 2 的日期中随机选出一天 这一天的升旗时刻早于 7 00 则 5 分 51 B 153 P 2 B 1 B 3 PP 4 0 B B 9 P XPP 1 2 114 1 C 1 339 P X 8 1 2 B B 9 P XPP 分 所以 X 的分布列为 X012 P 4 9 4 9 1 9 10 分 4412 012 9993 E X 注 学生得到 X 所以 同样给分 1 2 3 B 12 2 33 E X 13 分 22 ss 17 本小题满分 14 分 解 因为 平面 所以 1AB 11 AAC C 1 ACAB 分 因为 三棱柱中 所以 四边形为菱形 111 ABCA B C 1 AAAC 11 AAC C 所以 3 分 11 ACAC 所以 平面 4 分 1 AC 1 ABC 因为 平面 所以 平面 5 分 11 A A B B 1 A A 11 BB C C 1 A A 11 BB C C 因为 平面平面 所以 6 分 1 AA EF 11 BB C CEF 1 A A EF 因为 平面平面 ABC 111 ABC 平面平面 平面平面 1 AA EF ABCAF 1 AA EF 1111 A B CA E 所以 7 分 1 AE AF 所以 四边形为平行四边形 8 分 1 AA EF 在平面内 过作 11 AAC CAAzAC 因为 平面 AB 11 AAC C 如图建立空间直角坐标系 9 分 Axyz 由题意得 0 0 0 A 2 0 0 B 0 2 0 C 1 0 1 3 A 1 0 3 3 C 因为 所以 2 3 BF BC 24 4 0 33 3 BFBC 所以 2 4 0 3 3 F 由 得平面的法向量为 1 ABC 1 0 1 3 AC 设平面的法向量为 1 AC F x y z n 则 即 1 0 0 AC AF n n 330 24 0 33 yz xy 令 则 所以 11 分 1y 2x 3z 2 1 3 n 所以 13 分 1 1 1 2 cos 2 AC AC AC n n n 由图知 二面角的平面角是锐角 1 BACF 所以 二面角的大小为 14 1 BACF 45 分 18 本小题满分 13 分 解 当时 1a esin1 x f xx 所以 2 分 e sincos x fxxx 因为 4 分 0 1 f 0 1f 所以曲线在点处的切线方程为 5 分 yf x 0 0 f1yx 6 分 e sincos ax fxaxx 由 得 7 分 0fx sincos0axx 因为 所以 8 分 0a 0 2 f 当 时 由 得 0 22 x sincos0axx 1 tanx a 所以 存在唯一的 使得 9 分 0 2 x 0 1 tanx a 与在区间上的情况如下 f x fx 0 x 0 0 x 0 x 0 x fx 0 f x 极大值 所以 在区间上单调递增 在区间上单调递减 11 分 f x 0 0 x 0 x 因为 12 分 0 2 0 e1e10 2 a f xf 且 0 10ff 所以 在区间上恰有 2 个零点 13 f x 0 分 19 本小题满分 14 分 解 由题意得 所以 22a 3 2 c e a 3c 分 因为 3 分 222 abc 所以 4 分 1b 所以 椭圆的方程为 5C 2 2 1 4 x y 分 若四边形是平行四边形 PAMN 则 且 6 分 PA MN PAMN 所以 直线的方程为 PA 2 yk x 所以 7 分 3 Pk 2 1PAk 设 11 M x y 22 N xy 由 得 8 分 22 3 44 ykx xy 22 41 8 380kxkx 由 得 0 2 1 2 k 且 9 分 12 2 8 3 41 k xx k 12 2 8 41 x x k 所以 22 121 2 1 4 MNkxxx x 10 2 2 22 6432 1 41 k k k 分 因为 所以 PAMN 2 22 22 6432 1 1 41 k kk k 整理得 12 分 42 1656330kk 解得 或 13 3 2 k 11 2 k 分 经检验均符合 但时不满足是平行四边形 舍去 0 3 2 k PAMN 所以 或 14 3 2 k 11 2 k 分 20 本小题满分 13 分 解 3 分 注 只得到 或只得到 给 1 分 有错解不给分 当时 设数列中出现频数依次为 由题3m n A1 2 3 123 q q q 意 1 1 2 3 i qi 假设 则有 对任意 1 4q 12st aaaa 2st 与已知矛盾 所以 1 4q 同理可证 5 分 3 4q 假设 则存在唯一的 使得 2 1q 1 2 kn 2 k a 那么 对 有 两两不相等 s t 1 12 kst aaaa k s t 与已知矛盾 所以 7 分 2 2q 综上 132 4 4 2