《一元二次方程根与系数的关系》教学设计

一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系 教学设计教学设计 教学内容教学内容 一元二次方程根与系数的关系 设计理念设计理念 根据教材内容和本人研究的课题 初中数学问题引探教学实验研究 在教学中渗 透新课标的精神 注重过程数学 注重创新教学 注重问题意识 关注学生的学习兴趣和 经验 让学生主动参与学习活动 主动探索并获取知识 教师是组织者 引导者 参与者 教材简析教材简析 一元二次方程根与系数的关系的知识内容主要是以前一单元中的求根公式为基础的 教材通过一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的根 x1 x2得出一元二次方程根与系数的关系 以及以数 x1 x2为根的一元二次方程的求方程模型 然后通过 4 个例题介绍了利用根与系 数的关系简化一些计算的知识 例如 求方程中的特定系数 求含有方程根的一些代数式 的值等问题 由方程的根确定方程的系数的方法等等 根与系数的关系也称为韦达定理 韦达是法国数学家 韦达定理是初中代数中的一 个重要定理 这是因为通过韦达定理的学习 把一元二次方程的研究推向了高级阶段 运 用韦达定理可以进一步研究数学中的许多问题 如二次三项式的因式分解 解二元二次方 程组 韦达定理对后面函数的学习研究也是作用非凡 通过近些年的中考数学试卷的分析可以得出 韦达定理及其应用是各地市中考数学 命题的热点之一 出现的题型有选择题 填空题和解答题 有的将其与三角函数 几何 二次函数等内容综合起来 形成难度系数较大的压轴题 通过韦达定理的教学 可以培养学生的创新意识 创新精神和综合分析数学问题的 能力 也为学生今后学习方程理论打下基础 教学目标教学目标 1 知识目标 要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式 能运 用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数 会求一元二次方 程两个根的倒数和与平方数 两根之差 2 能力目标 通过韦达定理的教学过程 使学生经历观察 实验 猜想 证明等数 学活动过程 发展推理能力 能有条理地 清晰地阐述自己的观点 进一步培养学生的创 新意识和创新精神 3 情感目标 通过情境教学过程 激发学生的求知欲望 培养学生积极学习数学的 态度 体验数学活动中充满着探索与创造 体验数学活动中的成功感 建立自信心 教学重难点 教学疑点及解决办法教学重难点 教学疑点及解决办法 1 重点 一元二次方程根与系数的关系 2 难点 让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系 并用语言 表述 以及由一个已知方程求作新方程 使新方程的根与已知的方程的根有某种关系 比 较抽象 学生真正掌握有一定的难度 是教学的难点 3 教学疑点 一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和 两根的积 与系数的关系 4 解决办法 在实数范围内运用韦达定理 必须注意 b2 4ac 0 这个前提条件 而应 用判别式的前提条件是方程必须是一元二次方程 即二次项系数不为零 因此 解题时 要根据题目分析题中有没有隐含条件 教学对象分析教学对象分析 本课的教学对象是初中三年级学生 学生对事物的认识多是直观 形象 的 他们所注意的多是事物外部的 直接的 具体形象的特征 所以 在教学初始 出示 一些学生所熟悉和感兴趣的东西 如 幻灯片 教学课件 卡片等 结合一元二次方程求 根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根 与系数的关系 教学资源教学资源 实物投影仪 卡片 教学课件 教法与学法教法与学法 一 教法 1 充分以学生为主体进行教学 让学生多实践 从实践中反思过程 让学生经历 韦达定理的发生发展过程 并从中体验成功的乐趣 2 采用 实践 练习 观察 发现 猜想 证明 的过程教学 引导 学生发现问题 师生共同解决问题 3 分小组讨论交流 多渠道信息反馈 4 问题引探 启发诱导 进行创新教学 二 学法指导 1 引导学生实践 观察 发现问题 猜想并推理 2 指导学生掌握思考问题的方法及解决问题的途径 3 指导学生熟练掌握根与系数的关系 并将应用问题和规律归类 教学过程设计教学过程设计 一 问题引探 一 问题引探 问题 1 在方程 ax2 bx c 0 中 a 的取值决定什么 b2 4ac 的取值呢 同学们可知道 a b c 的取值与一元二次方程 ax2 bx c 0 的根还有其它关系 今天我们进一步研究一元 二次方程的这种关系 板书课题板书课题 一元二次方程根与系数的关系 问题 2 解方程 x2 5x 6 0 并先指出 a b c 各是多少 然后再解方程 计算两根的 和与积 你能发现什么结论 现象 出示卡片 问题 3 解下列方程 1 2x2 5x 3 0 2 3x2 2x 8 0 并根据问题 2 和以上的求解填写下表 请观察上表 你能发现两根之和 两根之积与方程的系数之间有什么关系吗 问题 4 请根据以上的观察发现进一步猜想 方程 ax2 bx c 0 a 0 的根 x1 x2与 a b c 之间的关系 问题 5 你能证明上面的猜想吗 请证明 并用文字语言叙述说明 分小组讨论以上的问题 并作出推理证明 若方程 ax2 bx c 0 a 0 的两根为 x1 x2 则 x1 x2 x1 x2 板书 板书 如果 ax2 bx c 0 a 0 的两根是 x1 x2 那么 x1 x2 x1x2 由此得出一元二次方程的根与系数的关系 还可以让学生用自己的语言表述这种关 系 来加深理解和记忆 这个关系是一个法国数学家韦达发现的 所以也称之为韦达定理 板书 板书 问题 6 在方程 ax2 bx c 0 a 0 中 a b c 的作用吗 引导学生反思 性小结 二次项系数 a 是否为零 决定着方程是否为二次方程 当 a 0 时 b 0 a c 异号 方程两根互为相反数 当 a 0 时 b2 4ac 可判定根的情况 当 a 0 b2 4ac 0 时 x1 x2 x1x2 当 a 0 c 0 时 方程必有一根为 0 设计意图 1 本设计采用 实践 观察 发现 猜想 证明 的过程 使学生既 动手又动脑 且又动口 教师引导启发 避免注入式地讲授一元二次方程根与系数的关系 体现学生的主体学习特性 培养了学生的创新意识和创新精神 2 本设计遵循由特殊到一般 从实践到理论 即从感性认识上升到理性认识 的 认知规律 3 本设计注重了学生的反思过程 使学生将知识系统化 格式化 二 尝试发展 二 尝试发展 投影展现 试一试 根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积 方程两根为 x1 x2 k 是常数 1 2x2 3x 1 0 x1 x2 x1x2 2 3x2 5x 0 x1 x2 x1x2 3 5x2 x 2 0 x1 x2 x1x2 4 5x2 kx 6 0 x1 x2 x1x2 此试一试作为巩固知识而用 尝试题 1 已知方程 6x2 kx 5 0 的一个根为 1 求它的另 一个根及 k 的值 组织学生自己分析解决 然后一学生板演 其余学生在草稿本上练习 学生练习 P32 2 尝试题 2 利用根与系数的关系 求一元二次方程 2x2 3x 1 0 的两个根的 1 平方和 2 倒数和 讨论 解上面问题的思路是什么 得出 x12 x22 x1 x2 2 2 x1x2 将平方和 倒数和转化为两根和与积的代数式 三 拓展创新 三 拓展创新 1 在尝试 2 中能否求 x1 x2 的值 2 已知实数满足关系式 a2 5a 6 0 b2 5b 6 0 且 a b 能否求 a b 与 ab 的值 设计意图 1 试一试 是引导学生及时巩固本节所学的新知 根与系数的关系 其中 第 3 小题是培养学生思维严谨性和批判性 4 小题是起过渡作用设计 2 尝试题 1 2 让学生讨论完成或独立完成 可以看书完成 其系数与例题有 别 3 拓展创新 中是培养学生思维的发散性教学设计 也是开放性教学 使有 的学生的奇异思维得到发展 四 师生共同归纳小结 四 师生共同归纳小结 本课主要研究了什么 1 方程的根是由系数决定的 2 a 0 时 方程 ax2 bx c 0 是一元二次方程 3 当 a 0 b2 4ac 0 时 x1 x2 x1x2 4 b2 4ac 的值可判定根的情况 5 方程根与系数关系的有 关应用 1 已知一根求另一根及 k 的值 2 求有关代数式的值 五 作业优化设计 五 作业优化设计 P33A 1 2 B 1 1 巩固练习 已知等腰三角形的两边长 a b 是方程 x x2 2 kx 12 0 kx 12 0 的两个根 此三角形的 另一条边 c 4 求这个等腰三角形的周长 2 已知关于 x 的方程 x x2 2 2mx m2 0 其中 x1 x2分别是一个等腰三角形的腰和底 边的长 1 求证这个方程有两个不相等实数根 2 若方程的两个实数根差的绝对值是 8 并且等腰三角形的面积是 12 求这个 等腰三角形的边长 3 已知关于 x 的方程 x x2 2 3x 8 0 的两根分别是 x1 x2 求 1 x1 x2的值 2 x12 2 x2 2 2的值 板书设计 板书设计 一元二次方程根与系数的关系 如果 ax2 bx c 0 a 0 的两根是 x1 x2 那么 x1 x2 x1x2 问题 6 在方程 ax2 bx c 0 a 0 中 a b c 的作用吗 二次项系数 a 是否为零 决定着方程是否为二次方程 当 a 0 时 b 0 a c 异号 方程两根互为相反数 当 a 0 时 b2 4ac 可判定根的情况 当 a 0 b2 4ac 0 时 x1 x2 x1x2 当 a 0 c 0 时 方程必有一根为 0 教学设计思路说明 教学设计思路说明 1 一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行 它深化了两根 的和与积同系数之间的关系 是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具 必 须熟记 为进一步使用打下基础 2 以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导 向学生展示认识事物的一般规律 提倡积极思维 勇于探索的精神 借此锻炼学生分析 观察 归纳的能力及推理论证的能 力 3 一元二次方程的根与系数的关系 在中考中多以填空 选择 解答题的形式出现 考查的频率较高 也常与几何 二次函数等问题结合考查 是考试的热点 它是方程理论 的重要组成部分 4 使学生体会解题方法的多样性 开阔解题思路 优化解题方法 增强择优能力 力求让学生在自主探索和合作交流的过程中进行学习 获得数学活动经验 教师应注意引 导 一元二次方程根与系数的关系教学案例反思 案例主题 学生积极参与教学 体现了教学理念 学生主体 尝试教学 合作交 流 背景 数学教学 要紧密联系学生的生活实际 从学生的生活经验和已有知识 出发 创设生动有趣的情境 引导学生通过数学活动 掌握基本的数学知识和技能 初步 学会从数学的角度去观察事物 思考问题 激发对数学的兴趣 以及学好数学的愿望 数 学课程不仅要考虑数学自身的特点 更应遵循学生学习数学的心理规律 强调从学生已有 的生活经验出发 让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程 情景描述 一元二次方程根与系数的关系的知识内容主要是以前一单元中的求根公式为基础的 教材通过一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的根 得出一元二次方程根与系数的关系而我在教学时打乱了教材顺序是这样设计的 问题 1 解方程 x2 3x 4 0 并先指出 a b c 各是多少 然后再解方程 计算两根的 和与积 你能发现什么结论 现象 问题 2 解下列方程 1 2x2 5x 3 0 2 3x2 2x 2 0 并根据问题 1 和以上的求解填写下表 一元二次方程 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x2 3x 4 0 2x2 5x 3 0 3x2 2x 2 0 请观察上表 你能发现两根之和 两根之积与方程的系数之间有什么关系吗 问题 3 请根据以上的观察发现进一步猜想 方程 ax2 bx c 0 a 0 的根 x1 x2与 a b c 之间的关系 问题 4 你能证明上面的猜想吗 请证明 并用文字语言叙述说明 分小组讨论以上的问题 并作出推理证明 理念反思 充分以学生为主体进行教学 调动学生学习积极性 瑞士心理学家皮亚杰曾指出 一切真理都要由学生自己获得 或者由他重新 发现 至少由他重建 而不是简单地传递给他 数学课堂上 学生在教师指导下 自觉地 主动地探索知识 发现规律 让学生积极参与到学习活动中来 这是充 分发挥学生主体作用的最重要的内容 本学案注重学生主体作用 在教学过程中 学生作为学习活动的主体出现 教师 教材 教学手段都应为学生的 学 服务 教师营造宽松愉悦的课堂氛围 给予适当的激 励 引导学生积极参与教学活动 并充当教学活动的主角 教师则是这一活动过程的 组织者和指导者 学生的学习方式被确定为 尝试 学习 尝试教学理论的基本观点是 学生能尝试 尝试能成功 成功能创新 特征是 先试后导 先练后讲 尝试教学法符合现代教学论思想的要求 改变了传统的注入 式教法 把知识传授和能力培养统一起来 引起了教学过程中一系列的变化 如从教师 讲 学生听转变为在教师的指导下 学生自学 先练 教师再讲 从单纯传授知识转变 为在传授知识的同时培养能力 发展智力 等等 从心理学角度上说 尝试教学运用了 心理学中的迁移规律 重视学生已有的旧知识和生活经验在新知识学习中的作用 使先 前的知识结构改组 结合新学得的知识 使学生形成能容纳新知识的更高一级的新知识 结构 本教学案例中学生的学被确定为尝试 学习 那么教师的教学行为就 应根据学生的这一学习特点来设计相应的教学方法以及教学的组织形式 即 教师在指导学生学习 只给他们一些事实和问题 让学生积极思考 独立探 索 自己发现并掌握相应的法 则 对此本教学案例中一元二次方程根 与系数的关系没有直接给学生 而是在教师创设的问题情境中让学生多 实践 从实践中反思过程 发现而获得 在经历了观 察 分析 发现 猜想证明的过程中 使学生思维能力得到了发展 在自主 合作探究的学习过程中 尝到了探索的乐趣 体验了成功的喜悦 并获得了 战胜困难积极向上的心理体验 3 合作学习 多渠道信息反馈 小组合作学习在教学过程中有着不可忽视的优势 它可以使每个学生都能参与到教学中 来 本教学案我把水平不同的前后四个同学分为一组 编好学号并选好组长 当需要进行 分组讨论时 由组长负责 学生按不同的编号顺序进行讨论 讨论时小组内可以以一人为 中心发言人 其他同学如意见基本相同 可适当补充 如有不明白的地方可以质疑 如有 不同观点可以反驳 这样通过小组成员互相帮助 互相交流 可以共同进步 并促进良好 学习习惯的养成 在这节课里 我充分运用直观性教学原则 现实性教学原则 多样性教学原则 活动 性教学原则和过程性教学原则 在本节课的教学中 力求做到了以下几点 1 注意创设良好的问题情景 教学中注意了用学生自身和周围环境中的现象 以其他学科 中的问题为知识学习的切入点 突出了数学与现实世界 与其他学科之间的联系 使学生 感受到数学的现实意义和应用价值 为教学内容的展开奠定了比较好的基础 2 较好地贯彻了循序渐进的教学原则 在教学中 我注意先从单个几何体的观察研究再到 多个几何体的组合的研究 这样 分散了学习上的难点 使学生对新的知识有一个不断深 入的过程 效果较好 3 注重在教学中发挥学生的积极主动性和参与性 在整节课的教学中 我始终注重让学生 在教学活动中自主探索 参与 例如 通过小组活动 让学生自己体会与感受从不同的方 向看同一物体看到不同的结果 发展学生的空间观念 让学生在参与活动的过程中 做数 学 亲身体验