中考数学定义新概念压轴题以及答案.pdf

1 2013 安徽 我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所 得的四边形称为 准等腰梯形 如图1 四边形ABCD即为 准等腰梯 形 其中 B C 1 在图1所示的 准等腰梯形 ABCD中 选择合适的一个顶点引一条 直线将四边形ABCD分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等 腰三角形和一个梯形 画出一种示意图即可 2 如图2 在 准等腰梯形 ABCD中 B C E为边BC上一点 若 AB DE AE DC 求证 3 在由不平行于BC的直线AD截 PBC所得的四边形ABCD中 BAD与 ADC的平分线交于点E 若EB EC 请问当点E在四边形 ABCD内部时 即图3所示情形 四边形ABCD是不是 准等腰梯形 为什么 若点E不在四边形ABCD内部时 情况又将如何 写出你的结 论 不必说明理由 考 点 四边形综合题 菁优网版权所有 专 题 压轴题 分 析 1 根据条件 B C和梯形的定义就可以画出图形 2 根据平行线的性质就可以得出 DEC B AEC C 就可以得出 ABE DEC 由相似三角形的性质就可以求出结 论 3 根据角平分线的性质可以得出 EFB EHC 就可以得出 3 4 再有条件就可以得出 ABC DCB 从而得出结论 当点E不在四边形内部时分两种情况讨论就可以求出结论 解 答 解 1 如图1 过点D作DE BC交PB于点E 则四边形ABCD 分割成一个等腰梯形BCDE和一个三角形ADE 2 AB DE B DEC AE DC AEB C B C B AEB AB AE 在 ABE和 DEC中 ABE DEC 3 作EF AB于F EG AD于G EH CD于H BFE CHE 90 AE平分 BAD DE平分 ADC EF EG EH 在Rt EFB和Rt EHC中 Rt EFB Rt EHC HL 3 4 BE CE 1 2 1 3 2 4 即 ABC DCB ABCD为AD截某三角形所得 且AD不平行BC ABCD是 准等腰梯形 当点E不在四边形ABCD的内部时 有两种情况 如图4 当点E在BC边上时 同理可以证明 EFB EHC B C ABCD是 准等腰梯形 当点E在四边形ABCD的外部时 四边形ABCD不一定是 准等腰梯形 分两种情况 情况一 当 BED的角平分线与线段BC的垂直平分线重合时 四边形 ABCD为 准等腰梯形 情况二 当 BED的角平分线与线段BC的垂直平分线相交时 四边形 ABCD不是 准等腰梯形 点 评 本题考查了平行线的性质的运用 相似三角形的判定及性质的运 用 角平分线的性质的运用 全等三角形的判定及性质的运用 解答时多次运用角平分线的性质是关键 2 2013 安徽 我们把正六边形的顶点及其对称中心称作如图1所示 基本图的特征点 显然这样的基本图共有7个特征点 将此基本图不断 复制并平移 使得相邻两个基本图的一边重合 这样得到图2 图3 1 观察以上图形并完成下表 图形的名称基本图的个数特征点的个数 图117 图2212 图3317 图44 22 猜想 在图 n 中 特征点的个数为 5n 2 用n表示 2 如图 将图 n 放在直角坐标系中 设其中第一个基本图的对称 中心O1的坐标为 x1 2 则x1 图 2013 的对称中心的横坐标为 2013 考 点 规律型 图形的变化类 规律型 点的坐标 菁优网版权所有 专 题 压轴题 分 析 1 观察图形 结合已知条件 得出将基本图每复制并平移一 次 特征点增加5个 由此得出图4中特征点的个数为17 5 22个 进一步猜想出 在图 n 中 特征点的个数为 7 5 n 1 5n 2 2 过点O1作O1M y轴于点M 根据正六边形 等腰三角形的 性质得出 BO1M 30 再由余弦函数的定义求出O1M 即x1 然后结合图形分别得出图 2 图 3 图 4 的对称中心 的横坐标 找到规律 进而得出图 2013 的对称中心的横坐 标 解 答 解 1 由题意 可知图1中特征点有7个 图2中特征点有12个 12 7 5 1 图3中特征点有17个 17 7 5 2 所以图4中特征点有7 5 3 22个 由以上猜想 在图 n 中 特征点的个数为 7 5 n 1 5n 2 2 如图 过点O1作O1M y轴于点M 又 正六边形的中心角 60 O1C O1B O1A 2 BO1M 30 O1M O1B cos BO1M 2 x1 由题意 可得图 2 的对称中心的横坐标为 2 2 2 图 3 的对称中心的横坐标为 2 3 3 图 4 的对称中心的横坐标为 2 4 4 图 2013 的对称中心的横坐标为 2 2013 2013 故答案为22 5n 2 2013 点 评 本题借助正六边形考查了规律型 图形的变化类问题 难度适 中 关键是通过观察 归纳与总结 得到其中的规律 2 要注 意求的是整个图形的对称中心的横坐标 而不是第2013个正六边 形的对称中心的横坐标 这也是本题容易出错的地方 3 我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称 为 准等腰梯形 如图1 四边形ABCD即为 准等腰梯形 其中 B C 1 在图1所示的 准等腰梯形 ABCD中 选择合适的一个顶点引一条 直线将四边形ABCD分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等 腰三角形和一个梯形 画出一种示意图即可 2 如图2 在 准等腰梯形 ABCD中 B C E为边BC上一点 若AB DE AE DC 求证 3 如图3 在由不平行于BC的直线AD截 PBC所得的四边形ABCD 中 BAD与 ADC的平分线交于点E 若EB EC 则四边形ABCD是 不是 准等腰梯形 请说明理由 考 点 四边形综合题 菁优网版权所有 分 析 1 过点A作AE CD交BC于点E 则 ABE和四边形AECD就是 所求作的图形 2 由AB DE AE DC 就可以得出 B DEC AEB C 就可以得出 ABE DEC 就可以得出结论 3 作EF AB于F EG AD于G EH CD于H 由角平分线的 性质就可以得出EF EG EH 就可以得出 BEF BEH 就可以 得出 FBE HCE 从而得出 ABC DCB而得出结论 解 答 解 1 如图 过点A作AE CD交BC于点E AEB C B C AEB B AB AE ABE是等腰三角形 AE CD AD CD 四边形AECD是梯形 ABE和四边形AECD就是所求作的图形 2 AB DE AE DC B DEC AEB C B C AEB DEC ABE DCE 3 四边形ABCD是 准等腰梯形 理由 作EF AB于F EG AD于G EH CD于H AE平分 BAD DE平分 ADC EFB EHC 90 EF EG EH 在Rt BEF和Rt CEH中 Rt BEF Rt CEH HL FBE HCE BE BC EBC ECB EBC FBE ECB HCE ABC HCB 四边形ABCD是 准等腰梯形 点 评 本题考查了等腰三角形的性质的运用 平行线的性质的运用角平 分线的性质的运用 全等三角形的判定及性质的运用 解答时运 用等腰三角形的性质求解是关键 4 2012 保定一模 四边形一条对角线所在直线上的点 如果到这条 对角线的两端点的距离不相等 但到另一对角线的两个端点的距离相 等 则称这点为这个四边形的准等距点 如图 点P为四边形ABCD对 角线AC所在直线上的一点 PD PB PA PC 则点P为四边形ABCD的 准等距点 1 如图2 画出菱形ABCD的一个准等距点 2 如图3 作出四边形ABCD的一个准等距点 尺规作图 保留作图 痕迹 不要求写作法 3 如图4 在四边形ABCD中 P是AC上的点 PA PC 延长BP交 CD于点E 延长DP交BC于点F 且 CDF CBE CE CF 求证 点 P是四边形ABCD的准等距点 考 点 作图 复杂作图 全等三角形的判定与性质 菁优网版权所有 专 题 作图题 分 析 1 根据菱形的性质 在菱形对角线上找出除中心外的任意一点 即可 2 作对角线BD的垂直平分线于与另一对角线AC相交于点P 根 据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得点P即为所 求的准等距点 3 连接BD 先利用 角角边 证明 DCF和 BCE全等 根据全 等三角形对应边相等可得CD CB 再根据等边对等角的性质可得 CDB CBD 从而得到 PDB PBD 然后根据等角对等边 的性质可得PD PB 根据准等距点的定义即可得证 解 答 解 1 如图2 点P即为所画点 1分 答案不唯一 2 如图3 点P即为所作点 2分 答案不唯一 3 证明 连接DB 在 DCF与 BCE中 DCF BCE AAS CD CB CDB CBD PDB PBD PD PB PA PC 点P是四边形ABCD的准等距点 点 评 本题考查了复杂作图 主要利用了线段垂直平分线的作法 全等 三角形的判定与性质 读懂题意 理解准等距点的定义是解题的 关键 5 2006 福州 对于任意两个二次函数 y1 a1x2 b1x c1 y2 a2x2 b2x c2 a1a2 0 当 a1 a2 时 我们称这两个二次函数 的图象为全等抛物线 现有 ABM A 1 0 B 1 0 记过三点的二次函数抛物线 为 C 中填写相应三个点的字母 1 若已知M 0 1 ABM ABN 0 1 请通过计算判 断CABM与CABN是否为全等抛物线 2 在图2中 以A B M三点为顶点 画出平行四边形 若已知M 0 n 求抛物线CABM的解析式 并直接写出所有过平 行四边形中三个顶点且能与CABM全等的抛物线解析式 若已知M m n 当m n满足什么条件时 存在抛物线CABM根 据以上的探究结果 判断是否存在过平行四边形中三个顶点且能与 CABM全等的抛物线 若存在 请列出所有满足条件的抛物 线 C 若不存在 请说明理由 考 点 二次函数综合题 菁优网版权所有 专 题 压轴题 新定义 分 析 1 应该是全等抛物线 由于这两个抛物线虽然开口方向不同 但是开口大小一样 因此二次项的绝对值也应该相等 可用待定 系数法求出两抛物线的解析式 然后进行判断即可 2 与 1 相同都是通过构建平行四边形来得出与 ABM全等 的三角形 那么过与 ABM全等的三角形的三个顶点的抛物线都 是与CABM全等的抛物线 解 答 解 1 设抛物线CABM的解析式为y ax2 bx c 抛物线CABM过点A 1 0 B 1 0 M 0 1 抛物线CABM的解析式为y x2 1 同理可得抛物线CABN的解析式为y x2 1 1 1 CABM与CABN是全等抛物线 2 设抛物线CABM的解析式为y ax2 bx c 抛物线CABM过点A 1 0 B 1 0 M 0 n 抛物线CABM的解析式为y nx2 n 与CABM全等的抛物线有 y nx2 n y n x 1 2 y n x 1 2 当n 0且m 1时 存 在抛物线CABM 与CABM全等的抛物线有 CABN CAME CBMF 点 评 本题是函数与几何结合的综合题 解题关键是善于利用几何图形 的性质以及函数的性质和定理等知识 主要考查学生数形结合的 数学思想方法 6 2013 沈阳 定义 我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫 做 友好三角形 性质 如果两个三角形是 友好三角形 那么这两个三角形的面积相 等 理解 如图 在 ABC中 CD是AB边上的中线 那么 ACD和 BCD是 友好三角形 并且S ACD S BCD 应用 如图 在矩形ABCD中 AB 4 BC 6 点E在AD上 点F在 BC上 AE BF AF与BE交于点O 1 求证 AOB和 AOE是 友好三角形 2 连接OD 若 AOE和 DOE是 友好三角形 求四边形CDOF的 面积 探究 在 ABC中 A 30 AB 4 点D在线段AB上 连接CD ACD和 BCD是 友好三角形 将 ACD沿CD所在直线翻折 得到 A CD 若 A CD与 ABC重合部分的面积等于 ABC面积的 请直接写出 ABC的面积 考 点 四边形综合题 菁优网版权所有 专 题 压轴题 分 析 1 利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 得到四边 形ABFE是平行四边形 然后根据平行四边形的性质证得OE OB 即可证得 AOE和 AOB是友好三角形 2 AOE和 DOE是 友好三角形 即可得到E是AD的中点 则可以求得 ABE ABF的面积 根据S四边形CDOF S矩 形ABCD 2S ABF即可求解 探究 画出符合条件的两种情况 求出四边形A DCB是平行四 边形 求出BC和A D推出 ACB 90 根据三角形面积公式求出 即可 求出高CQ 求出 A DC的面积 即可求出 ABC的面 积 解 答 1 证明 四边形ABCD是矩形 AD BC AE BF 四边形ABFE是平行四边形 OE OB AOE和 AOB是友好三角形 2 解 AOE和 DOE是友好三角形 S AOE S DOE AE ED AD 3 AOB与 AOE是友好三角形 S AOB S AOE AOE FOB S AOE S FOB S AOD S ABF S四边形CDOF S矩形ABCD 2S ABF 4 6 2 4 3 12 探究 解 分为两种情况 如图1 S ACD S BCD AD BD AB 沿CD折叠A和A 重合 AD A D AB 4 2 A CD与 ABC重合部分的面积等于 ABC面积的 S DOC S ABC S BDC S ADC S A DC DO OB A O CO 四边形A DCB是平行四边形 BC A D 2 过B作BM AC于M AB 4 BAC 30 BM AB 2 BC 即C和M重合 ACB 90 由勾股定理得 AC 2 ABC的面积是 BC AC 2 2 2 如图2 S ACD S BCD AD BD AB 沿CD折叠A和A 重合 AD A D AB 4 2 A CD与 ABC重合部分的面积等于 ABC面积的 S DOC S ABC S BDC S ADC S A DC CO OA BO DO 四边形A BDC是平行四边形 BD A C 2 过C作CQ A D于Q A C 2 DA C BAC 30 CQ A C 1 S ABC 2S ADC 2S A DC 2 A D CQ 2 2 1 2 即 ABC的面积是2或2 点 评 本题考查了平行四边形性质和判定 三角形的面积 勾股定理的 应用 解这个题的关键是能根据已知题意和所学的定理进行推 理 题目比较好 但是有一定的难度 7 2012 贵阳模拟 如果一个三角形和一个矩形满足下列条件 三角 形的一边与矩形的一边完全重合 并且三角形的这条边所对的角的顶点 落在矩形与三角形重合的边的对边上 则称这样的矩形为三角形的 友 好矩形 如图 所示 矩形ABEF即为 ABC的 友好矩形 我们发 现 当 ABC是钝角三角形时 其 友好矩形 只有一个 1 仿照以上叙述 请你说明什么是一个三角形的 友好平行四边 形 2 如图 若 ABC为直角三角形 且 C 90 在图 中画出 ABC的所有 友好矩形 3 若 ABC是锐角三角形 且AB 5cm AC 7cm BC 8cm 在图 中画出 ABC的所有 友好矩形 指出其中周长最大的矩形并说明理 由 考 点 四边形综合题 菁优网版权所有 分 析 1 仿照友好矩形的定义即可得出友好平行四边形的定义 2 根据友好矩形的定义得出分别以AB为边和对角线得出 ABC的所有 友好矩形 即可 3 利用勾股定理得出BD AD的长 进而分别求出以BC AB AC为边的 友好矩形 周长比较即可 解 答 解 1 三角形的一边与平行四边形的一边完全重合 并且三角 形的这条边所对的角的顶点落在平行四边形与三角形重合的边的 对边上 则称这样的平行四边形为三角形的 友好平行四边形 2 如图 所示 3 如图 过A做AD BC于D 设BD长为x cm 则DC长为 8 x 在Rt ABD和Rt ADC中AD2 AB2 BD2 52 x2 AD2 AC2 DC2 72 8 x 2 则52 x2 72 8 x 2解得 x 2 5 过A做AD BC于D 则有 则以BC为边的 友好矩形 周长为 以AB为边的 友好矩形 周长为 以AC为边的 友好矩形 周长为 以BC为边的 友好矩形 周长最大 点 评 此题主要考查了四边形综合题以及勾股定理等知识 考查学生的 阅读理解 综合分析及分类讨论能力 难度较大 8 2012 常州 平面上有两条直线AB CD相交于点O 且 BOD 150 如图 现按如下要求规定此平面上点的 距离坐标 1 点O的 距离坐标 为 0 0 2 在直线CD上 且到直线AB的距离为p p 0 的点的 距离坐 标 为 p 0 在直线AB上 且到直线CD的距离为q q 0 的点 的 距离坐标 为 0 q 3 到直线AB CD的距离分别为p q p 0 q 0 的点的 距离坐 标 为 p q 设M为此平面上的点 其 距离坐标 为 m n 根据上述对点的 距 离坐标 的规定 解决下列问题 1 画出图形 保留画图痕迹 满足m 1 且n 0的点M的集合 满足m n的点M的集合 2 若点M在过点O且与直线CD垂直的直线l上 求m与n所满足的关系 式 说明 图中OI长为一个单位长 考 点 一次函数综合题 角平分线的性质 含30度角的直角三角形 锐 角三角函数的定义 菁优网版权所有 专 题 计算题 作图题 分 析 1 以O为圆心 以2为半径作圆 交CD于两点 则此两点为 所求 分别作 BOC和 BOD的角平分线并且反向延长 即可 求出答案 2 过M作MN AB于N 根据已知得出OM n MN m 求出 NOM 60 根据锐角三角函数得出sin60 求出即可 解 答 解 1 如图所示 点M1和M2为所求 如图所示 直线MN和直线EF为所求 2 如图 过M作MN AB于N M的 距离坐标 为 m n OM n MN m BOD 150 直线l CD MON 150 90 60 在Rt MON中 sin60 即m与n所满足的关系式是 m n 点 评 本题考查了锐角三角函数值 角平分线性质 含30度角的直角三 角形的应用 主要考查学生的动手操作能力和计算能力 注意 角平分线上的点到角两边的距离相等 9 2012 无锡 对于平面直角坐标系中的任意两点P1 x1 y1 P2 x2 y2 我们把 x1 x2 y1 y2 叫做P1 P2两点间的直角距 离 记作d P1 P2 1 已知O为坐标原点 动点P x y 满足d O P 1 请写出x与 y之间满足的关系式 并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P 所组成的图形 2 设P0 x0 y0 是一定点 Q x y 是直线y ax b上的动点 我们把d P0 Q 的最小值叫做P0到直线y ax b的直角距离 试求点 M 2 1 到直线y x 2的直角距离 考 点 一次函数综合题 菁优网版权所有 专 题 压轴题 分 析 1 根据新的运算规则知 x y 1 据此可以画出符合题意的图 形 2 根据新的运算规则知d M Q x 2 y 1 x 2 x 2 1 x 2 x 1 然后由绝对值与数轴的关系可知 x 2 x 1 表 示数轴上实数x所对应的点到数2和 1所对应的点的距离之和 其 最小值为3 解 答 解 1 由题意 得 x y 1 d O P 1 O 0 0 P x y d 0 P x y x y 1 x 0 y 0 x y 1 y 1 x x 0 y 0 x y 1 y x 1 x 0 y 0 x y 1 y x 1 x 0 y 0 x y 1 y 1 x 将四个函数关系式表示在数轴上 所有符合条件的点P组成的图形 如图所示 2 d M Q x 2 y 1 x 2 x 2 1 x 2 x 1 又 x可取一切实数 x 2 x 1 表示数轴上实数x所对应的点到 数2和 1所对应的点的距离之和 其最小值为3 点M 2 1 到直线y x 2的直角距离为3 点 评 本题考查了一次函数综合题 正确理解新定义运算法则是解题的 关键 10 2012 厦门 如图 在平面直角坐标系中 已知点A 2 3 B 6 3 连接AB 如果点P在直线y x 1上 且点P到直线AB的距 离小于1 那么称点P是线段AB的 临近点 1 判断点C 是否是线段AB的 临近点 并说明理由 2 若点Q m n 是线段AB的 临近点 求m的取值范围 考 点 一次函数综合题 菁优网版权所有 专 题 计算题 分 析 1 根据A B的坐标得出AB x轴 根据点P到直线AB的距离小 于1 求出当纵坐标y在2 y 4范围内时 点是线段AB的 临近 点 看点的纵坐标是否在y的范围内即可 2 根据线段AB的 临近点 的纵坐标的范围是2 n 4 把n 2和 n 4分别代入n m 1 求出相应的m值 即可得出点的横坐标m的 范围 解 答 解 1 点C 是线段AB的 临近点 理由是 点P到直线AB的距离小于1 A B的纵坐标都是3 AB x轴 3 1 2 3 1 4 当纵坐标y在2 y 4范围内时 点是线段AB的 临近点 点C的坐标是 y 2 且小于4 C 在直线y x 1上 点C 是线段AB的 临近点 2 点Q m n 是线段AB的 临近点 由 1 可以得出 线段AB的 临近点 的纵坐标的范围是2 n 4 把n 2代入y x 1 即n m 1 得 m 3 n 4代入y x 1 即n m 1 得 m 5 3 m 5 即m的取值范围是3 m 5 点 评 本题考查了有关一次函数的应用 通过做此题培养了学生的阅读 能力和计算能力 此题是一道非常好 比较典型的题目 11 2012 台州 定义 P Q分别是两条线段a和b上任意一点 线段 PQ的长度的最小值叫做线段a与线段b的距离 已知O 0 0 A 4 0 B m n C m 4 n 是平面直角 坐标系中四点 1 根据上述定义 当m 2 n 2时 如图1 线段BC与线段OA的距离 是 2 当m 5 n 2时 如图2 线段BC与线段OA的距离为 2 如图3 若点B落在圆心为A 半径为2的圆上 线段BC与线段OA 的距离记为d 求d关于m的函数解析式 3 当m的值变化时 动线段BC与线段OA的距离始终为2 线段BC的 中点为M 求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长 点D的坐标为 0 2 m 0 n 0 作MH x轴 垂足为H 是否存 在m的值使以A M H为顶点的三角形与 AOD相似 若存在 求出m 的值 若不存在 请说明理由 考 点 圆的综合题 勾股定理 相似三角形的判定与性质 菁优网版权所有 专 题 代数几何综合题 压轴题 分 析 1 理解新定义 按照新定义的要求求出两个距离值 2 如答图2所示 当点B落在 A上时 m的取值范围为 2 m 6 当4 m 6 显然线段BC与线段OA的距离等于 A半径 即d 2 当2 m 4时 作BN x轴于点N 线段BC与线段OA的距离等于 BN长 3 在准确理解点M运动轨迹的基础上 画出草图 如答图3所 示 由图形可以直观求出封闭图形的周长 如答图4所示 符合题意的相似三角形有三个 需要进行分类讨 论 分别利用点的坐标关系以及相似三角形比例线段关系求出m的 值 解 答 解 1 当m 2 n 2时 如题图1 线段BC与线段OA的距离 即线段BN的长 2 当m 5 n 2时 B点坐标为 5 2 线段BC与线段OA的距离 即为线段AB的 长 如答图1 过点B作BN x轴于点N 则AN 1 BN 2 在Rt ABN中 由勾股定理得 AB 2 如答图2所示 当点B落在 A上时 m的取值范围为 2 m 6 当4 m 6 显然线段BC与线段OA的距离等于 A半径 即d 2 当2 m 4时 作BN x轴于点N 线段BC与线段OA的距离等于 BN长 ON m AN OA ON 4 m 在Rt ABN中 由勾股定理得 d 3 依题意画出图形 点M的运动轨迹如答图3中粗体实线所 示 由图可见 封闭图形由上下两段长度为8的线段 以及左右两侧半 径为2的半圆所组成 其周长为 2 8 2 2 16 4 点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长为 16 4 结论 存在 m 0 n 0 点M位于第一象限 A 4 0 D 0 2 OA 2OD 如答图4所示 相似三角形有三种情形 I AM1H1 此时点M纵坐标为2 点H在A点左侧 如图 OH1 m 2 M1H1 2 AH1 OA OH1 2 m 由相似关系可知 M1H1 2AH1 即2 2 2 m m 1 II AM2H2 此时点M纵坐标为2 点H在A点右侧 如图 OH2 m 2 M2H2 2 AH2 OH2 OA m 2 由相似关系可知 M2H2 2AH2 即2 2 m 2 m