高中新课程数学苏教二轮复习《问题6平面向量》命题方向把握命题角度分析,.pdf

必考问题6 平面向量 真题体验 1 2011 江苏 10 已知e1 e2是夹角为 的两个单位向量 a e1 2e2 b ke1 e2 若a b 0 则k的值为 解析 因为e1 e2是夹角为 的两个单位向量 所以 e1 e2 cos e1 e2 cos 又a b 0 所以 e1 2e2 ke1 e2 0 即k 2 2k 0 解得k 答案 2 2012 江苏 9 如图 在矩形ABCD中 AB BC 2 点E 为BC的中点 点F在边CD上 若 则 的值是 解析 以顶点A为坐标原点 AB AD所在直线分别为x y轴建立平 面直角坐标系 则A 0 0 B 0 E 1 设F x 2 所以 0 x 2 x x 1 即F 1 2 所以 1 1 2 1 2 答案 3 2010 江苏 15 在平面直角坐标系xOy中 点A 1 2 B 2 3 C 2 1 1 求以线段AB AC为邻边的平行四边形两条对角线的长 2 设实数t满足 t 0 求t的值 解 1 法一 由题设知 3 5 1 1 则 2 6 4 4 所以 2 4 故所求的两条对角线的长分别为4 2 法二 设该平行四边形的第四个顶点为D 两条对角线的交点 为E 则E为B C的中点 E 0 1 又E 0 1 为A D的中点 所以 D 1 4 故所求的两条对角线的长分别为BC 4 AD 2 2 由题设知 2 1 t 3 2t 5 t 由 t 0 得 3 2t 5 t 2 1 0 从而5t 11 所以t 或者 t2 3 5 t 高考定位 高考对本内容的考查主要有 平面向量这部分内容在高考中的要求大部分都为B级 只有平面向 量的应用为A级要求 平面向量的数量积为C级要求 应特别重视 试题类型可能是填空题 同时在解答题中经常与三角函数综合考 查 构成中档题 应对策略 平面向量具有几何与代数形式的 双重性 是中学数学知识网络的重 要交汇点 它与三角函数 解析几何 平面几何都可以整合在一起 这 其中又以向量与三角函数的综合问题为高考中最常见 是当前的一个热 点 但通常难度不大 一般就是以向量的坐标形式给出与三角函数有关 的条件 并结合简单的向量运算 而考查的主体部分则常是三角函数的 恒等变换 以及解三角形等知识点 在复习中 我们应加强这种类型试 题的训练 争取此类问题拿满分 必备知识 1 向量的概念 1 零向量模的大小为0 方向是任意的 它与任意非零向量都共 线 记为0 2 长度等于1个单位长度的向量叫单位向量 a的单位向量为 3 方向相同或相反的向量叫共线向量 平行向量 4 如果直线l的斜率为k 则a 1 k 是直线l的一个方向向量 5 向量的投影 b cos a b 叫做b在向量a方向上的投影 2 向量的运算 1 向量的加法 减法 数乘向量是向量运算的基础 应熟练掌握其 运算规律 2 平面向量的数量积的结果是实数 而不是向量 要注意数量积运 算与实数运算在运算律方面的差异 平面向量的数量积不满足结合律与 消去律 a b的运算结果不仅与a b的长度有关 而且也与a b的夹角 有关 即a b a b cos a b 3 两非零向量平行 垂直的充要条件 若a x1 y1 b x2 y2 则a b a b x1y2 x2y1 0 a b a b 0 x1x2 y1y2 0 必备方法 1 当向量以几何图形的形式出现时 要把这个几何图形中的一个 向量用其余的向量线性表示 就要根据向量加减法的法则进行 特别是 减法法则很容易使用错误 向量 其中O为我们所需要的任何一个 点 这个法则就是终点向量减去起点向量 2 根据平行四边形法则 对于非零向量a b 当 a b a b 时 平行四边形的两条对角线长度相等 此时平行四边形是矩形 条 件 a b a b 等价于向量a b互相垂直 反之也成立 3 两个向量夹角的范围是 0 在使用平面向量解决问题时要特别注 意两个向量夹角可能是0或 的情况 如已知两个向量的夹角为钝角时 不单纯就是其数量积小于零 还要求不能反向共线 命题角度一 平面向量的线性运算 命题要点 用已知向量表示其它向量 向量的加法 减法 数 乘运算 例1 2012 大纲全国改编 ABC中 AB边的高为CD 若 a b a b 0 a 1 b 2 则 审题视点 听课记录 审题视点 由a b 0 可得 ACB 90 再利用直角三角形中的有 关性质建立关系式求解 解析 如图 a b 0 a b ACB 90 AB 又CD AB AC2 AD AB AD a b a b 答案 a b 在进行向量线性运算时要尽可能地挖掘题中的条件 利用相关图形 的性质解题 把未知量转化成与已知量有直接关系的向量来求解 突破训练1 2012 扬州质量检测 已知G1 G2分别为 A1B1C1与 A2B2C2的重心 且 e1 e2 e3 则 用e1 e2 e3表 示 解析 根据向量的线性运算求解 由 e1 e2 e3 且G1 G2分别为 A1B1C1与 A2B2C2的重心 所以 0 0 将 相加得 e1 e2 e3 答案 e1 e2 e3 命题角度二 向量共线定理的应用 命题要点 应用向量共线定理求字母的取值 向量共线定理与 其他知识的综合应用 例2 2012 南通调研 在 ABC中 a b c分别是角A B C 所对的边 且3a 4b 5c 0 则a b c 审题视点 听课记录 审题视点 利用向量的线性运算及向量的共线定理求解 解析 因为 所以原式可以变形为 3a 4b 3a 5c 0 且 不共线 所以3a 4b 5c 解得a b c 20 15 12 答案 20 15 12 平行向量定理的条件和结论是充要条件关系 既可以证明向量共 线 也可以由向量共线求参数 突破训练2 2012 徐州质检 已知向量a sin cos b 3 4 若a b 则tan 2 解析 由a b可得 4sin 3cos 0 解得tan 所以tan 2 答案 命题角度三 平面向量的数量积 命题要点 数量积的定义 利用数量积求夹角 数量积与线 性运算的综合应用 例3 如图 ABC是边长为2的等边三角形 P是以C为圆心 1为半径的圆上的任意一点 则 min 审题视点 听课记录 审题视点 根据已知条件及向量运算化简目标函数 再求最小值 解析 取AB的中点D 连接CD CP 所以 2 2 2 2 1 7 6cos 当cos 1时 取得最小值1 答案 1 求数量积的最值 一般要先利用向量的线性运算 尽可能将所求向 量转化为长度和夹角已知的向量 利用向量的数量积运算建立目标函 数 利用函数知识求解最值 突破训练3 2012 苏州期中 已知O A B是平面上不共线的三 点 设P为线段AB垂直平分线上任意一点 若 7 5 则 的值 为 解析 设AB的中点为C 则 2 2 25 49 12 答案 12 命题角度四 向量与其他知识的综合应用 命题要点 向量与三角函数综合 向量与函数综合 向量与 其它知识的综合 例4 2012 江苏 15 在 ABC中 已知 3 1 求证 tan B 3tan A 2 若cos C 求A的值 审题视点 听课记录 审题视点 1 利用已知条件 数量积定义及正弦定理知识转化为关 于A B的三角函数式求证 2 由cos C sin C tan C tan A B tan A A 1 证明 因为 3 所以AB AC cos A 3BA BC cos B 即AC cos A 3BC cos B 由正弦定理知 从而sin Bcos A 3sin Acos B 又因为0 A B 所以cos A 0 cos B 0 所以tan B 3tan A 2 解 因为cos C 0 C 所以sin C 从而tan C 2 于是tan A B 2 即tan A B 2 亦即 2 由 1 得 2 解得tan A 1或 因为cos A 0 故tan A 1 所以A 平面向量是一种工具 经常与三角函数 二次函数 平面几何知识 等综合考查 一般解法是利用向量的运算对问题进行转化 再利用相关 知识解题 突破训练4 已知平面上一定点C 2 0 和直线l x 8 P为该平面 上一动点 作PQ l 垂足为Q 且 0 1 求动点P的轨迹方程 2 若EF为圆N x2 y 1 2 1的任一条直径 求 的最值 解 1 设P x y 则Q 8 y 由 0 得 PC 2 PQ 2 0 即 x 2 2 y2 x 8 2 0 化简得 1 所以点P在椭圆上 其方程为 1 2 因 2 2 2 1 P是椭圆 1上的任一点 设P x0 y0 则有 1 即x 16 又N 0 1 所以2 x y0 1 2 y 2y0 17 y0 3 2 20 因y0 2 2 所以当y0 3时 2取得最大值20 故 的最大值 为19 当y0 2时 2取得最小值 2 1 2 13 4 此时x0 0 故 的最小 值为12 4 6 向量概念要理清 思考问题要严密 一 对向量的概念要理解透彻 例1 给出下列说法 1 零向量只与零向量相等 2 零向量没 有方向 3 单位向量都共线 4 共线的单位向量一定是相等向量 5 单位向量大于零向量 6 共线向量一定在同一条直线上 7 若向量 a b是共线向量 向量b c是共线向量 则向量a c也是共线向量 其 中正确说法的序号是 解析 由零向量是长度为0的向量 并且方向是任意的 即零向量 有方向 所以 1 正确 2 错误 因为单位向量的长度都是1 但方向是 任意的 所以 3 错误 共线向量的方向可能相同 也可能相反 所以 4 错误 向量不能比较大小 所以 5 错误 共线向量是可以平移到同 一条直线上 但不是一定在同一直线上 所以 6 错误 7 中若向量b 0时 向量a c不一定共线 所以错误 故正确说法只有 1 答案 1 老师叮咛 如果对向量的有关概念不清楚 就造成有些说法判断错 误 如不能将向量共线与直线重合区别开来 6 就容易判断为正确 对 零向量与任意一个向量平行遗忘 即可能将 7 也判断为正确 所以对向 量的概念要逐个过关 二 与向量的夹角有关的问题 例2 若向量a x 2