新高中数学离散型随机变量及其分布列全章复习题型完美新.pdf

第 1 页 共 27 页 第十二讲随机变量及其分布列 课程类型 复习 预习 习题针对学员基础 基础 中等 优秀 本章主要内容 1 离散型随机变量的定义 2 期望与方差 3 二项分布与超几何分布 本章教学目标 1 理解随机变量及离散型随机变量的含义 重点 2 会求出某些简单的离散型随机变量的分布列 重点 3 理解两点分布和超几何分布及其推导过程 并能简单的运用 难点 第一节 离散型随机变量及其分布列 知识与方法 一 离散型随机变量的定义 1 定义 在随机试验中 确定一个对应关系 使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示 在这个对 应关系下 数字随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量 随机变量是一种对应关系 实验结果必须与数字对应 数字会随着实验结果的变化而变化 2 表示 随机变量常用字母X Y 表示 授课班级授课日期学员 月日组 超几何分布 一词来源于超几何数列 就像 几何分布 来源于几何数列 几何数列又叫等比数列 几何分布 几何数列 名称的来源前面的文章已经解释过 请看一些带 几何 的数学名词来源解释 几何分布 Geometric distribution 是离散型机率分布 其中一种定义为 在第 n 次伯努利试验 才得到第一次成功的机率 详细的说 是 n 次伯努利试验 前n 1 次皆失败 第 n 次才成功的机率 课外拓展 第 2 页 共 27 页 3 所有取值可以一一列出的随机变量 称为离散型随机变量 discrete random variable 4 连续型随机变量 对于随机变量可能取的值 可以取某一区间或某几个区间内的一切值 这样的变量 就叫做连续 型随机变量 5 注意 1 有些随机试验的结果虽然不具有数量性质 但可以用数量来表达 如投掷一枚硬币 0 表示正面向上 1 表示反面向上 2 若是随机变量 baba 是常数 则也是随机变量 二 离散型随机变量的分布列 1 一般地 若离散型随机变量X 可能取的不同值为x1 x2 xi xn X 取每一个值xi i 1 2 n 的概率 P X xi pi 则称表 X x1x2 xi xn P p1p2 pi pn 为离散型随机变量X 的概率分布列 简称为 X 的分布列 用等式可表示为P X xi pi i 1 2 n 也可以用图象来表示X 的分布列 2 离散型随机变量的分布列的性质 pi 0 i 1 2 n 1 1 n i i p 三 两个特殊分布 1 两点分布 1 PBX X 01 P 1 p p 若随机变量X 的分布列具有上表的形式 则称X 服从两点分布 并称p P X 1 为成功概率 2 超几何分布 nMNHX 一般地 在含有 M 件次品的 N 件产品中 任取 n 件 其中恰有 X件次品 则 P X k n N kn MN k M C CC k 0 1 2 m 其中 m minnM 且 n N M N n M N N X 01 m P n N n MNM C CC 00 n N n MNM C CC 11 n N mn MN m M C CC 如果随机变量X 的分布列具有上表的形式 则称随机变量X 服从超几何分布 离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表 示随机试验的结果 但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出 而连续性随机变量 的结果不可以一一列出 分布列的优缺点 优点 离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值 而且也能 看出取每一个值的概率的大小 从而反映出随机变量在随机试验中取值的分布情况 缺点 1 分布列不能表示X 的平均水平 2 分布列不能表示X 的波动程度 注意 随机变量X只有发生和不发生两种情况才叫两点分布 且X的取值只能是0 和 1 第 3 页 共 27 页 例题与变式 题型一随机变量 例 1 判断正误 1 随机变量的取值可以是有限个 也可以是无限个 2 在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中 出现正面的次数 为随机变量 3 随机变量是用来表示不同试验结果的量 4 试验之前可以判断离散型随机变量的所有值 例 2 判断下列各个量 哪些是随机变量 哪些不是随机变量 并说明理由 1 北京国际机场候机厅中2016 年 5 月 1 日的旅客数量 2 2016 年 5 月 1 日至 10 月 1 日期间所查酒驾的人数 3 2016 年 6 月 1 日济南到北京的某次动车到北京站的时间 4 体积为 1 000 cm 3 的球的半径长 变式 1 判断下列各个量 哪些是随机变量 哪些不是随机变量 并说明理由 1 某天腾讯公司客服接到咨询电话的个数 2 标准大气压下 水沸腾的温度 3 在一次绘画作品评比中 设一 二 三等奖 你的一件作品获得的奖次 4 体积为 64 cm 3的正方体的棱长 例 3 指出下列随机变量是否是离散型随机变量 并说明理由 1 某座大桥一天经过的车辆数X 2 某超市 5 月份每天的销售额 3 某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差 4 江西九江市长江水位监测站所测水位在 0 29 这一范围内变化 该水位站所测水位 变式 2 下列变量中属于离散型随机变量的有 填序号 1 在 2 017 张已编号的卡片 从 1 号到 2 017 号 中任取 1 张 被取出的编号数为X 2 连续不断射击 首次命中目标需要的射击次数X 3 在广州至武汉的电气化铁道线上 每隔 50 m 有一电线铁塔 从广州至武汉的电气化铁道线上将电线 铁塔进行编号 其中某一电线铁塔的编号 4 投掷一枚骰子 六面都刻有数字8 所得的点数X 第 4 页 共 27 页 题型二随机变量的可能取值及试验结果 例 1 口袋中有6 个同样大小的黑球 编号为1 2 3 4 5 6 现从中随机取出3 个球 用X 表示取出的最大 号码 则 X 的所有可能取值有哪些 例 2 2017 春 清河区月考 设b c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数 设随机变量 b c 求随机 变量 的取值情况 变式 2017 春 大武口区期中 袋中有4 个红球 3 个黑球 从袋中随机取球 设取到一个红球得2 分 取到一个黑球的1 分 现在从袋中随机摸出4 个球 列出所得分数X 的所有可能 题型三分布列及其性质的应用 例 1 设随机变量X 的分布列为P X i i a i 1 2 3 4 求 1 P X 1 或 X 2 2 2 7 2 1 XP 例 2 2017 春 文昌月考 设随机变量X 的分布列为 5 4 3 2 1 25 i k iXP则 2 5 2 1 XP等于 A 15 2 B 5 2 C 5 1 D 15 1 例 3 已知数列 n a是等差数列 随机变量X的分布列如下表 X 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x P1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 求 3 a 变式 1 若离散型随机变量X 的分布列为 X0 1 P14aaa 2 3 求常数 a 第 5 页 共 27 页 变式 2 2017 春 秦都区月考 设随机变量X 的分布列为 3 2 1 3 2 iaiXP i 则 a的值为 A 38 17 B 38 27 C 19 17 D 19 27 变式 3 2017 春 武陵区月考 若离散型随机变量X 的分布列为 X0 1 Paa 2 10 a62 则实数 a 的值为 例 4 设离散型随机变量X 的分布列为 X0 1 2 3 4 P0 2 0 1 0 1 0 3 m 求 1 2X 1 的分布列 2 X 1 的分布列 变式 4 2017 南宁二模 设随机变量X 的概率分布列如下表 则P X 2 1 X1 2 3 4 P 6 1 4 1 m 3 1 A 7 12 B 1 2 C 5 12 D 1 6 题型四求离散型随机变量的分布列 例 1 口袋中有6 个同样大小的黑球 编号为1 2 3 4 5 6 现从中随机取出3 个球 用X 表示取出的最大 号码 求 X 的分布列 第 6 页 共 27 页 例 2 2017 春 清河区月考 设b c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数 1 设RxcbxxxA 02 2 求 A的概率 2 设随机变量 b c 求 的分布列 例 3 2016 天津卷节选 某小组共10 人 利用假期参加义工活动 已知参加义工活动次数为1 2 3 的人 数分别为3 3 4 现从这 10 人中随机选出2 人作为该组代表参加座谈会 1 设 A 为事件 选出的 2 人参加义工活动次数之和为4 求事件A 发生的概率 2 设 X 为选出的2 人参加义工活动次数之差的绝对值 求随机变量X 的分布列 变式 1 将一颗骰子掷两次 求两次掷出的最大点数 的分布列 变式 2 某商店试销某种商品20 天 获得如下数据 日销售量 件 0 1 2 3 频数1 5 95 试销结束后 假设该商品的日销售量的分布规律不变 设某天开始营业时有该商品3 件 当天营业结束后检 查存货 若发现存量少于2 件 则当天进货补充至3 件 否则不进货 将频率视为概率 1 求当天商店不进货的概率 2 记 X 为第二天开始营业时该商品的件数 求X 的分布列 第 7 页 共 27 页 题型五两点分布 例1 1 利用随机变量研究一类问题 如抽取的奖券是否中奖 买回的一件产品是否为正品 新生婴儿 的性别 投篮是否命中等 这些有什么共同点 2 只取两个不同值的随机变量是否一定服从两点分布 例 2 在一次购物抽奖活动中 假设10 张奖券中有一等奖奖券1 张 可获价值50 元的奖品 有二等奖奖 券 3 张 每张可获价值10 元的奖品 其余6 张没有奖品 顾客甲从10 张奖券中任意抽取1 张 求中奖次 数 X 的分布列 变式 设某项试验的成功率是失败率的2 倍 用随机变量 描述一次试验的成功次数 则 P 0 等于 A 0 B 1 3 C 1 2 D 2 3 题型六超几何分布 例 1 在一次购物抽奖活动中 假设10 张奖券中有一等奖奖券1 张 可获价值50 元的奖品 有二等奖奖 券 3 张 每张可获价值10 元的奖品 其余6 张没有奖品 顾客乙从10 张奖券中任意抽取2 张 1 求顾客乙中奖的概率 2 设顾客乙获得的奖品总价值为Y 元 求 Y 的分布列 第 8 页 共 27 页 例 2 老师要从10 篇课文中随机抽3 篇让学生背诵 规定至少要背出其中2 篇才能及格 某同学只能背 诵其中的6 篇 试求 1 抽到他能背诵的课文的数量的概率分布 2 他能及格的概率 例 3 2017 春 大武口区期中 袋中有4 个红球 3 个黑球 从袋中随机取球 设取到一个红球得2 分 取到一个黑球的1 分 现在从袋中随机摸出4 个球 求 1 列出所得分数X 的分布列 2 得分大于6 分的概率 变式 1 2017 济南模拟 某外语学校的一个社团中有7 名同学 其中2 人只会法语 2 人只会英语 3 人 既会法语又会英语 现选派3 人到法国的学校交流访问 1 在选派的3 人中恰有2 人会法语的概率 2 在选派的3 人中既会法语又会英语的人数X 的分布列 第 9 页 共 27 页 变式 2 2017 昆明调研 PM2 5 是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2 5 微米的颗粒物 也称为可入肺颗粒物 根据现行国家标准GB3095 2012 PM2 5 日均值在35 微克 立方米以下空气质量为一 级 在 35 微克 立方米 75 微克 立方米之间空气质量为二级 在75 微克 立方米以上空气质量为超标 从某自然保护区2013 年全年每天的PM2 5 监测数据中随机地抽取10 天的数据作为样本 监测值频数如下 表所示 PM2 5 日均值 微克 立 方米 25 35 35 45 45 55 55 65 65 75 75 85 频数311113 1 从这 10 天的 PM2 5 日均值监测数据中 随机抽出3 天 求恰有一天空气质量达到一级的概率 2 从这 10 天的数据中任取3 天数据 记X 表示抽到PM2 5 监测数据超标的天数 求X 的分布列 1 设 X 是一个离散型随机变量 其分布列为 X 101 P 1 3 2 3q q 2 则 q 的值为 A 1 B 3 2 33 6 C 3 2 33 6 D 3 2 33 6 2 设某项试验的成功率是失败率的2 倍 用随机变量X 去描述 1 次试验的成功次数 则 P X 0 等于 A 0 B 1 2 C 1 3 D 2 3 3 中装有 10 个红球 5 个黑球 每次随机抽取1 个球后 若取得黑球则另换1 个红球放回袋中 直到取 到红球为止 若抽取的次数为 则表示 放回5 个红球 事件的是 A 4 B 5 C 6 D 5 4 从装有 3 个白球 4 个红球的箱子中 随机取出了3 个球 恰好是 2 个白球 1 个红球的概率是 A 4 35 B 6 35 C 12 35 D 36 343 第 10 页 共 27 页 5 随机变量 X 的分布列如下 X 101 P a b c 其中 a b c 成等差数列 则P X 1 等于 A 1 6 B 1 3 C 1 2 D 2 3 6 设离散型随机变量X 的分布列为 X 01234 P 0 20 10 10 3M 若随机变量Y X 2 则 P Y 2 7 袋中有 4 只红球 3 只黑球 从袋中任取4 只球 取到1 只红球得1 分 取到 1 只黑球得3 分 设得分 为随机变量X 则 P X 6 8 2017 成都诊断 某高校一专业在一次自主招生中 对20 名已经选拔入围的学生进行语言表达能力和 逻辑思维能力测试 结果如下表 由于部分数据丢失 只知道从这20 名参加测试的学生中随机抽取一人 抽到语言表达能力优秀或逻辑思维 能力优秀的学生的概率为 2 5 1 从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2 名 求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学 生的概率 2 从参加测试的20 名学生中任意抽取2 名 设语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数为X 求随机变量X 的分布列 第 11 页 共 27 页 9 某超市在节日期间进行有奖促销 凡在该超市购物满300 元的顾客 将获得一次摸奖机会 规则如下 奖盒中放有除颜色外完全相同的1 个红球 1 个黄球 1 个白球和1 个黑球 顾客不放回地每次摸出1 个球 若摸到黑球则停止摸奖 否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止 规定摸到红球奖励10 元 摸到白球或黄球 奖励 5 元 摸到黑球不奖励 1 求 1 名顾客摸球3 次停止摸奖的概率 2 记 X 为 1 名顾客摸奖获得的奖金数额 随机变量X 的分布列 1 实际完成情况 按计划完成 超额完成 原因分析 未完成计划内容 原因分析 2 授课及学员问题总结 第 12 页 共 27 页 第二节 二项分布及其应用 知识与方法 一 条件概率 1 条件概率的概念 一般地 设A B 为两个事件 且0 AP 称 AP ABP ABP为在事件A 发生的条件下 事件B 发 生的条件概率 ABP读作 A 发生的条件下B 发生的概率 2 条件概率的性质 1 An ABn AP ABP ABP 2 1 0ABP 当A事件与B事件对立时0 ABP 当A事件与B事件相等时1 ABP 3 如果 B 与 C 是两个互斥事件 则 ACPABPACBP 4 BPBAPAPABPABP 5 要注意 ABP与 ABP的区别 这是分清条件概率与一般概率问题的关键 在 ABP中 事件A 成 为样本空间 在 ABP中 样本空间则为全体情况 二 相互独立实验 1 相互独立事件的定义和性质 1 定义 设A B 为两个事件 如果P AB P A P B 那么称事件A 与事件 B 相互独立 2 如果 A 与 B 相互独立 那么A 与 B A与 B A与 B 也都相互独立 3 如果 A 与 B 相互独立 那么P B A P B P A B P A 2 相互独立事件与互斥事件的区别 互斥事件是不可能同时发生的两个事件 而相互独立事件是指一个事件是否发生对另一个事件发生的 概率没有影响 二者不能混淆 3 n 个事件相互独立 对于 n 个事件 A1 A2 An 如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响 则称n 个事件 A1 A2 An相互独立 4 独立事件的概率公式 1 若事件 A B 相互独立 则P AB P A P B 超几何分布和二项分布的区别 1 超几何分布需要知道总体的容量 而二项分布不需要 2 超几何分布是不放回抽取 而二项分布是放回抽取 独立重复 3 当总体的容量非常大时 超几何分布近似于二项分布 课外拓展 第 13 页 共 27 页 2 若事件 A1 A2 An相互独立 则 P A1A2 An P A1 P A2 P An 三 二项分布 1 n 次独立重复试验 一般地 在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验 2 二项分布 一般地 在n 次独立重复试验中 用X 表示事件A 发生的次数 设每次试验中事件A 发生的概率为p 则 P X k C k np k 1 p n k k 0 1 2 n 此时称随机变量 X 服从二项分布 记作X B n p 并称 p 为成 功概率 例题与变式 题型一条件概率 例 1 判断 正确的打 错误的打 1 若事件 A 与 B 互斥 则P B A 0 2 若事件 A 等于事件B 则 P B A 1 3 P B A 与 P A B 相同 例 2 设某动物由出生算起活到20 岁的概率为0 8 活到 25 岁的概率为0 4 现有一个20 岁的这种动物 则它活到25 岁的概率是 变式 1 设 A B 为两个事件 且P A 0 若 P AB 1 3 P A 2 3 则 P B A 变式 2 在 100 件产品中有95 件合格品 5 件不合格品 现从中不放回地取两次 每次任取一件 则在 第一次取到不合格品后 第二次再取到不合格品的概率为 例 3 一个袋中有2 个黑球和 3 个白球 如果不放回地抽取两个球 记事件 第一次抽到黑球 为 A 事件 第二次抽到黑球 为 B 1 分别求事件A B AB 发生的概率 2 求 P B A 例 5 现有 6 个节目准备参加比赛 其中4 个舞蹈节目 2 个语言类节目 如果不放回地依次抽取2 个节 目 求 1 第 1 次抽到舞蹈节目的概率 2 第 1 次和第 2 次都抽到舞蹈节目的概率 3 在第 1 次抽到舞蹈节目的条件下 第2次抽到舞蹈节目的概率 第 14 页 共 27 页 变式 3 在 5 道题中有3 道理科题和2 道文科题 如果不放回地依次抽取2 道题 求 1 第一次抽取到理科题的概率 2 第一次和第二次都抽取到理科题的概率 3 在第一次抽到理科题的条件下 第二次抽到理科题的概率 变式 4 从 1 2 3 4 5 6 中任取 2 个不同的数 事件A 取到的两个数之和为偶数 事件 B 取到的两个数 均为偶数 则 P B A A 1 8 B 1 4 C 2 5 D 1 2 变式 5 将一枚骰子连续抛掷两次 记 第一次抛出的是合数 为事件A 第二次抛出的是质数 为事 件 B 则 ABP 变式 6 2016 唐山二模 已知甲在上班途中要经过两个路口 在第一个路口遇到红灯的概率为0 5 两个 路口连续遇到红灯的概率为0 4 则甲在第一个路口遇到红灯的条件下 第二个路口遇到红灯的概率为 A 0 6 B 0 7 C 0 8 D 0 9 变式 7 一张储蓄卡的密码共有6 位数字 每位数字都可从0 9 中任选一个 某人在银行自动提款机上 取钱时 忘记了密码的最后一位数字 求 1 任意按最后一位数字 不超过2 次就按对的概率 2 如果他记得密码的最后一位是偶数 不超过2 次就按对的概率 题型二相互独立事件 例 1 袋内有 3 个白球和2 个黑球 从中不放回地摸球 用A 表示 第一次摸得白球 用 B 表示 第二次 摸得白球 则 A 与 B 是 A 互斥事件B 相互独立事件 C 对立事件D 不相互独立事件 第 15 页 共 27 页 例 2 判断下列各对事件是否是相互独立事件 1 甲组 3 名男生 2 名女生 乙组 2 名男生 3 名女生 现从甲 乙两组中各选1 名同学参加演讲比赛 从甲组中选出1 名男生 与 从乙组中选出1 名女生 2 容器内盛有5 个白乒乓球和3 个黄乒乓球 从 8 个球中任意取出1 个 取出的是白球 与 从剩下的 7 个球中任意取出1个 取出的还是白球 3 掷一颗骰子一次 出现偶数点 与 出现 3 点或 6点 变式 1 下列事件中 A B 是相互独立事件的是 A 一枚硬币掷两次 A 第一次为正面 B 第二次为反面 B 袋中有2 白 2 黑的小球 不放回地摸两球 A 第一次摸到白球 B 第二次摸到白球 C 掷一枚骰子 A 出现点数为奇数 B 出现点数为偶数 D A 人能活到 20 岁 B 人能活到50 岁 变式 2 甲 乙两名射手同时向一目标射击 设事件A 甲击中目标 事件 B 乙击中目标 则事件 A 与事件 B A 相互独立但不互斥B 互斥但不相互独立 C 相互独立且互斥D 既不相互独立也不互斥 题型三相互独立事件发生的概率 例 面对非洲埃博拉病毒 各国医疗科研机构都在研究疫苗 现有A B C 三个独立的研究机构在一定 的时期内能研制出疫苗的概率分别是 1 5 1 4 1 3 求 1 他们都研制出疫苗的概率 2 他们都失败的概率 3 他们能够研制出疫苗的概率 第 16 页 共 27 页 变式 一个袋子中有3 个白球 2 个红球 每次从中任取2 个球 取出后再放回 求 1 第 1 次取出的2 个球都是白球 第2 次取出的2 个球都是红球的概率 2 第 1 次取出的2 个球 1 个是白球 1 个是红球 第2 次取出的2 个球都是白球的概率 题型四二项分布 例 1 1 任意抛掷三枚均匀硬币 恰有2 枚正面朝上的概率为 A 3 4 B 3 8 C 1 3 D 1 4 2 独立重复试验满足的条件是 填序号 每次试验之间是相互独立的 每次试验只有发生和不发生两种情况 每次试验中发生的机会是均等的 每次试验发生的事件是互斥的 3 已知随机变量X 服从二项分布 X B 3 1 6 则 P X 2 等于 4 姚明比赛时罚球命中率为90 则他在 3 次罚球中罚失1 次的概率是 例2 甲 乙两人各射击一次 击中目标的概率分别是 2 3和 3 4 假设两人射击是否击中目标相互之间没有影 响 每人各次射击是否击中目标相互之间也没有影响 1 求甲射击4 次 至少有1 次未击中目标的概率 2 求两人各射击4 次 甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3 次的概率 第 17 页 共 27 页 例 3 一名学生每天骑自行车上学 从家到学校的途中有5 个交通岗 假设他在各交通岗遇到红灯的事件 是相互独立的 并且概率都是 3 1 1 求这名学生在途中遇到红灯的次数 的分布列 2 求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数 的分布列 例 4 甲乙两队参加奥运知识竞赛 每队 3 人 每人回答一个问题 答对者为本队赢得一分 答错得零分 假 设甲队中每人答对的概率均为 2 3 乙队中 3 人答对的概率分别为 2 3 2 3 1 2 且各人回答正确与否相互之间没 有影响 用 表示甲队的总得分 1 求随机变量 的分布列 2 用 A 表示 甲 乙两个队总得分之和等于3 这一事件 用B 表示 甲队总得分大于乙队总得分 这一 事件 求 P AB 变式 1 某气象站天气预报的准确率为80 计算 结果保留到小数点后面第2 位 1 5 次预报中恰有2 次准确的概率 2 5 次预报中至少有2 次准确的概率 第 18 页 共 27 页 变式 2 袋中有 8个白球 2 个黑球 从中随机地连续抽取3 次 每次取1 个球 有放回抽样时 求取到 黑球的个数X 的分布列 变式 3 某架飞机载有5 位空降兵依次空降到A B C 三个地点 每位空降兵都要空降到A B C 中的 任意一个地点 且空降到每一个地点的概率都是 1 3 用 X 表示地点 C 空降人数 求 1 地点 A 空降 1 人 地点B C 各空降 2 人的概率 2 随机变量X 的分布列 1 已知 X B 3 1 6 则 P X 2 等于 A 3 16 B 4 243 C 13 243 D 80 243 2 某电子管正品率为 3 4 次品率为 1 4 现对该批电子管进行测试 设第 次首次测到正品 则 P 3 A 4 3 4 1 22 3CB 4 1 4 3 22 3C C 4 3 4 1 2 D 4 1 4 3 2 3 已知 P B A 1 3 P A 2 5 则 P AB 等于 A 5 6 B 9 10 C 2 15 D 1 15 4 明天上午李明要参加 青年文明号 活动 为了准时起床 他用甲乙两个闹钟叫醒自己 假设甲闹钟准 时响的概率为0 80 乙闹钟准时响的概率为0 90 则两个闹钟至少有一个准时响的概率是 5 一名学生骑自行车去上学 从他家到学校的途中有6 个交通岗 假设在各个交通岗遇到红灯的事件是 第 19 页 共 27 页 相互独立的 并且概率都是 1 3 设 X 为这名学生在途中遇到红灯的次数 求 X 的分布列 1 实际完成情况 按计划完成 超额完成 原因分析 未完成计划内容 原因分析 2 授课及学员问题总结 第三节 离散型随机变量的期望与方差 第 20 页 共 27 页 知识与方法 一 离散型随机变量的均值 1 定义 若离散型随机变量X 的分布列为 X x1x2 xi xn P p1p2 pi pn 则称 E X x1p1 x2p2 xipi xnpn为随机变量X 的均值或数学期望 2 意义 它反映了离散型随机变量取值的平均水平 3 性质 如果 X为 离散型 随机变量 则 Y aX b 其中 a b为常数 也是随机变量 且 P Y axi b P X xi i 1 2 3 n E Y E aX b aE X b 二 离散型随机变量的方差 1 定义 设离散型随机变量X 的分布列为 X x1x2 xi xn P p1p2 pi pn 则 xi E X 2 描述了 xi i 1 2 n 相对于均值 E X 的偏离程度 而 D X i n i i PXEx 1 2 为这些偏 离程度的加权平均 刻画了随机变量X 与其均值E X 的平均偏离程度 称D X 为随机变量X 的方差 其算 术平方根 XD为随机变量X 的标准差 2 意义 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度 方差或标准差越小 则随机变量偏离于均值的平均程度越小 3 性质 设a b 为常数 则D aX b a 2D X 三 常见的两种分布的均值与方差 设 p 为一次试验中成功的概率 则 1 两点分布E X p D X p 1 p 2 二项分布E X np D X np 1 p 例题与变式 题型一离散型随机变量的期望 例 1 1 下列说法正确的有 填序号 随机变量X 的数学期望E X 是个变量 其随X 的变化而变化 随机变量的均值反映样本的平均水平 若随机变量X 的数学期望E X 2 则 E 2X 4 在概率论和统计学中 数学期望 mean 或均值 亦简称期望 是试验中每次可能结果的概率乘以 其结果的总和 是最基本的数学特征之一 它反映随机变量平均取值的大小 需要注意的是 期望值并不一定等同于常识中的 期望 期望值 也许与每一个结果都不相等 期望值是该变量输出值的平均数 期望值并不一定包含于变量的输出值集合里 大数定律规定 随着重复次数接近无穷大 数值的算术平均值几乎肯定地收敛于期望值 课外拓展 第 21 页 共 27 页 随机变量X 的均值 E X x1 x2 xn n 2 已知离散型随机变量X 的分布列为 X 123 P 3 5 3 10 1 10 则 X 的数学期望E X 3 设 E X 10 则 E 3X 5 例 2 某运动员投篮命中率为p 0 6 1 求投篮 1 次时命中次数X 的数学期望 2 求重复 5 次投篮时 命中次数Y 的数学期望 例 3 已知随机变量X 的分布列如下 X 2 1012 P 1 4 1 3 1 5 m 1 20 1 求 m 的值 2 求 E X 3 若 Y 2X 3 求 E Y 例 4 在甲 乙等6个单位参加的一次 唱读讲传 演出活动中 每个单位的节目集中安排在一起 若采用 第 22 页 共 27 页 抽签的方式随机确定各单位的演出顺序 序号为 1 2 6 求 1 甲 乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率 2 甲 乙两单位之间的演出单位个数 的分布列与均值 例 5 随机抽取某厂的某种产品200 件 经质检 其中一等品126 件 二等品50 件 三等品20 件 次品 4 件 已知生产1 件一 二 三等品获得的利润分别为6 万元 2 万元 1 万元 而1 件次品亏损2 万元 设 1 件产品的利润 单位 元 为 X 1 求 X 的分布列 2 求 1 件产品的平均利润 即 X 的数学期望 3 经技术革新后 仍有四个等级的产品 但次品率降为1 一等品率提高为70 如果此时要求1 件产品的平均利润不小于4 73 万元 则三等品率最多是多少 变式 1 已知随机变量 的分布列为 101 P 1 2 1 3 m 若 a 3 E 7 3 则 a A 1 B 2 C 3 D 4 变式 2 盒中装有5 节同牌号的五号电池 其中混有两节废电池 现在无放回地每次取一节电池检验 直 第 23 页 共 27 页 到取到好电池为止 求抽取次数X 的分布列及均值 变式 3 甲 乙两人各自独立破译某个密码 甲破译出密码的概率是 2 3 乙破译出密码的概率是 4 5 设破译 出该密码的人数为X 求其数学期望 题型二离散型随机变量的方差 例 1 1 下列说法正确的有 填序号 离散型随机变量 的期望 E 反映了 取值的概率的平均值 离散型随机变量 的方差 D 反映了 取值的平均水平 离散型随机变量 的期望 E 反映了 取值的波动水平 离散型随机变量 的方差 D 反映了 取值的波动水平 2 已知随机变量 D 1 9 则 的标准差为 3 已知随机变量 的分布列如下表 101 P 1 2 1 3 1 6 则 的均值为 方差为 例 2 1 若随机变量X 服从两点分布 且成功概率P 0 5 则