初中数学-三角形内外角平分线有关命题的证明及应用

三角形内外角平分线一.命题的证明及应用在中考常有与三角形内外角平分线有关的题目，若平时不注意总结是很难一下子解决的下面来一起学习一下命题1 如图，点D是ABC两个内角平分线的交点，则D=90+A证明：如图：1，2122A18012D=180得：12AD由得：12=180D把代入得：180DADD=90+A点评 利用角平分线的定义和三角形的内角和等于180，不难证明.命题2 如图，点D是ABC两个内角平分线的交点，则D=90A证明：如图：DB和DC是ABC的两条外角平分线，D=18012=180（DBE+DCF）=180（A+4+A+3）=180 （A+180）=180 A90=90 A；点评 利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和以及三角形的内角和等于180，可以证明.命题3 如图3，点E是ABC一个内角平分线与一个外角平分线的交点，则E=A证明：如图3：1=2，3=4，A+21=241+E=4代入得：E=A点评 利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和，很容易证明.命题4如图，点E是ABC一个内角平分线BE与一个外角平分线CE的交点，证明:AE是ABC的外角平分线.证明：如图3：BE是ABC的平分线,可得：EH=EFCE是ACD的平分线, 可得：EG=EF过点E分别向AB、AC、BC所在的直线引垂线，所得的垂线段相等.即EF=EG=EHEG=EHAE是ABC的外角平分线 点评 利用角平分线的性质和判定能够证明应用上面的结论能轻松地解答一些相关的比较复杂的问题，下面来一起看例1如图5，PB和PC是ABC的两条外角平分线已知A=60，请直接写出P的度数.三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形按角分类属于什么三角形？解析：由命题2的结论直接得：P=90 A=90 60=60根据命题2的结论P=90 A，知三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形的三个角都是锐角，则该三角形是锐角三角形点评 此题直接运用命题2的结论很简单同时要知道三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形例 如图6，在ABC中，延长BC到D,ABC与ACD的角平分线相较于点，BC与CD的平分线交与点，以此类推，若A=96，则= 度解析：由命题的结论不难发现规律A可以直接得：=96=3 点评此题是要找出规律的但对要有命题的结论作为基础知识例（203陕西第一大题填空题第八小题，此题分）如图7，ABC的外角ACD的平分线CP的内角ABC平分线BP交于点P，若BPC=40，则CAP=_解析：此题直接运用命题的结论可以知道是ABC的一个外角平分线，结合命题的结论知道BAC=2BPC, CAP=(180BAC )= (1802BPC )=50点评对命题3、4研究过的读者此题不难，否则将是一道在考试的时候花时间也不一定做的出来的题目例(2003年山东省)如图，在RtABC中，ACB=90，BAC=30，ACB的平分线与ABC的外角平分线交与E点，连接AE，则AEB= 度解析：有题目和命题的结论可以知道AE是ABC的一个外角平分线, 结合命题2的结论知道AEB=ACBACB=9090=45点评 从上面的做题过程来看题目中给出的“A=30”这个条件是可以不用的二.角平分线定理使用中的几种辅助线作法一、已知角平分线，构造三角形例题、如图所示，在ABC中，ABC=3C，AD是BAC的平分线，BEAD于F。求证：证明：延长BE交AC于点F。因为角是轴对称图形，对称轴是角的平分线所在的直线， 所以AD为BAC的对称轴，又因为BEAD于F，所以点B和点F关于AD对称，所以BE=FE=BF，AB=AF，ABF=AFB。因为ABFFBC=ABC=3C，ABF=AFB=FBCC，所以FBCCFBC=3C，所以FBC=C，所以FB=FC，所以BE=FC=（ACAF）=（ACAB），所以。二、已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段如图所示，1=2，P为BN上的一点，并且PDBC于D，ABBC=2BD。求证：BAPBCP=180。证明：经过点P作PEAB于点E。因为PEAB，PDBC，1=2，所以PE=PD。在RtPBE和RtPBC中所以RtPBERtPBC（HL），所以BE=BD。因为ABBC=2BD，BC=CDBD，AB=BEAE，所以AE=CD。因为PEAB，PDBC，所以PEB=PDB=90.在PAE和RtPCD中所以PAERtPCD，所以PCB=EAP。因为BAPEAP=180，所以BAPBCP=180。三、已知角平分线和其上面的一点，过这一点作角的两边的垂线段例题、如图所示，在ABC中，PB、PC分别是ABC的外角的平分线，求证：1=2证明：过点P作PEAB于点E，PGAC于点G，PFBC于点F因为P在EBC的平分线上，PEAB，PHBC，所以PE=PF。同理可证PF=PG。所以PG=PE，又PEAB，PGAC，所以PA是BAC的平分线，所以1=2。 三.角平分线-应用 三角形的角平分线是三角形的主要线段之一，它在几何的计算或证明中，起着“桥梁”的作用那么如何利用三角形的角平分线解题呢？下面举例说明一、由角平分线的性质联想两线段相等EMDFCBA图1例1 如图1，ABAC，A的平分线与BC的垂直平分线相交于D，自D作DEAB，DFAC，垂足分别为E，F求证：BE=CF证明 连结DB，DCD在A的平分线上，DE=DFD在BC的垂直平分线上，BD=DC又BED=CFD=90，RtBDERtCDF，BE=CF二、由角平分线的轴对称性构造全等三角形例2 如图2，BCAB，BD平分ABC，且AD=DC求证：A+C=180证明 延长BA至F，使BF=BC由BD平分ABC在FBD与CBD中，BF=BC ABD=CBD BD=BDFBDCBD，FDCBA图2C=F，DF=CD=AD，F=DAF，A+C=BAD+DAF=180三、过角平分线上一点作一边的平行线，构成等腰三角形例3 已知：如图3，ABC的平分线BF与ACB的平分线CF相交于点F，过F作DEBC，交AB于D，交AC于E，求证：BD+CE=DEEFCBDA图3证明：BF是ABC的平分线 DBF=CBF 又DEBC DFB=CBFDBF=DFBBD=FD，同理CE=FEBD+CE=DF+FE=DE四、实际生活中的应用例4 如图4，有三条公路、两两相交，要选择一地点建一座加油站，是加油站到三条公路的距离相等，应如何选择建加油站的地址？这样的位置有几种选择？图4解析：分别作ABC两内角的平分线，它们相交于一点，根据角平分线的性质知，这个点到三条公路的距离相等；或者分别作ABC相邻两外角的平分线，它们的交点到三条公路的距离也相等，这样点共有三个，所以建加油站的位置共有4种选择 五.角平分线携“截长补短”显精彩 角的平分线具有其特有的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例.eg1 . 如图1-1，ADBC，点E在线段AB上，ADE=CDE，DCE=ECB.求证：CD=AD+BC.图1-1分析：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的.证明：在CD上截取CF=BC，如图1-2在FCE与BCE中，FCEBCE（SAS）,2=1.图1-2又ADBC，ADC+BCD=180，DCE+CDE=90，2+3=90，1+4=90，3=4.在FDE与ADE中，FDEADE（ASA），DF=DA，CD=DF+CF，CD=AD+BC.eg2. 已知，如图2-1，1=2，P为BN上一点，且PDBC于点D，AB+BC=2BD.求证：BAP+BCP=180.图2-1分析：证两个角的和是180，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明BCP=EAP，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造.证明：过点P作PE垂直BA的延长线于点E，如图2-21=2，且PDBC，PE=PD，在RtBPE与RtBPD中，图3-22-2RtBPERtBPD(HL),BE=BD.AB+BC=2BD，AB+BD+DC=BD+BE，AB+DC=BE即DC=BE-AB=AE.在RtAPE与RtCPD中,RtAPERtCPD(SAS),PAE=PCD又BAP+PAE=180,BAP+BCP=180图3-1eg3.已知：如图3-1，在ABC中，C2B，12.求证：AB=AC+CD.分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC.证明：方法一（补短法）图3-2延长AC到E，使DC=CE，则CDECED，如图3-2ACB2E，ACB2B，BE，在ABD与AED中,ABDAED（AAS）,AB=AE.又AE=AC+CE=AC+DC，AB=AC+DC.图3-3方法二（截长法）在AB上截取AF=AC，如图3-3在AFD与ACD中,AFDACD（SAS）,DF=DC，AFDACD.又ACB2B，FDBB，FD=FB.AB=AF+FB=AC+FD，AB=AC+CD. 上述两种方法在实际应用中，时常是互为补充，但应结合具体题目恰当选择合适思路进行分析。让掌握学生掌握好“截长补短法”对于更好的理解数学中的化归思想有较大的帮助。如图1所示，在ABC中，C=2B，1=2。求证：AB=ACCD。证法一：截取法。就是在较长的线段中截取一段与求加法运算的两条线段中的一条相等，然后证明另一段等于加法运算的另一条线段。如图2所示，在AB上截取AE=AC，连结DE。图2在AED和ACD中所以AEDACD，所以ED=CD，3=C。因为3=B4，C=2B，所以B=4，所以BE=DE。所以AB=AEBE=ACDE=ACCD。证法二、补短法。就是在较短的一条线段的基础上通过延长在截取的方法将求和的两条线段连结在一起。本种方法是延长AC，再在延长线上截取CF=CD。如图3所示，延长AC到点F，使CF=CD，连结DF。图3因为CF=CD，所以3=F。因为ACB=3F，所以ACB=2F。又因为ACB=2B，所以B=F。在ABD和AFD中所以ABDAFD，所以AB=AF。因为AF=ACCF=ACCD，所以AB= ACCD。第三种方法：也是属于补短法，本种方法是延长DC，再在延长线上截取CM=AC。证明：延长DC，在DC的延长线上截取CM=AC，连结AM。因为因为CM=CA，所以3=M。因为ACB=3M，所以ACB=2M=23。图4又因为ACB=2B，所以B=M=3，所以AB=AM。因为4=B1，DAM=23，1=2所以4=DAM，所以AM=DM=DCCM=DCAC，所以AB=DCAC。图5图3练习：如图5所示，在ABC中，BC边的垂直平分线DF交BAC的外角平分线AD于点D，F为垂足，DEAB于E，并且ABAC。求证：BEAC=AE。提示：可以将减法运算转化为加法运算，然后利用“截长”或者“补短”法解决问题。 四.角平分线中考真题角平分线的性质与应用一、选择题1、（2009温州中考）如图，OP平分，垂足分别为A，B下列结论中不一定成立的是（ ）A. B.平分C. D.垂直平分【解析】选D.由OP平分，可得，由HL可得RtAOPRtBOP，所以可得平分，.2、(2009牡丹江中考)尺规作图作的平分线方法如下：以为圆心，任意长为半径画弧交、于、，再分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线由作法得的根据是（ ）ASAS BASA CAASDSSS ODPCAB【解析】选D.由作法知OC=OD,OP=OP,CP=DP,所以，因此依据为SSS；3、（2007中山中考）到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）（）三条中线的交点 （）三条高的交点（）三条边的垂直平分线的交点（）三条角平分线的交点答案：D4、（2007义乌中考）如图，点P是BAC的平分线AD上一点，PEAC于点E已知PE=3，则点P到AB的距离是（ ）.（A）3 （B）4 （C）5 （D）6【解析】选A.由角平分线的性质可得.二、填空题5、（2009厦门中考）如图，在ABC中，C=90,ABC的平分线BD交AC于点D,若BD=10厘米，BC=8厘米，则点D到直线AB的距离是_厘米。【解析】过点D作DE垂直于AB于E,由勾股定理得,由角平分线性质得答案：6.6、（2010珠海中考）如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PEAB于点E，PE4cm，则点P到BC的距离是_cm. 【解析】因为，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PEAB于点E，PE4cm，有BD为ABC的角平分线，所以P到BC的距离等于PE的长等于4.答案：47、（2008肇庆中考）如图，P是AOB的角平分线上的一点，PCOA于点C，PDOB于点D，写出图中一对相等的线段（只需写出一对即可） .答案：PC=PD（答案不唯一）三、解答题8、（2009怀化中考）如图，P是BAC内的一点，垂足分别为点求证：（1）；（2）点P在BAC的角平分线上【证明】（1）如图，连结AP， AEP=AFP=，又AE=AF，AP=AP，RtAEPRtAFP，PE=PF（2）RtAEPRtAFP，EAP=FAP，AP是BAC的角平分线，故点P在BAC的角平分线上9、(2008青岛中考)如图，表示两条相交的公路，现要在的内部建一个物流中心设计时要求该物流中心到两条公路的距离相等，且到公路交叉处点的距离为1 000米（1）若要以的比例尺画设计图，求物流中心到公路交叉处点的图上距离；（2）在图中画出物流中心的位置【解析】（1）（1）1 000米=100 000厘米，100 00050 000=2（厘米）；(2)10、（2008衢州中考）如图，ABCD(1)用直尺和圆规作的平分线CP，CP交AB于点E(保留作图痕迹，不写作法)(2)在(1)中作出的线段CE上取一点F，连结AF。要使ACFAEF，还需要添加一个什么条件？请你写出这个条件(只要给出一种情况即可；图中不再增加字母和线段；不要求证明)。【解析】(1)作图略；(2)取点F和画AF正确(如图)；添加的条件可以是：F是CE的中点；AFCE；CAF=EAF等。(选一个即可)，五.最后-角平分线、垂直平分线知识考点：了解角平分线、垂直平分线的有关性质和定理，并能解决一些实际问题。精典例题：【例题】如图，已知在ABC中，ABAC，B300，AB的垂直平分线EF交AB于点E，交BC于点F，求证：CF2BF。分析一：要证明CF2BF，由于BF与CF没有直接联系，联想题设中EF是中垂线，根据其性质可连结AF，则BFAF。问题转化为证CF2AF，又BC300，这就等价于要证CAF900，则根据含300角的直角三角形的性质可得CF2AF2BF。分析二：要证明CF2BF，联想B300，EF是AB的中垂线，可过点A作AGEF交FC于G后，得到含300角的RtABG，且EF是RtABG的中位线，因此BG2BF2AG，再设法证明AGGC，即有BFFGGC。 分析三：由等腰三角形联想到“三线合一”的性质，作ADBC于D，则BDCD，考虑到B300，不妨设EF1，再用勾股定理计算便可得证。以上三种分析的证明略。 探索与创新：【问题】请阅读下面材料，并回答所提出的问题：三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。如图，ABC中，AD是角平分线。求证：。分析：要证，一般只要证BD、DC与AB、AC或BD、AB与DC、AC所在三角形相似，现在B、D、C在同一条直线上，ABD与ADC不相似，需要考虑用别的方法换比。我们注意到在比例式中，AC恰好是BD、DC、AB的第四比例项，所以考虑过C作CEAD交BA的延长线于E，从而得到BD、CD、AB的第四比例项AE，这样，证明就可以转化为证AEAC。证明：过C作CEAD交BA的延长线于E CEADE3AEAC CEAD （1）上述证明过程中，用了哪些定理（写出两个定理即可）；（2）在上述分析、证明过程中，主要用到了三种数学思想的哪一种？选出一个填入后面的括号内（ ）数形结合思想 转化思想 分类讨论思想答案：转化思想（3）用三角形内角平分线性质定理解答问题：已知AD是ABC中BAC的角平分线，AB5 cm，AC4 cm，BC7 cm，求BD的长。答案：cm评注：本题的目的主要在于考查学生的阅读理解能力。跟踪训练：一、填空题：1、如图，A520，O是AB、AC的垂直平分线的交点，那么OCB 。2、如图，已知ABAC，A440，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则DBC 。 3、如图，在ABC中，C900，B150，AB的中垂线DE交BC于D点，E为垂足，若BD8，则AC 。4、如图，在ABC中，ABAC，DE是AB的垂直平分线，BCE的周长为24，BC10，则AB 。5、如图，EG、FG分别是MEF和NFE的角平分线，交点是G，BP、CP分别是MBC和NCB的角平分线，交点是P，F、C在AN上，B、E在AM上，若G680，那么P 。 二、选择题：1、如图，ABC的角平分线CD