结构动力学例题复习题.pdf

第十六章 结构动力学 例16 1 不计杆件分布质量和轴向变形 确定图16 6 所示刚架的 动力自由度 解 各刚架的自由度确定如图中所示 这里要注意以下两点 1 在确定刚架的自由度时 引用受弯直杆上任意两点之间的距离保持 不变的假定 根据这个假定并加入最少数量的链杆以限制刚架上所 有质量的位置 则刚架的自由度数目即等于所加链杆数目 2 集中质量的质点数并不一定等于体系的自由度数 而根据自由度的 定义及问题的具体情形确定 例16 2 试用柔度法建立图16 7a所示单自由度体系 受均布动 荷载作用的运动方程 解 本题特点是 动荷载不是作用在质量上的集中荷载 对于非 质量处的集中动荷载的情况 在建立运动方程时 一般采用柔度法较为 方便 设图a质量任一时刻沿自由度方向的位移为y 向下为正 把惯 性力 阻尼力及动荷载 均看作是一个静荷载 则在其作用下体系在质 量处的位移y 由叠加原理 见图b c d及e 则 式中 将它们代入上式 并注意到 得 图16 7 经整理后可得 式中 称为等效动荷载或等效干扰力 其含义为 直接作用于质量上所产生的 位移和实际动荷载引起的位移相等 图a的相当体系如图f所示 例16 3 图16 8a为刚性外伸梁 C处为弹性支座 其刚度系数 为 梁端点A D处分别有和质量 端点D处装有阻尼器c 同时梁BD段受 有均布动荷载作用 试建立刚性梁的运动方程 解 因为梁是刚性的 这个体系仅有一个自由度 故它的动力响 应可由一个运动方程来表达 方程可以用直接平衡法来建立 这个单自由度体系可能产生的位移形式如图b所示 可以用铰B的运 动作为基本量 而其它一切位移均可利用它来表示 图16 8 以顺时针向为正 则A点有位移和加速度 D点有位移和加速度及速 度 C点约束反力为 由 有 将惯性力 阻尼力及约束反力代入上式 得 经整理 运动方程为 小结 例16 2及例16 3讨论的是单自由度的一般情况下的运动方程的建 立 建立方程的思路是通过分析动力平衡或考虑变形协调 一般来说 对于单自由度体系 求和的难易程度是相同的 因为它们互为倒数 都 可用同一方法求得 对于多自由度体系 若是静定结构 一般情况下求 柔度系数容易些 但对超静定结构就要根据情况而定 刚度法和柔度法 它们都是根据达朗贝尔原理和所采用的阻尼理 论在体系上加惯性力和阻尼力 刚度法是考虑质量自由度方向的平衡 柔度法是建立沿自由度方向位移的协调条件 所谓结构振动自由度是指 确定体系全部质点位置所需的独立位移 分量的个数 在例16 3中我们选取为独立位移分量 由此得两质点处的位移 加速度 及惯性力的表达式 体系的振动自由度数目既和体系的质点数目有关 又不完全取决于 质点数目 自由度还和体系的可能位移状态有关 如例题16 3 因此 要根据具体问题 按自由度定义分析确定 另一方面 自由度是确定质 点空间位置的独立坐标 位移分量 个数 它和结构超静定次数或独立 位移个数没有关系 任何单自由度的振动问题 本质上都可抽象为质点 弹簧 阻尼器 体系 从实际结构到抽象模型的关键是求和 或 例16 4 试 写 出 图 16 9a 质 点 m 的 运 动 微 分 方 程 并 计 算 各 系 数 图16 9 解 1 列位移方程 2 计算系数项 图b 3 计算自由项 图c d 同理 4 将 系 数 代 入 位 移 方 程 或 例16 5 试 按刚度法列 出 图 16 10a所示 刚 架 在 给 定 荷 载 作 用 下 的 动 力 平 衡 方 程 图16 10 解 1 考 虑 质 点 m 平 衡 图b 有 2 确 定 弹 性 力 恢 复 力 S 弹 性 力 恢 复 力S 可 以 认 为 由 两 部 分 叠 加 而 成 第 一 部 分 为 使 m 产 生 位 移 施 加 的 力 第 二 部 分 为 m 不 动 在 荷 载 作 用 下 产 生 的 反 力 即 3 代 回 动 力 平 衡 方 程 得 例16 6 图 16 11a所示梁不计自重 求 自 振 频 率 图16 11 解 由图 图b 求得柔 度 为 所以 例16 7 图 16 12a所示 单 跨 梁 不 计自重 杆 无 弯 曲 变 形 弹 性 支 座 刚 度 为 k 求 自 振 频 率 解 在 W处 加 例16 8 图 16 13a所示梁不计自 重 求 自 振 圆频 率 解 由于对称跨中无转角 求刚度 则 图16 13 例16 9 试求图16 14a所示结构的自振频率 略去杆件自重及 阻尼影响 图16 14 解 图a为一次超静定结构 用力矩分配法作出单位弯矩图 图 b 计算质点处的柔度系数 即位移计算 由图b 或图c 与图 d 虚拟状态 得 则 例16 10 作图16 15a所示 结构的动 力 弯 矩 幅 值 图 已 知 质 点 重 W kN 扰 力 幅 值 P kN 扰 力 频 率 梁 的 抗 弯 刚 度 EI 4490kN m 图16 15 解 由图b列 幅 方 程 即 因为 由图c求柔度系数 即 由图d求柔度系数 即 将动荷载和惯性力加于结构上 得动力弯矩幅值图如图e所示 例16 11 图16 16a所 示 体 系 中 电 机 重 置 于 刚 性 横 梁 上 电 机 转 速 水 平 方 向 强 迫 力 为 已 知 柱 顶 侧 移 刚 度 自 振 频 率 求 稳 态 振 动 的 振 幅 及 最 大 动 力 弯 矩 图 图16 16 解 只有水平振动 干扰力频率 动力系数 静位移 振 幅 动 力 弯 矩 图 图c 例16 12 图 16 17a所示 体 系 各 柱 EI 常 数 柱 高 均 为 求 最 大 动 力 弯 矩 图16 17 解 由图b可知 则自 振 频 率 动力系数 最 大 动 力 弯 矩 见图c d 例16 13 求 图 16 18a所示 体 系 的 自 振 频 率 和 主 振 型 并 作 出 振 型 图 已 知 EI 常 数 图16 18 解 用柔度法作 1 为求柔度系数 首先绘出单位弯矩图 图b和c 由位移计算公 式 得 2 求频率 将它们代入频率方程 即 展开上式并令 得 两个根为 从而可得两个自振频率为 3 求主振型 下面确定相应的两个主振型 求第一振型时 将代入上式 由于系 数行列式为零 所以两个方程线性相关 只有一个是独立的 可由其中 任何一式求得与的比值 比如由第一式可得 同理可求得第二振型为 两振型的规准化矩阵表达式为 如图d e所示 例16 14 求 图16 19a所 示 体 系 的 频 率 方 程 图16 19 解 本题为两个动力自由度 图b 另外注意的是 水平向的振 动的质点是 于是由图b列 幅 值 方 程 由图c d求柔度系数 其结果如下 例16 15 求 图 16 20a所示 两 个 自 由 度 体 系 的 自 振 频 率 图16 20 解 用柔度法解 首先根据图c d计算柔度系数 其位移计算公 式为 这里 为弹支座处位移 将它们代入频率方程 解得 例16 16 求 图 16 21a所示 体 系 的 自 振 频 率 振 型 及 广 义 质 量 图16 21 解 由图b幅 值 方 程 为 整理后得 令上的系数行列为零 得频率方程 由该方程的两频率如下 振 型 1 振 型 2 见图c 广 义 质 量 为 例16 17 求 图16 22a 示 桁 架 的 自 振 频 率 各 杆 EA 为 常 数 图16 22 解 将 振 动 分 为 竖 向 水 平 分 量 求 例16 18 试求图16 23a所示刚架的自振频率和主振型 EI 常 数 图16 23 解 图a在不计轴向变形情况下 则与图b的振动是相同的 因 此图a可分成反对称 图c 和正对称 图d 的振动 第一频率由单自由度频率计算公式 可知 则为反对称情况 由单 跨梁的位移计算公式 得柔度系数为 则第一频率为 同理第二频率为 振型 第一振为反对称振动 如图e所示 第二振为对称振动 如 图f所示 例16 19 图16 24所示梁的质量重 振动力最大值 干扰频 率 已知梁的 试求两质点处的最大竖向位移 梁自重不计 解 用柔度法解 由图b c d计算系数及自由项如下 代入 稳态振动位移幅值方程 并乘以有 解得 图16 24 例16 20 图16 25a所示刚架各横梁刚度无穷大 试求各横梁处的 位移幅值和柱端弯矩幅值 已知 简谐荷载幅值 每分钟振动240 次 图16 25 解 用刚度法解 稳态振动位移幅值方程 有 单位t 即 代入稳态振动位移幅值方程 有 解得 惯性力幅值为 即 本题横梁刚度为无穷大 每层只有两根柱且截面及高度相等 故每 根柱的弯矩为 为该层的总剪力 等于该层以上水平外力 包括惯性力 的代数和 h 为该层柱高 于是各层柱端弯矩为 顶层 中层 第层 如图b所示 对于横梁的杆端弯矩可由刚结点力矩平衡推求 例16 21 用振型分解法