2011年广东高考数学试题(理科)

广东省 2011 年数学高考试题解法研究 理科 1 广东省 2011 年数学高考试题解法研究 理科 二二 填空题 本大题共填空题 本大题共 7 小题 考生作答小题 考生作答 6 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 30 分 分 一 必做题 一 必做题 9 13 题 题 9 不等式不等式的解集是的解集是 130 xx 解答 解答 130 xx 13xx 即 22 1 3 xx 2169xx 因此解集是 1x 1 10 的展开式中的展开式中 的系数是的系数是 用数字作答 用数字作答 7 2 x x x 4 x 解答 解答 552233 67 27 6 2 84 2 TC xxx x 的展开式中 的系数是 84 7 2 x x x 4 x 11 等差数列等差数列前前 9 项的和等于前项的和等于前 4 项的和 若项的和 若 则则 n a 1 1a 4 0 k aa k 解答 解答 49 SS 567897 50aaaaaa 7 0a 47 02 k aaa 4 7 2 k k 10 12 函数函数在在 处取得极小值处取得极小值 32 31f xxx x 解答 解答 32 31f xxx 2 363 2 fxxxx x 当时 0fx 1 0 x 2 2x 广东省 2011 年数学高考试题解法研究 理科 2 因为当时 当时 当时 2x 0fx 02x 0fx 0 x 0fx 所以在处 函数取得极小值 极小值为 在处 函数取得x 23 0 x 极大值 极大值为 1 13 某数学老师身高某数学老师身高 176cm 他爷爷 父亲和儿子的身高分别为 他爷爷 父亲和儿子的身高分别为 173cm 170cm 和和 182cm 因儿子的身高与父亲的身高有关 该老师用线性回归分析的方 因儿子的身高与父亲的身高有关 该老师用线性回归分析的方 法预测他孙子的身高为法预测他孙子的身高为 cm 解答 解答 因为儿子的身高 y 与父亲的身高 x 相关 取得数据 11 173 170 x y 22 170 176 xy 33 176 182 xy 173 170 176170 176 182 173 176 33 xy 222 00 176 173 182 176 1 176 1 1733 0 170 173 176 173 ba 所以 3yx 当时 182x 1823y 185 二 选做题 二 选做题 14 坐标系与参数方程选做题 已知两曲线参数方程为 坐标系与参数方程选做题 已知两曲线参数方程为 和和 它们的交点坐标为 它们的交点坐标为 5cos sin x y 0 2 5 4 xt yt t R 解答 解答 将两参数方程转化为 和 联立求解 2 2 1 0 5 x yy 2 5 0 4 xyx 可得 舍去 代入 可得 舍去 1 1x 2 5x 1 1x 1 2 5 5 y 2 2 5 5 y 则交点坐标为 2 5 1 5 广东省 2011 年数学高考试题解法研究 理科 3 15 几何证明选讲选做题 如图 几何证明选讲选做题 如图 4 过圆 过圆 O 外一点外一点 P 分别作圆的切线和割线交分别作圆的切线和割线交 圆与圆与 A B 且且 PB 7 C 是圆上一点使得是圆上一点使得 BC 5 BAC APB 则则 AB 解答 解答 因为 AP 为切线 所以 又因为 PABACB BACAPB PAB ACB PBAB BABC 7 5ABPBBC 35 图 4 三 解答题 三 解答题 本大题共 6 小题 满分 80 分 解答需写出文字说明 证明过程和 演算步骤 16 本小题满分 本小题满分 12 分 分 已知已知 63 1 sin 2 xxf Rx 1 求求的值的值 4 5 f 2 设设 求求的值的值 106 0 3 32 22135 ff cos 本小题主要考查正弦的诱导公式 同角三角函数的基本关系 两角和的余弦 本小题主要考查正弦的诱导公式 同角三角函数的基本关系 两角和的余弦 公式等基础知识 考查推理论证和运算求解能力 以及化归与转化的数学公式等基础知识 考查推理论证和运算求解能力 以及化归与转化的数学 思想方法 思想方法 解答 解答 1 64 5 3 1 sin 2 4 5 f 4 sin2 2 2 101 3 2sin 3 2sin 132326 f 5 sin 13 61 32 2sin 32 2sin 2cos 5362 f 3 cos 5 广东省 2011 年数学高考试题解法研究 理科 4 0 2 2 cos1 sin 2 sin1 cos 12 cos 13 4 sin 5 12354 cos coscossinsin 135135 16 65 注注 1 第一问的新解法 第一问的新解法 1 2sin 36 f xx 2sincos2cossin 3636 xx 3sincos 33 xx 555 3sincos 41212 f 3sin cos 6464 3sincos3cossincoscossinsin 64646464 2 第一问的新解法第一问的新解法 1 2sin 36 f xx 1 2sin 332 x 1 2cos 33 x 515 2cos 4343 f 3 2cos 4 2 第一问的新解法第一问的新解法 55 2sin 4126 f 55 2 sincoscossin 126126 3 2662 2 88 2 2 101 3 2sin 3 2sin 132326 f 5 sin 13 22 512 cos1 sin1 1313 广东省 2011 年数学高考试题解法研究 理科 5 61 32 2sin 32 2sin 2cos 5362 f 3 cos 5 22 34 sin1 cos1 55 cos coscossinsin 31254 513135 16 65 17 为了解甲 乙两厂的产品质量 采用分层抽样的方法从甲 乙两厂生产的产为了解甲 乙两厂的产品质量 采用分层抽样的方法从甲 乙两厂生产的产 品中分别抽取品中分别抽取 14 件和件和 5 件 测量产品中微量元素件 测量产品中微量元素的含量 单位 毫克 的含量 单位 毫克 x y 下表是乙厂的下表是乙厂的 5 件产品的测量数据 件产品的测量数据 编号编号12345 x169178166175180 y 7580777081 1 已知甲厂生产的产品共有 已知甲厂生产的产品共有 98 件 求乙厂生产的产品数量 件 求乙厂生产的产品数量 2 当产品中的微量元素 当产品中的微量元素满足满足时 该产品为优等品时 该产品为优等品 用上述用上述 x y17575xy 且 样本数据估计乙厂生产的优等品的数量 样本数据估计乙厂生产的优等品的数量 3 从乙厂抽出的上述 从乙厂抽出的上述 5 件产品中 随机抽取件产品中 随机抽取 2 件 求抽取的件 求抽取的 2 件产品中优等件产品中优等 品数品数 的分布列及其均值 即数学期望 的分布列及其均值 即数学期望 解答 解答 1 解法解法 1 98 7 14 5 7 35 即乙厂生产的产品数量为 35 件 解法解法 2 设乙厂生产的产品数量为 则有 n 9814 5n 解得 35n 即乙厂生产的产品数量为 35 件 解法解法 3 设乙厂生产的产品数量为 则有 n 9814 98145n 解得 35n 即乙厂生产的产品数量为 35 件 解法解法 4 设甲 乙两厂生产的产品总数量为 则有 n 9814 19n 广东省 2011 年数学高考试题解法研究 理科 6 解得 133n 故乙厂生产的产品数量为件 1339835 解法解法 5 设甲 乙两厂生产的产品总数量为 乙厂生产的产品数量为 则mn 有 9814 19 5 19 m n m 解得 35n 故乙厂生产的产品数量为 35 件 2 易见只有编号为 2 5 的两组产品为优等品 所以乙厂生产的产品中的优等品率为 2 5 2 35 14 5 故乙厂生产有大约件优等品 14 3 解法解法 1 的取值为 0 1 2 2112 3322 222 555 331 0 1 2 10510 CCCC PPP CCC 所以的分布列为 012 P 3 10 6 10 1 10 故的均值为 331 012 10510 E 4 5 解法解法 2 的取值为 0 1 2 326322312212 0 1 2 54205454205420 PPP 所以的分布列为 012 广东省 2011 年数学高考试题解法研究 理科 7 P0 30 60 1 故的均值为 0 0 3 1 0 62 0 1E 0 8 18 本小题满分本小题满分 13 分分 如图如图 5 在锥体 在锥体 P ABCD 中 中 ABCD 是边长为是边长为 1 的菱形 且的菱形 且 DAB 60 PA PD PB 2 E F 分别是分别是 BC PC 的中点 的中点 2 1 证明 证明 AD 平面平面 DEF 2 求二面角求二面角 P AD B 的余弦值 的余弦值 E F P D C B A 证法证法 1 1 AD AB 1 DAB 60 ABCD 是边长为 1 的菱形 ABD CBD 均为边长为 1 的正三角形 E 为 BC 的中点 BC DE 又 AD BC AD DE 取 AD 的中点 G 连结 PG BG BD 广东省 2011 年数学高考试题解法研究 理科 8 GE F P D C B A PA PD G 为 AD 的中点 PG AD 2 AB AD 1 G 为 AD 的中点 BG AD 而 PG BG G AD 平面 PBG AD PB E F 分别是 BC PC 的中点 EF PB AD EF 由 AD DE AD EF EF DE E 知 AD 平面 DEF 另一方法 另一方法 从 AD 平面 PBG 之后开始 由于 E F 分别为 BC PC 的中点 则 DE BG EF PB 并且 DE DF D BG PB B 面 DEF 面 PBG 知 AD 平面 DEF 2 由 1 的证明知 PG AD BG AD 又 PG平面 PAD BG平面 BAD 平面 PAD平面 BAD AD PGB 为二面角 P AD B 的平面角 在 Rt PAG 中 2 7 22 AGPAPG 在 Rt ABG 中 3 sin60 2 BGAB 222 cos 2 PGBGPB PBG PG BG 广东省 2011 年数学高考试题解法研究 理科 9 73 4 21 44 773 2 22 证法证法 2 1 AD AB 1 DAB 60 ABCD 是边长为 1 的菱形 ABD CBD 均为边长为 1 的正三角形 E 为 BC 的中点 BC DE 又 AD BC AD DE 2 1 cos ADCDCDADCDA 在 ADP 中 22 1 2 2 1 cos PDA 2 1 22 1 21cos ADPDPDADPDA 0 2 1 2 1 DPDADCDADPDCDADFDA AD DF 由 AD DE AD EF EF DE E 知 AD 平面 DEF 2 与证法 1 的证明相同 证法证法 3 向量法 AD AB 1 DAB 60 ABCD 是边长为 1 的菱形 ABD CBD 均为边长为 1 的正三角形 E 为 BC 的中点 BC DE 又 AD BC AD DE 以 D 为原点 的方向分别为 x 轴 y 轴的正向 建立如图所示的空间 DA DE 直角坐标系 广东省 2011 年数学高考试题解法研究 理科 10 z y x GE F P D C BA 则有 D 0 0 0 C 0 2 3 2 1 1 0 0 A 取 AD 的中点 G 连 PG GB 由 GB DE AD BG 可得 B G 13 0 22 0 0 2 1 PA PD PG AD 可设 P zy 2 1 GE F P D C B A 于是 或用 31 0 22 PByz DPy z 1 2 PAyz 222 3 4 2 PByz 222 1 2 4 PDyz 解得 P 1 2 3 2 1 又 C F 0 2 3 2 1 2 1 0 0 1 0 0 DA 广东省 2011 年数学高考试题解法研究 理科 11 13 0 0 0 0 22 DFDE 0 0DA DFDA DE DA DF DA DE AD 平面 DEF 2 由 1 得 13 1 22 DP 1 0 0 DA 设面 PAD 的法向量为 nx y z 由于 且 13 0 22 DP nxyz 0n DAx 所以取 3 0 1 2 n 又 面 ABD 的法向量 0 0 1 m 或 cos nm nm nm 3 2 3 11 4 21 7 证法证法 4 1 AD AB 1 DAB 60 ABCD 是边长为 1 的菱形 ABD CBD 均为边长为 1 的正三角形 E 为 BC 的中点 BC DE 又 AD BC AD DE 过点 P 作 PO 平面 ABCD 垂足是点 O 连接 OA OD 广东省 2011 年数学高考试题解法研究 理科 12 O H GE F P D C B A 取 AD 的中点 G 连接 OG GB 则由 PA PDOA OD 2 OG AD BG AD OB AD 又 PO AD PO OB O AD 平面 PBO AD PB 又 EF PB AD EF AD DE AD EF DE EF E AD 平面 DEF 2 连接 PG 后 与证法 1 的 2 相同 证法证法 5 AD AB 1 DAB 60 ABCD 是边长为 1 的菱形 ABD CBD 均为边长为 1 的正三角形 E 为 BC 的中点 BC DE 又 AD BC AD DE 广东省 2011 年数学高考试题解法研究 理科 13 O H GE F P D C B A 取 PB 的中点 H 连结 AH DH 在 APB 中 PA AB 1 PB 22 由三角形的中线长公式得 AH 同理可得 DH 2 2 2 2 取 AD 的中点 G 则 HG AD AD BG AD HG AD 平面 HGB AD PB 又 EF PB AD EF 由 AD DE AD EF 得 AD 平面 DEF O H GE F P D C B A 证 证 FD AD 的另法 的另法 1 2 3 2 2 2222 OBPBPO 5 11 1 2222 OCPOPC 广东省 2011 年数学高考试题解法研究 理科 14 FD PO 2 1 2 1 在 APC 中 PA AC PC F 为 PC 的中点2 2 3 2 35 由三角形的中线长公式 得 AF 2 5 在 ADF 中 由 AD 1 DF AF 知 AD DF 2 1 2 5 由 AD DE AD DF DEDF D 知 AD 平面 DEF 2 连接 PG 后 与证法 1 的 2 相同 证法证法 6 1 取 AD 中点为 G 因为 PA PD 所以 PG AD 又 AB AD DAB 60 ABD 为等边三角形 因此 BG AD 从而 AD 平面 PBG 延长 BG 到 O 且使得 PO OB 又 PO平面 PBG PO AD AD OB G 所以 PO 平面 ABCD 以点 O 为坐标原点 1 为单位长度 的方向分别为 x 轴 z OB OPAD 轴 y 轴的正向 建立如图所示的空间直角坐标系 设 P 0 0 m G n 0 0 则 11 0 0 22 A nD n G y z x O E F P D C B A 3 sin60 2 GBAB 333 13 1 0 0 1 0 0 2222242 2 nm B nC nE nF 广东省 2011 年数学高考试题解法研究 理科 15 于是 33 0 0 0 2242 nm DEFE 得 AD DE AD FE 0 0 AD DEAD FE 而 DE FE E AD 平面 DEF 2 13 0 22 PAnm PBnm 2222 13 2 2 42 mnnm 解之得 3 1 2 mn 设平面 PAD 的法向量 2 na b c 由于 得 由 得 2 0PA n 3 0 22 b ac 2 0PD n 3 0 22 b ac 取 2 3 1 0 2 n 取平面 ABD 的法向量 1 0 0 1 n 12 12 12 3 21 2 cos 77 1 4 n n n n nn 证法证法 7 1 AD AB 1 DAB 60 ABCD 是边长为 1 的菱形 ABD CBD 均为边长为 1 的正三角形 E 为 BC 的中点 BC DE 又 AD BC AD DE 取 PB 的中点 H 连结 AH DH 广东省 2011 年数学高考试题解法研究 理科 16 H GE F P D C B A 在 APB 中 PA AB 1 PB 22 由三角形的中线长公式得 AH 同理可得 DH 2 2 2 2 取 AD 的中点 G DH AH GH AD 2 2 E F G H 分别是 BC PC AD PB 的中点 ABD CBD 均为边长为 1 的正三角形 GDBEHF H GE F P D C B A HGDF 是平行四边形 GH DF AD DF AD DE AD DF DF DE D AD 平面 DEF 广东省 2011 年数学高考试题解法研究 理科 17 2 连接 PG BG 则 PG AD BG AD PGB 为二面角 P AD B 的平面角 设 PGH 为 则 GHPG PHGHPG 2 cos 222 7 72 2 1 2 7 2 1 4 1 4 7 20 cos1sin 90cos cos PGB 7 21 7 4 1 证法证法 7 中 中 2 问的向量法 问的向量法 1 由 1 问知 HG AD 由勾股定理得 GH 2 1 由勾股定理逆定理得 GH GB GH 平面 ABCD 延长 BG 至点 K 使 KG BG 连接 PK H G 分别为 PB KB 的中点 PK HG PK 2HG 2 1 2 1 PK 平面 ABCD 以 G 为坐标原点 的方向分别为 x 轴 y 轴 z 轴的正方向建 GA GB GH 立空间直角坐标系 则 G 0 0 0 A 0 0 P 0 1 H 0 0 2 13 2 1 2 K z y x H GE F P D C B A 广东省 2011 年数学高考试题解法研究 理科 18 于是 313 0 1 1 222 GPAP 设平面 PAD 的法向量 na b c 则由 得 0 0 APn GPn 0 2 3 2 0 2 3 cb a cb 取 则 b 2 a 03c 是平面 PAD 的一个法向量 0 0 2 3 n 取平面 ABD 的一个法向量 1 1 0 0 2 n 01 01 01 1 3 21 2 cos 1 7 7 2 nn n n nn 证法证法 7 中 中 2 问的向量法 问的向量法 2 由 1 问知 HG AD 由勾股定理得 GH 2 1 由勾股定理逆定理得 GH GB GH 平面 ABCD 由 1 问知 FD GH FD 平面 ABCD 延长 CD 至 M 使 MD CD 连接 PM F D 分别为 PC MC 的中点 PM FD PM 2FD 2HG 2 1 2 1 PM 平面 ABCD 以 D 为坐标原点 的方向分别为 x 轴 y 轴 z 轴的正向建立空间 DA DE DF 直角坐标系 则 D 0 0 0 A 1 0 0 F 0 0 于是 13 1 22 P 1 2 1313 1 1 2222 DPAP 广东省 2011 年数学高考试题解法研究 理科 19 z y M x H GE F P D C B A 设平面 PAD 的法向量 于是 2 na b c 由 得 0 0 2 2 APn DPn 0 2 3 2 0 2 3 2 cb a cb a 取 则有 3 2 c 2 3 0 1 2 n 取平面 ABD 的一个法向量 1 1 0 0 2 nDF 12 12 12 13 21 22 cos 713 1 24 n n n n nn GE F P D C B A 证法证法 8 1 AD AB 1 DAB 60 ABCD 是边长为 1 的菱形 ABD CBD 均为边长为 1 的正三角形 H 广东省 2011 年数学高考试题解法研究 理科 20 E 为 BC 的中点 BC DE 又 AD BC AD DE 取 AD 的中点 G 连结 PG BG BD GC PA PD G 为 AD 的中点 PG AD 2 设 GC 交 DE 于 H 连结 FH 四边形 DGEC 是平行四边形 H 为 GC 的中点 又 F 是 PC 的中点 FH PG AD FH 由 AD DE AD FH FH DE H 知 AD 平面 DEF 2 与证法 1 的证明相同 证法证法 9 1 ABCD 是菱形 AC BD 如图建立空间直角坐标系 o xyz z y x O E F P D C B A 边长为 1 DAB 60 BD 1 AC A C B D3 0 0 2 3 0 0 2 3 0 2 1 0 0 2 1 0 设 P x y z 则 3 2 APxy z 1 2 DPx yz 1 2 DPx yz 广东省 2011 年数学高考试题解法研究 理科 21 P 2 2 1 2 2 1 2 2 3 222 2 222 2 22 2 2 zyxDP zyxDP zyxAP 1 1 2 3 z y x 1 1 2 3 E F 0 4 1 4 3 2 1 2 1 0 DE 0 4 3 4 3 DF 2 1 0 0 DA 0 2 1 2 3 0 DEDA0 DFDA AD 平面 DEF 2 设平面 PAD 的法向量 ma b c DA 0 2 1 2 3 DP 1 2 1 2 3 0 2 1 2 3 0 2 1 2 3 cbaDPm baDAm 1 3 3 m 平面 ABD 的一个法向量 0 0 1 n 321 cos 71 33 1 m n m n mn 面 P AD B 的平面角的余弦为 21 7 19 本小题满分本小题满分 14 分分 设圆设圆与两圆与两圆中的一个内切中的一个内切 另一个外切另一个外切 C 22 22 54 54xyxy 1 求求的圆心轨迹的圆心轨迹的方程的方程 CL 2 已知点已知点 且且为为上的动点上的动点 求求的最大值及的最大值及 3 5 4 5 5 0 55 MF PL MPFP 此时点此时点的坐标的坐标 P 广东省 2011 年数学高考试题解法研究 理科 22 本小题主要考查两圆的位置关系 双曲线的定义等基础知识本小题主要考查两圆的位置关系 双曲线的定义等基础知识 考查推理论证和运考查推理论证和运 算求解能力算求解能力 以及数形结合 化归与转化的数学思想方法以及数形结合 化归与转化的数学思想方法 1 解解 设的圆心的坐标为 由题设条件知C x y 22 22 554 xyxy 化简得的方程为 L 2 2 1 4 x y 43211234 x 3 2 5 2 1 5 1 0 5 0 5 1 1 5 2 2 5 y P M F O T1 T2 2 解解 过的直线 的方程为 将其代入的方程得 M Fl 25 yx L 2 1532 5840 xx 解得故 与的交点为 12 6 514 5 515 xx lL 12 6 52 514 5 2 5 551515 TT 因在线段外 在线段内 所以 1 TMF 2 TMF 11 2MTFTMF 22 MTFT 若不在直线上 则在中有 2MF PMFMFP 2 MPFPMF 故只在点取得最大值 2 MPFP 1 T 1 解法一解法一 设的圆心的坐标为 由题设条件知C x y 22 22 554 xyxy 化简得的方程为 L 2 2 1 4 x y 解法二解法二 由题设条件可知 两圆和的圆心分别为4 5 22 yx4 5 22 yx 和 其半径均为 2 1 5 0 F 5 0 F 设的圆心为 则到的距离分别为 C P x yP 1 F F 22 22 1 5 5PFxyPFxy 广东省 2011 年数学高考试题解法研究 理科 23 由与两圆中的一个内切 另一个外切 所以C 22 22 54 54xyxy 1 4 PFPF 由双曲线定义知 轨迹是以 为焦点的双曲线 L 1 5 0 F 5 0 F 由于 可得 24a 5 c 1 22 acb 故轨迹的方程为 L 2 2 1 4 x y 2 过的直线 的方程为 M Fl 25 yx 将其代入的方程得 L 2 1532 5840 xx 解得 12 6 514 5 515 xx 故 与的交点为 lL 12 6 52 514 5 2 5 551515 TT 因在线段外 1 TMF 11 2 MTFTMF 在线段内 故 2 TMF 22 2 MTFTMF 若不在直线上 在中有 PMFMFP 2 MPFPMF 故只在点取得最大值 2 MPFP 1 T 43211234 x 3 2 5 2 1 5 1 0 5 0 5 1 1 5 2 2 5 y P M F O T1 T2 解法二解法二 当在双曲线的左支时 P1 4 2 2 y x 2 MFFPMP 当在双曲线的右支时 P1 4 2 2 y x 2 MFFPMP 当且仅当在线段的延长线上时取等号 故的最大值为PMFFPMP 2 广东省 2011 年数学高考试题解法研究 理科 24 又直线的方程为 MF 25 yx 将其代入得 1 4 2 2 y x 2 1532 5840 xx 解得 5 56 1 x 15 514 2 x 因为 所以取得最大值 2 时 点的坐标为 5 5 6 55 5 14 MPFP P 5 52 5 56 20 本小题满分 本小题满分 14 分 分 设设 数列数列满足满足 0b n a 1 ab 1 1 22 n n n nba a an 2n 1 求数列求数列的通项公式的通项公式 n a 2 证明证明 对于一切正整数对于一切正整数 n 1 1 1 2 n n n b a 本小题主要考查等差 等比数列的通项公式与前 本小题主要考查等差 等比数列的通项公式与前项和公式 基本不等式等项和公式 基本不等式等n 基础知识 考查推理论证和运算求解能力 以及分类与整合 化归与转化基础知识 考查推理论证和运算求解能力 以及分类与整合 化归与转化 的数学思想方法的数学思想方法 第一问 求数列第一问 求数列的通项公式 本小题满分的通项公式 本小题满分 8 分 分 n a 1 解法解法 1 国标国标 由知 1 ab 1 1 22 n n n nba a an 0 1 1 221 n nn an anba 1 121 nn nn abb a A 令 1 1 n n n AA ab 当时 2n 1 12 nn AA bb 广东省 2011 年数学高考试题解法研究 理科 25 2 12 12 n A bb bb 21 1 211 1222 nn nn A bbbb 21 21 1222 nn nn bbbb 当时 2b 12 1 2 1 n n bb A b 2 2 nn n b bb 当时 2b 2 n n A 2 2 2 2 2 n nn n nbb b a b b 解法解法 2 由知 1 ab 1 1 22 n n n nba a an 0 1 1 221 n nn an anba 1 121 nn nn abb a A 令 1 1 n n n AA ab 当时 2n 1 12 nn AA bb 当时 令 2b 1 2 nn AA b 整理得 由 得 1 22 1 nn AA bb 21 1 bb 1 2b 广东省 2011 年数学高考试题解法研究 理科 26 1 121 22 nn AA bbb 数列是首项为 公比为的等比数列 1 2 n A b 1 12 22 A bbb 2 b 1 122 22 n n A bbbb A n A 2 2 nn n b bb 当时 2b 1 1 2 nn AA 数列是首项为 公比为的等差数列 n A 1 1 2 A 1 2 11 1 222 n n An 2 2 2 2 2 n nn n nbb b a b b 解法解法 3 由知 1 ab 1 1 22 n n n nba a an 0 1 1 221 n nn an anba 1 121 nn nn abb a A 令 1 1 n n n AA ab 当时 2n 1 12 nn AA bb 两边同乘以得 2 n n b 11 1 1 222 nnn nn nnn bbb AA 得 11 1 1 222 nnn nn nnn bbb AA 广东省 2011 年数学高考试题解法研究 理科 27 112 112 112 22222 nnnnn nnnnn nnnnn bbbbb AAAAA 2 211 2 222 bbb AAA 12 12 1 2222 nn nn bbb 当时 2b 1 1 22 2 22 1 2 n nnn n n b bb A b b n A 2 2 nn n b bb 当时 2b 2 n n A 2 2 2 2 2 n nn n nbb b a b b 解法解法 4 由知 1 ab 1 1 22 n n n nba a an 0 1 1 221 n nn an anba 1 121 nn nn abb a A 令 1 1 n n n AA ab 当时 2n 1 12 nn AA bb 1 12 nn AA bb 11 2 nnnn AAAA b 数列是首项为 公比为的等比数列 1nn AA 21 2 2 AA b 2 b 1 1 21 222 n n nn n AA bbb 121321nnn AAAAAAAA 广东省 2011 年数学高考试题解法研究 理科 28 21 23 1222n n bbbb 当时 2b 12 1 2 1 n n bb A b 2 2 nn n b bb 当时 2b 2 n n A 2 2 2 2 2 n nn n nbb b a b b 解法解法 5 1 ab 1 1 22 n n n nba a an 2n 2 1 2 1 22 2 222 bab a ab 3 2 3 22 2 33 23222 bab a abb 猜想 1221 222 n n nnnn nb a bbb 下面用数学归纳法证明猜想成立下面用数学归纳法证明猜想成立 当时 左边 右边 等式成立 1n 1 ab 1 1 1 b b b 假设时 猜想成立 即 1221 222 k k kkkk kb a bbb 1nk k 当时 1nk 1 1 212 k k k kba a ak 1221 1221 1 222 2 222 k kkkk k kkkk kb kb bbb kb k bbb A 广东省 2011 年数学高考试题解法研究 理科 29 1 11 1 222 k kkkk kb bbb 故时 猜想也成立 1nk 由 知 对任意N n 1221 222 n n nnnn nb a bbb 解法解法 6 由知 1 ab 1 1 22 n n n nba a an 0 1 1 221 n nn an anba 1 112 1 1 nn n abnbna A 当时 可得2b 1 112211 2 2 1 nn n abnnbabn 记 则 11 2 n n A abn 1 22 nn n AA nb 32 1 121 n n n AAA AA AAA 2122 12 2 2 23 n bbbbnb 1 1 22 1 2 3 1 2 2 3 4 n n n bbn b 2 2 n n nb b 1212 2 2 2 nnn nn n b anb bnbnb b 2 2 n n nn n bb a b 广东省 2011 年数学高考试题解法研究 理科 30 当时 2b 2 n n A 2 2 2 2 2 n nn n nbb b a b b 解法解法 7 2 1 1 1 2 1 1 1 1 n a n a b na ba n a n n n nn 令 则 n a A n n 2 1 1 n n n A bA A 当时 则是首项为等差数列公差为2 b n A 1 2 1 2 1 22 1 1 2 11n n An n An 2 2 n a 当时 2b 1 11 1 11 1 2 2 2 2 2 2 2 n nnn n nnn n bA AAbA bA AbbAbAb b A 11 11 2 2 22 2 nn nn bAAb bAbAb 是首项为 公比为的等比数列 2 n n A Ab 1 1 2 2 Ab Ab 2 b 1 2 222 n n n n n Abbb Ab A 2 2 nnn nn Ab Abb 2 2 n n nn bb A b 2 2 n n nn bnb a b 广东省 2011 年数学高考试题解法研究 理科 31 第二问 证明不等式 第二问 证明不等式 对于一切正整数 本小题满分 本小题满分 6 分 分 n 1 1 1 2 n n n b a 3 证法证法 1 国标国标 当时 欲证 只需证 2b 1 1 2 1 22 n n n nnn nbbb a b 1 1 2 1 22 nnn n n bb nb b 11 2 2 2 nn nn b b b 11121 222 nnnnn bbb 1122222111 22222 nnnnnnnnn bbbbb 21 21 222 2 222 nnn nn nnn bbb b bbb 1 22222 nnnn bnb A 所以 1 1 2 1 22 n n n nnn nbb b a b 当时 2b 1 1 21 2 n n n b a 综上所述 1 1 1 2 n n n b a 证法证法 2 当时 欲证2b 1 1223211 1 22222 nn n nnnnnn nbb a bbbb 只需证 1 1221 1 1222 2 n nnnnn n b nbbbb 事实上 1 1221 1 1222 2 n nnnn n b bbb 广东省 2011 年数学高考试题解法研究 理科 32 1 1221 1 222 2 n nnnn n b bbb A 1221 222 nnnn bbb 2211 12 222 nnn nn bbb 1221 222 nnnn bbb 2211 121 12 22 222 nnn nnn nn bbb bb 2211 121 12 22222 222 nnn nnn nn bbb bb AA A n nb 当时 2b 1 1 21 2 n n n b a 综上所述 1 1 1 2 n n n b a 分析 分析 对于一切正整数 n 当且时 下证 1 1 1 2 n n n b a 0b 2b 1 2 1 2 2 1 n nn nbb a b 1 2 11 2 2 nn b b n b 1 2 1 22 2 nn bb b f nn nN b 证法证法 3 对于一切正整数 n 1 1 1 2 n n n b a 当时 左边 右边 不等式显然成立 且取等号 2b 2 n a 1 1 12 2 n n b 当时 下面用数学归纳法证明2b f nn nN 当时 1n 广东省 2011 年数学高考试题解法研究 理科 33 结论成立 2 2 1 411222 1 21 2444 n bbb bbb f bbbb A 假设当 n k 时 成立 f kk 121 22 22 1 2 kkkk bb bb f kf k b 1 22 11 22 2 kk bb bb b 1 1 21 2 2 kk b b b 11 12 22 kk b b 11 2 1 2 kk b b 因此 1 1f kf k 即 1 11f kf kk 成立 由 知 对一切都有 所以对于一切正整数 n nN f nn 1 1 1 2 n n n b a 证法 4 当时 要证2 b1 22 2 1 1 n n nn n b b bnb 1 222 1 1 121 n n nnn n b bb nb 121 121 22 22 nn n nnn nnnn nbnb a bb n bb 1 2 11 2 1 2 n nnnn b b 广东省 2011 年数学高考试题解法研究 理科 34 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 n n n n nnnn n bb b b 1 2 1 2 1 1 2 2 1 n n n bb 当时 2 b1 2 2 1 1 n n n b a 综上知 成立1 2 1 1 n n n b a 21 本小题满分 本小题满分 14 分 分 在平面直角坐标系在平面直角坐标系上 给定抛物线上 给定抛物线 实数实数满足满足 xOy 2 1 4 L yx p q 2 40pq 是方程是方程的两根 记的两根 记 12 x x 2 0 xpxq 12 max p qxx 1 过点 过点作作的切线交的切线交轴于点轴于点 证明 对线段证明 对线段上任一上任一 2 000 1 0 4 A ppp LyBAB 点点有有 Q p q 0 2 p p q 2 设 设是定点 其中是定点 其中满足满足 过设过设作作的两的两 M a b a b 2 40ab 0a M a bL 条切线条切线 切点分别为 切点分别为 与与轴分别交与轴分别交与 12 l l 22 1122 11 44 E ppE pp 12 l ly 线段线段上异于两端点的点集记为上异于两端点的点集记为 证明 证明 F F EFX 1 12 2 p M a bXppa b 3 设 设 当点当点取遍取遍时 求时 求的的 2 15 1 1 44 Dx y yxyx p qD p q 最小值 记为最小值 记为 和最大值 记为 和最大值 记为 min max 第一问第一问 1 解法 解法 1 由题 则 2 1 4 yx 2 x y 广东省 2011 年数学高考试题解法研究 理科 35 从而过点的切线方程为 即 由于点A 2 0 00 1 42 p ypxp 2 0 0 1 24 p yxp 在线段上 则 从而由得 p q 2 0 0 1 24 p qpp 2 0 xpxq 即 22 0 0 1 0 24 p xpxpp 00 0 22 pp xxp 即 00 12 22 pp xxp 如图 当时 有 此时 0 0p 0 0pp 00 21 22 pp xpx 0 1 2 p p qx 当时 有 此时 0 0p 0 0pp 000 121 222 ppp xpxx 0 1 2 p p qx 解法解法 2 由题 则 从而过点的切线方程为 2 1 4