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8 3有理函数和可化为有理函数的不定积分 一 有理函数的不定积分二 三角函数有理式的不定积分三 某些无理根式的不定积分 有理函数的定义 两个多项式的商表示的函数称之为有理函数 其一般形式为 一 有理函数的积分 1 假定分子与分母之间没有公因式 这有理函数是真分式 这有理函数是假分式 利用多项式除法 假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和 例 有理真分式必定可以表示成若干个部分分式之和 称为部分分式分解 有理函数化为部分分式之和的一般步骤 第一步对分母在实系数内作标准分解 第二步根据分母的各个因式分别写出与之相应的部分分式 1 分母中若有因式 则分解后为 特殊地 分解后为 特殊地 分解后为 真分式化为部分分式之和的待定系数法 例1 代入特殊值来确定系数 取 取 取 并将值代入 例2 例3 整理得 例4求积分 解 例5求积分 解 例6求积分 解 令 说明 将有理函数化为部分分式之和后 只出现两类情况 对于 则 记 令 令 有理函数的原函数都是初等函数 结论 所以 注用求有理真分式的最简分式分解式的方法求其积分往往很麻烦 所以 当我们求有理函数的积分时 应尽可能地考虑是否有其它更简便的解法 例7 解 由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之为三角有理式 三角有理式的定义 二 三角函数有理式的不定积分 一般记为 三角有理函数的积分 一般有如下规律 一 二 万能代换 万能置换公式 例8 解法一 解法二 用初等化简 解法三 用初等化简 并凑微 例9求积分 解 由万能置换公式 例10求积分 解 一 解 二 修改万能置换公式 令 解 三 可以不用万能置换公式 结论 比较以上三种解法 便知万能置换不一定是最佳方法 故三角有理式的计算中先考虑其它手段 不得已才用万能置换 例11求积分 解 1 讨论类型 解决方法 作代换去掉根号 例12求积分 解令 三 简单无理函数的积分 例13求积分 解令 说明 无理函数去根号时 取根指数的最小公倍数 例14求积分 解 先对分母进行有理化 原式 由于 若记 则此二次三项式必属于以下三种情形之一 因此上述无理根式的不定积分也就转化为 例15求 解 解法一 按上述一般步骤 求得 由于 因此 解法二 若令 则可解出 于是所求不定积分化为有理函数的不定积分 注1可以证明 所以两种解法所得结果是一致的 此外 上述结果对同样成立 这类变换称为欧拉变换 简单无理式的积分 有理式分解成部分分式之和的积分 注意 必须化成真分式 三角有理式的积分 万能置换公式 注意 万能公式并不万能 四 小结 五 作业 P198
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