信号与系统-11.12第七章

第七章,1,第七章 离散系统的时域分析,第七章,2,离散信号的表示方法：,（1）图形表示：,（2）数据表格：,（3）序列表示：,第七章,3,离散信号时域运算,相加、相乘、数乘、累加和,离散信号时域变换,移位、折叠、倒相、展缩,常用离散信号,单位序列(k),可以将任意离散信号表示为一系列延时单位函数的加权和,单位阶跃序列,第七章,4,单位矩形序列（单位门序列）GN(k),斜变序列,单边指数序列,正弦序列,第七章,5,正弦序列,数字角频率0与模拟角频率0的关系由于离散信号定义的时间为 kT，显然有： 0= 0T模拟角频率0的单位是 rad/s，而数字角频率0的单位为 rad。0表示相邻两个样值间弧度的变化量。,0表示1秒内变化了50个2 rad,0表示两个离散值之间的弧度变化量,第七章,6,正弦序列的周期,周期序列的定义： f (k+N)=f (k) 式中：N为序列的周期，只能为任意整数。周期 N 的计算方法：与模拟正弦信号不同，离散正弦序列是否为周期函数取决于比值2/0是正整数、有理数还是无理数。,是正整数时，则周期为N。因为：,是有理数时，则周期为,为无理数时，正弦序列就不再是周期序列。 但包络线仍是正弦函数。,第七章,7,例 1,求下列正弦序列的周期。,正整数,周期N=,有理数,周期N=,无理数,不是周期序列,第七章,8,例 2,下述四个等式中，正确的是_。,D,第七章,9,例 3,已知离散信号 f (k)=(k+2)U(k+2)-U(k-3), 求: f (k+1)+ f (-k+1)=？,f (k+1)+ f (-k+1)= (k+2)+6(k+1)+6(k)+6(k-1)+(k-2),折叠，右移,第七章,10,一、离散系统： 激励、响应均为离散时间信号的系统。,二、分类：,线性系统 非线性系统,线性系统,时不变系统,因果系统 非因果系统,因果系统,时不变系统 时 变 系 统,2 离散时间系统的数学描述,第七章,11,设 f (k)和 y (k)分别表示离散时间系统的输入和输出序列，分析以下系统的线性、时不变、因果性。,解：,(1),(2),(3),例 1,(1),齐次性,叠加性,不满足时不变性,线性时变离散时间系统,(2),不满足齐次性,不满足叠加性,时不变性,非线性时不变离散时间系统,（3）,线性时不变离散时间系统,第七章,12,三离散时间系统模型,线性时不变连续时间系统:,激励、响应是连续变量t的函数，系统数学模型微分方程。,线性时不变离散时间系统：,激励、响应是时间的离散值，系统数学模型差分方程,1差分方程描述,第七章,13,解：,离散时间变量kT代替连续时间变量t,y(t)的导数可近似写成,一阶差分方程,例2写出节点电压关系。,二阶差分方程,返回,第七章,14,差分方程,n阶前向差分方程,多用于状态变量分析法,n阶后向差分方程,多用于因果系统与数字滤波器的分析,差分方程阶数：响应最高序号与最低序号的差值。,离散自变量k不一定限于时间。,差分方程的重要特点是：系统当前的输出（即在k时刻的输出）y(k)，不仅与激励有关，而且与系统过去的输出 y(k-1), y(k-2), y(k-n) 有关，即系统具有记忆功能。,第七章,15,微分方程与差分方程的比较,第七章,16,传输算子及其应用,算子E 表示将序列向前(左)移一个时间间隔的运算 E f (k)= f (k+1), E2 f (k)= f (k+2), .算子E-1 表示将序列向后(右)移一个时间间隔的运算 E-1 f (k)= f (k-1), E-2 f (k)= f (k-2), .差分方程的算子形式,或：,转移算子,对于因果系统，只能有mn，其中D(E)=0为差分方程的特征方程，其根称为差分方程的特征根，也称系统的自然频率或固有频率。,连续时间系统：微分算子,离散时间系统：差分算子E,第七章,17,模拟框图,延时器：,一阶系统,1/E,-a,加法器：,信号流图,比例器：,第七章,18,系统模拟举例,可写为：,1/E,-3,差分方程为：,1/E,-2,3,1/E,第七章,19,系统模拟举例 （用算子方法）,用算子表示为：,1/E,-3,差分方程为：,1/E,-2,3,令：,显然，此模拟图只用了两个延时器。,第七章,20,7-3 离散系统时域经典分析,、齐次差分方程时域解,传输算子,特征方程,（1）特征根为单根：,（2）特征根含重根：,E1= E2=Er，其余为单根,返回,齐次差分方程时域解,第七章,21,例 1,解：,公式,特征方程,或,系统自然频率,1,4,第七章,22,例 2,公式,解：,特征方程,2,0,第七章,23,例 3,f(k)=0，y(1)=1，y(2)0，y(3)=1，y(5)1。求响应y(k)。,解：,梅森公式求传输算子,4条环路：,L1=2E-1， L2-2E-2；L32E-3；L4-E-4,L1,L2,L3,L4,2条前向通路：,P1=E-4， 11； P2=4E-2， 21,第七章,24,二非齐次差分方程时域解,齐次方程通解自然频率,非齐次方程特解激励型式,1几种典型信号激励下相应特解的形式：,激励f(k),特解yd(k),km,ak,返回,第七章,25,例 4,解：,（1）求对应的齐次方程通解y0(k)：,（2）根据激励求非齐次方程特解yd(k) ：,公式,代入原差分方程,（3）全响应：,初始条件确定待定系数,差分方程的经典解法与微分方程的经典解法类似！,第七章,26,（1）求系统数学模型差分方程、传输算子等；（2）写出特征方程，并求出特征根（自然频率）；（3）根据特征根，求对应齐次方程通解y0(k)； （4）根据激励形式求非齐次方程特解 yd(k)；（5）写出非齐次方程通解： y(k) y0(k) yd(k) ；（6）根据初始值求待定系数；（7）写出给定条件下非齐次方程解。,2离散系统时域经典法基本步骤：,第七章,27,三、全响应分解形式,自由响应,强迫响应,自由响应：仅与系统特征方程根有关， 即齐次差分方程的解y0(k) ;强迫响应：响应形式仅由激励信号的形式所决定， 即非齐次差分方程的特解yd(k),零输入响应：激励为零时，仅由初始状态引起的响应。响应形式与齐次差分方程解y0(k) 的形式完全相同，并由初始状态确定待定系数 。 零状态响应 ：系统初始状态为零时，仅由激励信号产生的响应。是系统初始状态为零时系统非齐次差分方程的解。,零输入响应,零状态响应,暂态响应：随序号k的增加， 响应逐渐消失的部分分量；稳态响应：随序号k增加，暂态分量消失后， 响应变化稳定的分量。,暂态响应,稳态响应,第七章,28,7-4 离散系统单位序列响应,一、单位序列响应定义h(k) 输入信号（激励）为单位序列信号(k)时，离散系统的零状态响应，称为单位序列响应。用表示h(k)。二单位序列响应求解递推法（迭代法）： 差分方程为： y(k)+ay(k-1)= f(k) 单位序列响应： h(k)=-ah(k-1)+(k) h(0)=-ah(-1)+(0)=1 h(2)=-ah(1)+(2)= (-a)2 h(n)= (-a)n U(n) 缺点：系数阶数较高时，用计算机计算十分方便，容易编程。但得不到一个闭合的解析表达式。,h(k)= (-a)k U(k),h(1)=-ah(0)+(1)=(-a),第七章,29,等效初值法,当k0，f(k)(k)0，系统处于零输入状态，故可将(k)的作用等效为系统的初始值，其单位序列响应h(k)形式与零输入响应形式相同。,第七章,30,例 1,求离散时间系统单位序列响应。,解：,写差分方程：,L1,L2,L3,梅森公式：,差分方程为,单位序列信号作用于系统,等效初值法,特征方程,特征根,单位序列响应h(k)的形式与零输入响应形式相同,K=0，,K=1，,K=2，,第七章,31,例 1,由迭代法可知等效初始值为,h(0)=1，h(1)=3，h(2)=6,等效初始值代入h(k)，确定系数,第七章,32,传输算子法,对于n阶系统（无重根情况）当nm时：,当nm时：将H(E)化为有理式,再按部分分式展开。,单位函数响应还可以用Z变换的方法求取，详见第八章。,H(E)与h(k)的对应关系，详见课本p253。,迭代法,第七章,33,例 2,求单位序列响应h(k)，已知某离散时间系统的差分方程为,解：,传输算子法,由差分方程求得系统的传输算子,第七章,34,7-5 离散系统时域卷积和分析法,卷积和的意义任意离散信号可分解为单位函数： f (k)=+f (-1)(k+1)+ f (0)(k)+ f (1)(k-1)+ + f (i)(k-i)+,定义：,称卷积和,第七章,35,一、任意信号的卷积和,系统的零状态响应：,线性非时变离散系统（零状态）,(k),h (k),(k-n),h (k-n),A(k-i),Ah (k-i),任意信号：,零状态响应：,A(k-n),Ah (k-n),第七章,36,二常用信号的卷积和,1f(k)与单位序列信号(k)卷积,2f(k)与单位阶跃信号U(k)卷积,3U(k)与ak U(k)卷积,卷积和表，详见课本p258,4. 位移序列的卷积和：,第七章,37,三、卷积和的性质,1交换律,2分配律,3结合律,四卷积和的计算,1利用定义计算,2利用常用信号卷积与有关性质计算,3利用卷积求和表计算：p258表74,4利用图解法计算：,第七章,38,卷积和的计算 图解法,方法与连续系统的卷积类似,例：求 y(k)= f1(k) f2(k),k =0 时,第七章,39,卷积和的计算 单位序列卷积法,例：求 y(k)= f1(k) f2(k),即：,此方法的优点是计算简单，但只适用于较短的有限序列，不易写出解析式。,第七章,40,0.12,0.09,0.06,0.03,0,0.08,0.06,0.04,0.02,0.08 0.06 0.04 0.02 0.08 0.06 0.04 0.020.04 0.03 0.02 0.01,卷积和的计算 列表法计算,第七章,41,卷积和的计算 解析法,方法与连续系统的卷积类似，用求和公式得解析式。,例1：求 y(k)= U(k) U(k),解：,例2：求 y(k)=(a)k U(k) U(k) 0a1,解：,第七章,42,五、离散系统的时域分析,解求方法：经典法 全响应 y(k)齐次解 yo(k)特解 yd(k),卷积和法,自由响应,强迫响应,全响应 y(k)零输入响应 yx(k)零状态响应yf(k),零状态响应：,单位序列响应,激励信号,分析步骤：（1）求单位序列响应； （2）计算卷积和。,第七章,43,例 3,解：,单位阶跃响应g(k) ：当激励为U(k)时，系统的零状态响应g(k)。,g(k)h(k)* U(k),查表,第七章,44,例 4,解：,y(k)零输入响应yx(k) 零状态响应yf(k),（1）零输入响应yx(k),特征方程 E0.90 ， E0.9,代入yx(-1)=1， 可得C10.9,（2）单位序列响应h(k)：,用等效初值法求h(k)：,特征方程 E0.90 ，E0.9,h(k)与零输入响应形式相同,由迭代法求等效初值h(0)，h(1),h(0)-0=