江苏省各地市高三历次模拟数学试题分类汇编：第3章不等式

- 1 - 目录 （基础复习部分） 第 3 章 不等式 . 2 第 16 课 不等关系与不等式 . 2 第 17 课 一元二次不等式 . 2 第 18 课 二元一次不等式组与简单的线性规划 . 2 第 19 课 基本不等式及其应用 . 4 第 20 课 综合应用（） . 6 第 21 课 综合应用（） . 7 - 2 - 第 3章 不等式 第 16课 不等关系与不等式 (南通调研一） 在等差数列 知首项1 0a ，公差 0d 若1260，23100，则155最大值为 已知 a=t,b=t2,c=t3,tN*,若 整数部分分别为 m,2,则 t 的 最大 值 . 答案： 21 第 17课 一元二次不等式 若关于 x 的不等式 x 2a 0 的解集中仅有 4 个整数解，则实数 a 的取值范围为 23 , )77（淮安宿迁摸底） 设函数 () 上的奇 函数，当 0x 时， 2()f x x x，则关于 x 的不等式( ) 2 的解集是 (2, ) （淮安宿迁摸底） 已知函数 22( ) 2 1f x x a x a ，若关于 x 的不等式 ( ( ) 0f f x 的解集为空集， 则实数 a 的取值范围 是 ,2 第 18课 二元一次不等式组与简单的线性规划 若实数 x ， y 满足约束条件 2 2,1,1, 则目标函数 2z x y的最小值为 1 若点 ( , )Px y 满足约束条件 0,2,2,xx y 且点 ( , )Px y 所形成区域的面积为 12 ，则实数 a 的值为 16a （南京盐城模拟一） 若变量 x ， y 满足 2 0 ,2 3 0 ,0, 则 2的最大值为 . 答案： 8 （扬州期末） x ， y 满足 2 4 0 ,1,1, 则 2z x y 的最小值为 . 2 （苏北四市期末） 若实数 x ， y 满足 40 ，则 22 6 2 1 0z x y x y= + + - +的最小值为 18 （泰州二模） 已知实数 ,02 1 04 4 0 ，则 3z x y 的 取值范围 是 1,7 （南通调研三） 已知实数 x， y 满足条件 | | 1| | 1,则 z2x+y 的 最小值是 【 答案 】 3 （南京三模） 若变量 x， y 满足约束条件x y 2，x 1，y 0，则 z 2x y 的最大值是 4 - 3 - （盐城三模） 若 , 2 0020 , 则目标函数 z 2x y的最大值为 6 （金海南三校联考） 已知实数 x， y 满足 1 0 ,3 0 ,3 3 0 ，则当 2x y 取得最小值时， 值为 南通四模 )在一个边 长 为 1000 m 的正方形野生麋 鹿 保护区 的正 中央 ， 有一个 半 径为 30 m 的圆形 水塘，里 面 饲养着 鳄 鱼，以 提 高麋鹿 的 抗天敌 能 力 （ 1） 刚 投放进 去 的麋鹿 都 是在水 塘 以外的 任 意区域 自 由活动 若岸上 距 离 水 塘 边 1 m 以内的范 围 都是鳄 鱼 的攻击 区 域，请 判 断麋鹿 受 到 鳄 鱼攻击的 可 能性是 否 会超 过 1 ， 并 说明理 由 ； （ 2）现有 甲 、乙两 种 类型的 麋 鹿，按 野 生麋 鹿 活 动 的规律， 它 们活动 的 适 宜范 围 平 均每只分 别 不小于 8000 4500 （ 水塘的面积忽略不计 ） 它们每 只 每 年对食物 的 需求量 分 别是 4 个 单 位和 5 个单 位 ，岸 上 植物每年 提 供的食 物 总量是 720 个 单 位 若 甲 、 乙两 种 麋鹿每 只 的科研 价 值 比 为 3 : 2， 要 使 得两种 麋 鹿的 科研总价 值 最大， 保 护区应 投 放两种 麋 鹿各多 少 只？ - 4 - 第 19课 基本不等式及其应用 已知实数 0 ，若以 22,x y x y x为三边长能构成一个三角形，则实数 的范围为 1 2 2 已知正实数 ,4，则 14最小值为 1 已知实数 , ， 且 2 ，则 213x y x y的最小值为 3 2 24已知正实数 a ， b 满足 2291，则3最大值为 . 212 （南通调研一） 已知函数 ( 0 )xy a b b 的图像经过点 (1,3)P ，如下图所示，则411 的最小值为 南京盐城模拟一） 若实数 x ， y 满足 0，且22lo g lo g 1，则 22的最小值为 4： （苏州期末） 已知 a ， b 为正实数，且 2 ，则 2221 的最小值为 . 6 2 23 （扬州期末） 设实数 x ， y 满足 2 2 1 0x x y ，则 22的最小值是 . 512（镇江期末） 已知正数 x ， y 满足 111 1914 y yx . 25 （淮安宿迁摸底） 若 221a ab b ， a ， b 是实数，则 的最大值是 2 （南通调研 二） 设 x ， y ， z 均为大于 1 的实数，且 z 为 x 和 y 的等比中项，则 lg 最小值为 【答案】 98（南京三模） 已知 x， y 为正实数，则 4y 43 （苏锡常镇二模） 已知常数 0a ，函数 ( 1 )1af x x 的最小值为 3，则 a 的值为 1 3 y O x - 5 - （前黄姜堰四校联考） 若 0, 0，且 11121a b b +，则 5的 最小值为 72某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为 900矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔 1m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留 1m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留 3m 宽的通道，如图设矩形温室的室内长为 x （ m），三块种植植物的矩形区域的 总面积 为 S （ （ 1）求 S 关于 x 的函数关 系式； （ 2）求 S 的最大值 17解： （ 1）由题设，得 9 0 0 7 2 0 08 2 2 9 1 6S x ， 8, 450x 6 分 （ 2）因为 8 450x ，所以27 2 0 0 7 2 0 02 2 2 4 0 ， 8 分 当且仅当 60x 时等号成立 10 分 从而 676S 12 分 答：当矩形温室的室内长为 60m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 14 分 （无锡期末） 某公司生产的某批产品的销售量 P 万件（生产量与销售量相等）与促销费用 x 万元满足24= （其中 0 ， a 为正常数） 6( )P P+ 万元（不包含促销费用），产品的销售价格定为 20(4 )P+元 /件 . （ 1）将该产品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数； （ 2）当促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？ 17 )第 题3 11 - 6 - 0课 综合应用（） 若不等式 222 ( )x y c x y x 对任意满足 0 的实数 x ， y 恒成立，则实数 c 的最大值为 2 2 4 已知 x,yR+，满足 4x 1y 1，不等式 (x y)a+230 恒成立，则实数 a 的取值范围是 答案： 3( , 2已知三个实数 ，当 0c 时满足： ,32 且 ,2则ca 取值范围是 . , 0 9 , 2 已知正数 a， b， c 满足 ： a b c 3a， 3a(a c) 5则 b2 最小值 是 _ 答案 ： 185 已知实数 a b c、 、 满足 2 2 2a b c ， 0c ，则2取值范围为 答案 ： 33 , ； 提示 ：类比猜想： “直角三角形”型；于是三角换元；令 ， ，因 0c ，为了确保能 够一一对应，取 0, 2 ，则 s i n s i n2 c o s 2 c o s 2c c c ； - 7 - 明眼人一看，构造斜率即可； 取点 ( P ， (2, 0)A ， 设直线的方程为： ( 2 ) 2 0y k x k x y k ； 2 2 2222 131 4 133( 1 )kd r k k k ； 让点 P 绕圆转一周，即可知： 33 , k 在 中，角 A B C、 、 所对的边分别为 a b c、 、 ，若 且 2 2 27 4 3 ，则 面积的 最大值为 答案 ： 55； （南通调研三） 已知 正实数 x， y 满足 243 1 0 ，则 取值范围为 【 答案 】 1， 83 （苏北三市调研三） 已知实数 ,件 0,53 0, 0,- 若不等式 2 2 2( ) ( )m x y x y 恒成立，则实数 2513第 21课 综合应用（） （南京盐城模拟一） 某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示：曲线以点 E 为圆心的圆的一部分，其中 (0, )0 25t ，单位：米）；曲线 抛物线2 5 0 ( 0 )y a x a 的一部分； D ，且 好等于圆 E 的半径 米 （ 1）若要求 30米， 24 5 米，求与 a 的值； （ 2）若要求体育馆侧面的最大宽度 超过 75 米，求 a 的取值范围； （ 3）若 125a，求 最大值 （参考公式：若 ()f x a x，则 1()2fx ） 解：（ 1）因为 5 0 3 0C D t ，解得 20t 2 分 此时圆 2 2 2: ( 2 0 ) 3 0E x y ，令 0y ，得 10 5， 第 18 题 x y O A B C D 第 18 题 E F - 8 - 所以 2 4 5 1 0 5 1 4 5O D A D A O 将点 (14 5 , 30)C 代入 2 5 0 ( 0 )y a x a 中，解得 149a 4 分 （ 2）因为圆 E 的半径为 50t ，所以 50CD t，在 2 50y a x 中令 50，得 则由题意知 5 0 7 5 对 (0,25t 恒成立， 8 分 所以 1 2 5ta t恒成立，而当 25即 25t 时， 25最小值 10， 故 1 10a ，解得 1100a. 10 分 （ 3）当 125a时， 5OD t ，又圆 E 的方程为 2 2 2( ) ( 5 0 )x y t t ， 令 0y ，得 1 0 2 5 ，所以 1 0 2 5A O t， 从而 ( ) 1 0 2 5 5 ( 0 2 5 )A D f t t t t 12 分 又因为 1 1 5 ( 2 5 2 )( ) 5 ( )2 5 2 2 2 5t t t ，令 ( ) 0 ，得 5t ， 14 分 当 (0,5)t 时， ( ) 0 ， ()调递增；当 (5,25)t 时， ( ) 0 ， ()调递减， 从而当 5t 时， ()最大值为 25 5 . 答：当 5t 米时， 最大值为 25 5 米 . 16 分 （说明：本题还可以运用三角换元，或线性规划等方法解决，类似给分） （苏州期末） 如图，某生态园将一三角形地块 一角 辟为水果园种植桃树，已知角 A 为 120 ， 长度均大于 200 米，现在边界 建围墙，在 围竹篱笆 （ 1）若围墙 长度为 200 米，如何围可使得三角形地块 面积最大？ （ 2）已知 围墙高 1 米， 围墙高 ，造价均为每平方米 100 元 0000 元，问如何围可使竹篱笆用料最省？ 解 ： 设 AP x 米， AQ y 米 （ 1） 200 ， 的面积 13s i n 1 2 024S x y x y 3 分 )42 2500 3 当且仅当 100 时取“=” 6 分 （注：不写 “ ”成立条件扣 1 分） A P Q B C - 9 - （ 2）由题意得 1 0 0 ( 1 1 . 5 ) 2 0 0 0 0 ，即 1 0 0 8 分 要使竹篱笆用料最省，只需其长度 短，所以 2 2 2 2 c o s 1 2 0P Q x y x y 22y 22( 2 0 0 1 . 5 ) ( 2 0 0 1 . 5 )y y y y 21 . 7 5 4 0 0 4 0 0 0 0 （ 4000 3y ） 11 分 当 8007y时， 最小值 200 217，此时 2007x 13 分 答：（ 1）当 100A P A Q米时，三角形地块 面积最大为 2500 3 平方米； （ 2）当 2007米 ， 8007米时，可使竹篱笆用料最省 14 分 如图（示意），公路 成的是一块顶角为 的角形耕地，其中 2在该块土地中 测量，它到公路 距离分别为 35要 过点 P 修建一条直线公路三条公路围成的区域 成一个工业园为尽量减少耕地占用，问如何确定 B 点的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积 解 ：（方 法一 ） 如图 1，以 A 为原点， x 轴，建立平面直 角坐标系 因为 2，故 直线 方程是 y 2x 设点 P( 因为点 P 到 距离为 3，故 3 由 P 到直线 距离为 5， 得 2 5，解得 1 或 4(舍去 )， 所以点 P(1， 3) 4 分 显然直线 斜率存在设直线 方程为 y 3 k(x 1)， k ( 2， 0) A M N P （第 19 题图） C B (A) x N P y O B C （ 第 19题图 1） - 10 - 令 y 0 得 1 3k 6 分 由 y 3 k(x 1)，y 2x 解得 6 22 8 分 设 面积为 S，则 S 12xB 6k 92k 18k 92k 10 分 由 S 2(4k 3)(k 3)(2k)2 0 得 k 34或 k 3 当 2 k 34时， S 0， S 单调递减；当 34 k 0 时， S 0， S 单调递增 13 分 所以当 k 34时，即 5 时， S 取极小值，也为最小值 15 答： 当 5 ，该工业园区的面积最小，最小面积 为 15 16 分 （方法二） 如图 1，以 A 为原点， x 轴，建立平面直角坐标系 因为 2，故 直线 方程是 y 2x 设点 P( 因为点 P 到 距离为 3，故 3 由 P 到直线 距离为 5， 得 2 5，解得 1 或 4(舍去 )， 所以点 P(1， 3) 4 分 显然直线 斜率存在设直线 方程为 y 3 k(x 1)， k ( 2， 0) 令 y 0 得 1 3k 6 分 由 y 3 k(x 1)，y 2x 解得 6 22 8 分 设 面积为 S，则 S 12xB 6k 92k 18k 92k 10 分 令 8k 9 t，则 t ( 25， 9)，从而 k t 98 因此 S 1 t(t 98 )2 2 t 98 1 6434t 225 1 6434 t 225t 13 分 因为当 t ( 25， 9)时， t 225t ( 34， 30， 当且仅当 t 15 时，此时 5， 34 t 225t 的最大值为 4从而 S 有最小值为 15 答： 当 5 ，该工业园区的面积最小，最小面积 为 15 16 分 （方法三） - 11 - N ，过点 P 作 足为 E、 F，连接 x， y 因为 P 到 距离分别为 3， 5， 即 3， 5 由 S S S 12x3 12y 5 12(3x 5y) 4 分 因为 2， 所以 25 所以 S 12xy 25 8 分 由 可得 12xy 25 12(3x 5y) 即 3 5x 5y 2 10 分 因为 3 5x 5y 2 15 5所以 22 15 5 解得 15 5 13 分 当且仅当 3 5x 5y 取“”，结合解得 x 5， y 3 5 所以 S 12xy 25有最小值 15 答： 当 5 ，该工业园区的面积最小，最小面积 为 15 16 分 如图，我市有一个健身公园，由一个直径为 2 半圆和一个以 斜边的等腰直角 构成， 其中 O 为 中点；现准备在公园里建设 一条四边形健康跑道 按实际需要，四边形 两 个顶点 分别在线段 R、 上，另外两