2007年高考文科数学试题(全国卷Ⅱ)

2007 年普通高等学校招生全国统一考试试题卷 文科数学文科数学 必修 选修 注意事项 1 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 共 4 页 总分 150 分考试 时间 120 分钟 2 答题前 考生须将自己的姓名 准考证号 考场号 座位号填写在本试题卷指定的位 置上 3 选择题的每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑 如需 改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案 不能答在试题卷上 4 非选择题必须使用 0 5 毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写 字体工整 笔迹清 楚 5 非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答 超出答题区域或在 其它题的答题区域内书写的答案无效 在草稿纸 本试题卷上答题无效 6 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 第第 I I 卷 选择题 卷 选择题 本卷共本卷共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 6060 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符 合题意要求的 合题意要求的 参考公式 参考公式 如果事件互斥 那么 球的表面积公式AB P ABP AP B 2 4 SR 如果事件相互独立 那么 其中表示球的半径AB R 球的体积公式 P A BP AP B 如果事件在一次试验中发生的概率是 那么 Ap 3 4 3 VR 次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中表示球的半径nAkR 1 012 kkn k nn P kC ppkn 一 选择题一 选择题 1 cos330 A B C D 1 2 1 2 3 2 3 2 2 设集合 则 12 3 4 12 2 4 UAB U AB A B C D 2 3 12 4 14 3 函数的一个单调增区间是 sinyx A B C D 3 3 2 4 下列四个数中最大的是 A B C D 2 ln2 ln ln2 ln2ln2 5 不等式的解集是 2 0 3 x x A B 3 2 2 C D 3 2 2 3 6 在中 已知是边上一点 若 则ABC DAB 1 2 3 ADDBCDCACB A B C D 2 3 1 3 1 3 2 3 7 已知三棱锥的侧棱长的底面边长的 2 倍 则侧棱与底面所成角的余弦值等于 A B C D 3 6 3 4 2 2 3 2 8 已知曲线的一条切线的斜率为 则切点的横坐标为 2 4 x y 1 2 A 1B 2C 3D 4 9 把函数的图像按向量平移 得到的图像 则 exy 2 3 a yf x f x A B C D e2 x e2 x 2 ex 2 ex 10 5 位同学报名参加两个课外活动小组 每位同学限报其中的一个小组 则不同的报名 方法共有 A 10 种B 20 种C 25 种D 32 种 11 已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍 则椭圆的离心率等于 A B C D 1 3 3 3 1 2 3 2 12 设分别是双曲线的左 右焦点 若点在双曲线上 且 12 FF 2 2 1 9 y x P 则 12 0PF PF 12 PFPF A B C D 102 1052 5 第第 IIII 卷 非选择题 卷 非选择题 本卷共本卷共10题 共题 共90分 分 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 20 分 分 13 一个总体含有 100 个个体 以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为 5 的样本 则指定的某个个体被抽到的概率为 14 已知数列的通项 则其前项和 52 n an n n S 15 一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2cm 的球面上 如果正四棱柱的底面边长为 1cm 那么该棱柱的表面积为 cm 2 16 的展开式中常数项为 用数字作答 8 2 1 12 1x x 三 解答题 本大题共 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 10 分 设等比数列的公比 前项和为 已知 求的通 n a1q n n S 342 25aSS n a 项公式 18 本小题满分 12 分 在中 已知内角 边 设内角 周长为 ABC A 2 3BC Bx y 1 求函数的解析式和定义域 yf x 2 求的最大值 y 19 本小题满分 12 分 从某批产品中 有放回地抽取产品二次 每次随机抽取 1 件 假设事件 取出的A 2 件产品中至多有 1 件是二等品 的概率 0 96P A 1 求从该批产品中任取 1 件是二等品的概率 p 2 若该批产品共 100 件 从中任意抽取 2 件 求事件 取出的 2 件产品中至少有一件二等品 的概率 B P B 20 本小题满分 12 分 如图 在四棱锥中 SABCD 底面为正方形 侧棱底面ABCDSD ABCDEF 分别为的中点 ABSC 1 证明平面 EF SAD 2 设 求二面角的大小 2SDDC AEFD A EB C F S D 21 本小题满分 12 分 在直角坐标系中 以为圆心的圆与直线相切 xOyO34xy 1 求圆的方程 O 2 圆与轴相交于两点 圆内的动点使成等比数列 求OxAB PPAPOPB 的取值范围 PA PB 22 本小题满分 12 分 已知函数 32 1 2 1 3 f xaxbxb x 在处取得极大值 在处取得极小值 且 1 xx 2 xx 12 012xx 1 证明 0a 2 若 z a 2b 求 z 的取值范围 2007 年普通高等学校招生全国统一考试试题卷 文科数学文科数学 必修 选修 参考答案参考答案 评分说明 评分说明 1 本解答给出了一种或几种解法供参考 如果考生的解法与本解答不同 可根据试题的 主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则 2 对计算题 当考生的解答在某一步出现错误时 如果后继部分的解答未改变该题的内 容和难度 可视影响的程度决定后继部分的给分 但不得超过该部分正确解答应得分 数的一半 如果后继部分的解答有较严重的错误 就不再给分 3 解答右侧所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4 只给整数分数 选择题和填空题不给中间分 一 选择题一 选择题 1 C2 B3 C4 D5 C6 A 7 A8 A9 C10 D11 D12 B 二 填空题二 填空题 13 14 15 1 20 2 5 2 nn 24 2 三 解答题三 解答题 17 解 由题设知 1 1 1 0 1 n n aq aS q 则 2 1 2 1 4 1 2 1 5 1 1 1 a q aq aq q q 由 得 42 15 1 qq 22 4 1 0qq 2 2 1 1 0qqqq 因为 解得或 1q 1q 2q 当时 代入 得 通项公式 1q 1 2a 1 2 1 n n a 当时 代入 得 通项公式 2q 1 1 2 a 1 1 2 2 n n a 18 解 1 的内角和 由ABC ABC 得 00ABC 2 0B 应用正弦定理 知 2 3 sinsin4sin sin sin BC ACBxx A 2 sin4sin sin BC ABCx A 因为 yABBCAC 所以 22 4sin4sin2 3 0 3 yxxx 2 因为 1 4 sincossin2 3 2 yxxx 5 4 3sin2 3xx 所以 当 即时 取得最大值 x x y6 3 19 1 记表示事件 取出的 2 件产品中无二等品 0 A 表示事件 取出的 2 件产品中恰有 1 件二等品 1 A 则互斥 且 故 01 AA 01 AAA 01 P AP AA 01 21 2 2 1 C 1 1 P AP A ppp p 于是 2 0 961p 解得 舍去 12 0 20 2pp 2 记表示事件 取出的 2 件产品中无二等品 0 B 则 0 BB 若该批产品共 100 件 由 1 知其中二等品有件 故100 0 220 2 80 0 2 100 C316 C495 P B 00 316179 1 1 495495 P BP BP B 20 解法一 1 作交于点 则为的中点 FGDC SDGGSD 连结 又 1 2 AGFGCD CDAB 故为平行四边形 FGAEAEFG 又平面平面 EFAG AG SADEF SAD 所以平面 EF SAD 2 不妨设 则为等2DC 42SDDGADG 腰直角三角形 取中点 连结 则 AGHDHDHAG 又平面 所以 而 AB SADABDH ABAGA 所以面 DH AEF 取中点 连结 则 EFMMHHMEF 连结 则 DMDMEF 故为二面角的平面角DMH AEFD 2 tan2 1 DH DMH HM 所以二面角的大小为 AEFD arctan2 解法二 1 如图 建立空间直角坐标系 Dxyz 设 则 0 0 0 0 A aSb 0 00 B aaCa 00 22 2 aa b E aF 0 2 b EFa 取的中点 则 SD0 0 2 b G 0 2 b AGa 平面平面 EFAGEFAGAG SADEF SAD 所以平面 EF SAD 2 不妨设 则 10 0 A 11 110 010 0 0 2 1001 22 BCSEF 中点EF 1 1 1111 101 0 2 2 2222 MMDEFMD EFMDEF 又 1 00 2 EA 0EA EFEAEF A A EB C F S D G M y z x A EB C F S D H G M 所以向量和的夹角等于二面角的平面角 MD EA AEFD 3 cos 3 MD EA MD EA MDEA 所以二面角的大小为 AEFD 3 arccos 3 21 解 1 依题设 圆的半径等于原点到直线的距离 OrO34xy 即 4 2 1 3 r 得圆的方程为 O 22 4xy 2 不妨设 由即得 1212 0 0 A xB xxx 2 4x 2 0 2 0 AB 设 由成等比数列 得 P xy PAPOPB 222222 2 2 xyxyxy 即 22 2xy 2 2 PA PBxyxy AA 22 2 4 2 1 xy y 由于点在圆内 故PO 22 22 4 2 xy xy 由此得 2 1y 所以的取值范围为 PA PB 2 0 22 解 求函数的导数 f x 2 22fxaxbxb 由函数在处取得极大值 在处取得极小值 知是 f x 1 xx 2 xx 12 xx 的两个根 0fx 所以 12 fxa xxxx 当时 为增函数 由 得 1 xx f x 0fx 1 0 xx 2 0 xx 0a 在题设