曲线积分与曲面积分复习_第1页
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第十一章曲线与曲面积分 第一类曲线积分 特点 1 被积函数的定义域是曲线弧 2 微元是平面曲线弧长元素 3 空间曲线上的一类曲线积分 对弧长的曲线积分 1 公式法 L的参数方程 L L 一定 二代 三换元 定 代 换关键在方程 小下限 大上限 2 第一类曲线积分的计算 步骤 1 写出L的参数方程 确定参数的范围 2 化为定积分 一定 二代 三换元 定 代 换关键在方程 小下限 大上限 2 技巧 对称性简化计算 例题 第二类曲线积分 1 引例 变力沿平面曲线做功 2 被积函数的定义域是曲线弧 特点 1 积分曲线是有向曲线弧 3 微元是有向弧微分在坐标轴上的投影 4 变力沿空间曲线做功 一定 二代 三换元 定 代 换关键在方程 下起上终之参 2 第二类曲线积分的计算 1 公式法 有向曲线L的参数方程 从到 步骤 1 写出L的参数方程 确定参数的走向 2 化为定积分 例题 其中L为沿抛物线从点 到 的一段 例4计算 例5计算其中是从到的直线段 1 格林公式 平面闭曲线 第二类曲线积分的重要定理 说明 1 格林公式仅计算平面闭曲线的二类曲线积分 2 L是D的正向边界曲线 沿着边界走 区域在左手 3 L必须是封闭的平面曲线 添边 构成闭区域 具有连续一阶偏导数 加负号 沿着边界走 区域在右手 记得添负号 挖洞 含奇点时莫忘挖洞去奇点 应用 B A 定义 曲线积分与路径无关等价于 条件 2 曲线积分与路径无关 利用路径无关计算曲线积分 特点 路径无关 闭曲线 积分为零 特点 路径无关 非闭曲线 选易积分路线 第二类曲线积分的计算方法总结 1 公式法 被积函数与积分路径简单 2 格林公式 平面闭曲线 不易积分 但简单 3 路径无关 选择简单路径 积分 三 二元函数的全微分求积 第一类曲面积分 一投 二代 三换 投影 换元看方程 第一类曲面积分的计算 例12计算 其中为球面 例13计算 其中为 例15计算 其中为球面 步骤 1 写出曲面的显式表达式 2 将曲面向xoy面投影 3 求出曲面面积元素 4 化为二重积分 一投 二代 三换 投影 换元看方程 预备知识 1 有向曲面的侧 2 有向曲面在坐标面上的投影 第二类曲面积分 用 表示 的反向曲面 则 第二类曲面积分的计算 一投 二代 三定号 投影 代入看积分 定号要靠曲面侧 理解 在曲面上 曲面面积元素的投影 特点 曲面具有单值函数表达式 2 化为二重积分 3 计算二重积分 一投 二代 三定号 投影 代入看积分 定号要靠曲面侧 两类曲面积分之间的联系 其中 是 旋转抛物面 介于平面z 0 之间部分的下侧 例18计算 及z 2 的方向取外侧 或 高
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