关于几何图形的一些思考(俞正强)

关于几何图形的一些思考 全国著名特级教师 俞正强 （F）（朱乐平名师工作站集中学习 2009.10.12 教育学院） 一、 引言。（一）教师提问。俞：关于图形，我们已经思考了哪些问题？我们在思考什么问题？我们觉得什么问题比较值得我们讨论？罗：我们已经做了本体性知识的认识，我们组是研究长方形面积的。为什么长方形的面积是长乘宽？为什么导入面积的时候以算为主，不是以测量为主？也翻阅了大纲和课标。对图形学习的价值做一个回顾和认识？49年开始到现在，教材变革来进行纵向横向，长方形的面积这一块学与教的评价？怎么样来建立一个评价体系？有怎么样的根据？怎么样来进行反馈？对整个教学、学生情况的反馈。对长方形学习整个评价有两三节课。课堂的评价也包含在内。姜：我举个例子，图形的认识一般都分好几个阶段。第一阶段，一二年级的时候认识长方形。要把握到什么程度。学生在认识差异上会很大。那么应该把握到什么程度？后一阶段再一次来认识的时候应该把握到什么程度。现在比较强调新课标有四基，基本活动经验，基本思想方法，这个以前是比较忽视的。在前面会有很多时候这样的活动已经经历过了。但是这些经验没有提炼出来。思想方法没有纳入到后继学习的体系中去。后面的教学还是把它当做一种空白来教学。这种怎么来设计？这是我比较困惑的地方。俞：有同水平的反复。邢：研究的是角的初步认识。角的教学为什么分两段进行？两个阶段的教学目标应该如何区分和把握？ 孙：图形本身不是作为知识单独存在，而是根据它的特征人为地把它抽象出来，图形和其他计算应该是相通的。教材体现就是一个单元一个单元。在这个单元的时候重点就是教图形，就图形论图形。事实上是不是在某一个极端的时候，比如后面综合练习的时候，要把计算和图形结合起来，数形结合能不能渗透进去。这样学生学到的知识就是综合的，能够学到能力的。具体怎么做不太清楚。邵：图形教学中的概念问题？内涵与外延是否需要非常明确地告诉孩子？童：长方形的表面积的教学目标定位在什么？就是教得越来越难，变化的题目越来越多，学生学得比较累，但是很多变式的题目出来，学生的理解就还不够。课堂上增加的内容会越来越多，想教给学生的东西很多。俞：要学会知止。江：面积的概念当中，涉及到平面和曲面的，我们的教材对平面比较重视。我们对曲面在教学面积概念时，要不要把它明确地拉进来。学生在认识面积之初，就对于各种类型的图形的表面有所认识。（二）专家答疑。俞：我觉得我们大家也思考得比较深入，有知识本位的深入，有一个审视视角的深入。还有本人的实践观和学生接受的深入。各个触角都已经很深入了。关于教材的建设问题，而且很多问题，比如说为什么分两段，其实我们老师一直在研究的。我们老师在研究的过程当中，可以得出结论，分两段有什么好处，或者就直接一段有什么好处。我们最后可以研究，分一段好还是两段好。为什么越来越多，两个原因。一个怕教研员的要求越来越高，结果教是教好了，考没考好。第二，小朋友学得比较快，我们想想这么多时间浪费了太可惜了，再给点做做。其实我们老师很容易犯这个错误。包括我们在家里面家长也犯这个错误。小朋友一开始很喜欢做作业的。做完了，结果看看这么快，怎么办呢？后来多长时间过去之后，小朋友发现如果我做完了始终被加作业，作业做不完了，干脆我就磨蹭时间没做完。包括很多家里练琴的琴童也一样，本来说好练一个小时，看看还不错的，那么再练一下，最后他就说我要上厕所。所以我们有时候在孩子这里也要知道要知止。我们很多时间不知道知止，会给我们带来很大的被动。所以在课堂教学中，我们的目标只要把握到基本到位，就可以了。这样可以留下空间。一直往前走，前面的空间就没有了。因此，在孩子学面积时，要不要把曲面引进来。向这样我们的老师都可以拿出一个结论来。我认为，曲面可以引进来讲，讲到什么程度，或者我认为曲面可以不引进来讲。我们对这些问题，都是我们老师在研究当中的所得。l 问题是研究的最大所得，分两段的问题，我这次研究发现分两段不好，分一段好。过了三年我又研究，发现分两段更好。那么这样，好像是发生变化了。但其实是我们的研究水平在提高。不要拘泥答案的结果，重要的是我要提出我的想法。那么学生在我们的想法当中也会有所进步。很多东西，两段有两段的好处，一段有一段的好处。关键是我们怎样体现它的好处。l 前段时间我碰到一个问题，有关估算。估算的例子：12015估算的结果？四个答案2400、1500、1800、2000。这个老师把我不准。到底哪个答案是对的？然后我就问我们的老师你认为哪个答案是对的。我们的老师说好像都有道理。2400怎么来的？把15当做20，这个方法可不可以？完全可以。1500怎么来的？把120当100.对不对啊？1800怎么来的？算出来的。2000怎么来的？120当做100，15当做20。那么你认为哪个是对哪个是错？这些结果都是符合估算方法的。都是正确的。我们的老师认为怎么会这样呢？总会有对错的。老师找来找去找了一个错的。1800。认为这个不是估算。这是精算啊。然后这个学生很不服气。他说：老师啊，我估算得很准啊。估得很准是不是估算呢？这个例子拿出来什么意思呢？就是我们对结果不必太苛求。只要是过程当中有道理的都是对的。很多问题就是一个在两个选项的摇摆之间的时候，我们一定要避免一种思想，就是一定要选择一个。这种思想可能不是很适合我们来思考问题。我们选择谁，就把谁的好处拿出来，展现它的优点。l 我们把这类非此即彼的问题拿下来之后，还有一类是比较注重系统的。如这个问题，怎样从图形到图形的计算，到问题解决，最后归到数形结合。这位老师把几何的教学子项指向了数。他觉得到那个归宿，而不是到形就结束了。我认为这是一个很有意思的东西。第二个呢，系统化。就是前面的学习，数学包括几何知识，很多东西都在重复。我们这里说的，初步认识，再认识，比如分数的初步认识，认识之间差别在哪里？我们后面的学习是不是要借助于这个认识。不要在同水平的层次上重复。l 图形的教学。空间和图形的可以拎一条主线。有一个主线我们都比较明白：点、线、面、体。这个主线我们通常说得是一维，二维到三维。从知识上看这个主线较为明显的。那么从教学上来看，我觉得我们也是需要抓主线的。l 数与计数中有一个中枢神经，就是计数单位，它是所有数的计算中的核心。如6，一年级的时候6是怎么来的？1，2，3，4，5，6，数数。数数的基本单位是1。然后我们在讲数的组成的时候，6是2和4，1和5，3和3，这个都是在讲计数单位。一个1和五个1合起来是六个1。3个1和3个1合起来是六个1。到了二年级,计数单位变成几了呢?变成2了。6是23，又是32，又是16，又是61。所以就有这些选择。这时的计数单位就是2，就是3计数单位开始拓展。这个时候它的计数单位就2个2个数，3个3个数，这就成了乘法。乘法加上一个逆运算就是除法。加法加上一个逆运算就是减法。减法也是单位1的。此外，跟这两个一起的还有十，还有百。到了这个时候，我们发现任何一个数都可以做计数单位。四年级的时候，计数单位开始往小发展，是0.1，0.01。6是60个0.1相加，600个0.01相加。五年级时分数单位可以是十分之一，五分之一，二分之一。到了六年级分数单位就是百分之一。所有的计算都有一个内核的东西，所有的计算归根结底就是关于计数单位。等我们计算学完了之后，等小朋友发现计数单位很神奇，计数单位统统可以归到一个数，进数。到了这一个时候，计算就突然变得十分简单。就是关于计数单位的一个东西。那么学生对于计算的理解就非常到位了。l 同样的，跟数与计算类似，在图形中也有一个内核，这个内核就是计量单位。在计量单位找出了之后，我们就能牵出一条图形教学的主线：计量单位计量单位的计数计量单位的计算计量单位的归整计量单位的联通。到这个地方为止，就是图形的教学，我们老师要把握住这样一条主线。我先对这条主线作一下解释。解释完了，我再在每一个环节展开来，稍微讲一下。二、 图形教学的主线。l 计量单位。在小学里，大部分计量单位都是在几何中的。几何计量单位有厘米，毫米，分米，米等长度的计量单位。重量的计量单位不在这里。时间的计量单位不在这里。除了重量的计量单位和时间的计量单位，还有角度的，还有面积的，还有体积的，还有容积的就是计量单位在图形了占了大头。计量单位是我们数学当中非常重要的一个知识点。这个知识点我觉得在数学里占的比例还是相当大的。l 计量单位的计数。计量单位的计数就是有几个厘米，几个平方厘米，几个立方厘米。它其实是一个度量的问题。当我们掌握了单位之后，就要用这个单位来进行度量。这就是度量。度量一定要基于一种工具。l 计量单位的计算。在度量当中，我们发展出一种计量单位的计算，与一般的计算相同。度量发展了之后就变成了一种简单的计算。计算有周长的计算，有面积的计算，有体积的计算。所以从单位，到单位的计量，到单位的计算。l 计量单位的归整。计量单位的归整就是指当一个单位被分割了之后，怎样使这个单位恢复成一个完整的单位。比方说，这里一个有几个单位啊？两个单位。但这两个单位是这样分割的，是不完整的。那么怎么办呢？我们就有一种单位的归整。就是要把这个单位变完整。于是就把这一块东西割下来补上去。然后这里就是一个单位。因为单位始终是完整的。那么延伸出的这一个东西就具有推论性质的。它是整一个半，或一个半整。因为我们要归整，所以我们想了许多办法。这是计量单位的归整。l 计量单位的联通。比方说，我们在小学里，一二年级的时候，1就是一个某种对象，10就是10个某种对象。还有100其实从计量单位来讲，1是最深奥的计量单位。但我们在较大数认识的时候，已经把它当成计数单位的模型在体验了。其实小朋友在那个时候没有说这个是计量单位，这个是计数单位的。都没有。小朋友就是把它，看见了，这个是1，那个是10。当我们告诉他重新来回味的时候，小朋友才发现这就是1，这就是10，这就是100，那就是1000。这就是一种联通。这是联通的一种方式。最后，我们要他明白出来。小朋友一直在体验，最后要他回过头去，要他理解原来我们是在搞同样的东西，它就是1。1就是它。这样，计量单位和计数单位最后就连结起来。也就是这位老师说的数形结合。一年级的时候来讲数形结合，不行的。要小朋友一直在接触，最后才能发现。第二种联通方式就是计量单位的泛化。比如说5：6，我们可以将6看做一个单位。反过来6：5，我们把5可以看做一个单位。这就使我们说的分数当中的单位1。单位1就是一个单位。最后抽象出一个单位来。学生对单位的理解是十分困难的，单位是一种关系。比如说，每行坐20个人，可以坐15行。每行30个人，可以坐10行。就变成两个三角形。这也是一种联通。这一条主线使得整个图形教学的结构很严密。产生比较好的教学结果。在主线当中都有一个“计量单位”，最后归整到单位。举例：三节课。第一节课：厘米的认识。一个童趣的情景，小松鼠的三拃与熊伯伯的三拃比较，引发学习长度单位的必要性。第二节课：角度。角的大小需要度量。先选一个标准角。比如三角板的45度。给定角度，寻找一个比他更小的角度。第三节课：关于长方形面积。比较两个长方形面积的过程，叠起来进行比较。体验单位的必要性。几乎都是从单位的需要出发，比较长短，怎么办啊？比较大小，怎么办啊？其实它们都在讲一个计量单位。计量单位到底是什么？小朋友理解了吗？所以我就想这几节课是不是重新换一下。我设计了这么一个思路。计量单位因为和计数单位一样是小学数学里要培养的一个很重要的数学知识点。什么是计量单位？或者计量单位是什么？很难理解。很多小朋友学到最后还是很模糊。所以我想要像计数单位一样把计量单位讲清楚。第一，计量单位。设计的思路：第一节课：厘米的认识。第一个计量单位就是厘米的认识。要把厘米的认识这节课上到位。两个不同身高的人站在讲台前，一个高，一个矮。填空：比较谁比谁高多少（）。学生可能填（高一点，高半个头，手比划、高10厘米，高10米）这节课在二年级的第一学期。这些东西是学生最原生态关于单位的东西。他们最初用来表示长短差别的就是这些话。长些，长一点，长很多，长好多。慢慢慢慢地小朋友开始不满意了，用这些词来表示了，长半个头，长一只手，长一根筷子，高一个苹果，高到眉毛那里为止，高一个额头。这些描述和前面的描述相比有什么特点？有物了。然后因为有物，所以就更具体，前面没有物，比较模糊。最后，在没有学习厘米之前，也会有小朋友说长10厘米，长10米。为什么这么说呢？因为他经常见到人们用米，厘米表示差别。米和厘米对他来说是一个表示长度的东西。但到底多少大，因为没有具体的学过，所以还不知道。这是道听途说来的。是他没有学之前经验的一部分。我们把这些整理出来。问：让学生说你喜欢那种说法？喜欢那种说法的过程就在分类。分类是很科学，很理性的，而喜欢是很感性的。关于单位，学生脑子里有的就是比较物。在一年级下的时候，小朋友已经能够接受这种比较物了。比较物就是单位的最核心的一个内涵。问为什么比较喜欢这么说啊？因为这里有一个东西，这个东西比较具体，这个东西能够让我们想得明白到底长多少等等。能用这些话说出来，就说明他在理解比较物。而这个缺少比较物。这样讲完了之后，关于计量单位，小朋友脑子里的这种东西都出来了。接着进入这节课的新课。厘米是什么？米是什么？你知道吗？不用去启发了，这些是名称，符号。小朋友答：厘米直尺上有的。拿出来看看，厘米是多少长？然后就进入厘米的长度的认识。像这些作为一个规定，让小朋友接受下来就好了。厘米就是这么长，身上找找，指甲那么长。这个长度哪里来的，是尺子上来的。接着问一个问题：小朋友，你的1厘米和同桌的1厘米是不是一样长的？很多小朋友会说不一样长的。为什么不一样长呢？小朋友说，他的尺有12厘米，我的只有6厘米。那么你们两个的尺对起来看看。6厘米的尺子和12厘米的尺子上的1厘米是不是一样长的啊？对起来，比来比去，一样长的。再问一下，老师的米尺和小朋友的尺的1厘米一样长吗？小朋友大多数会说不一样长。然后再实践操作，小朋友发现1厘米都是一样长的。这些都是实践操作，然后是思想的操作。杭州的1厘米与北京的1厘米时一样长的吗？北京的1厘米与纽约的1厘米是一样长的吗？（1厘米是国际的）从国家的拓展到标准是属于国际的。结束之后回过头来，问：小朋友，你现在的这些不同的回答，你更喜欢哪个回答。小朋友回答更喜欢10厘米的这个答案。为什么更喜欢10厘米？因为头有鸡头，鸭头，人头，1厘米是全世界都规定的，很标准的，因此最准确，所以我喜欢这个说法。为什么？到了这个时候，关于单位的数学理解就出来了。单位是什么？单位就是一个标准比较物。标准比较物要分两个层面理解。第一个层面理解什么是比较物。第二个层面理解什么是标准。把这两个层面给展现出来。小朋友就会感觉到标准比较物。关于长度的标准比较物就有厘米。第二节课：分米的认识。厘米这节课上完了之后，再上分米。讲分米时，理解标准是因需要而定的。一定要加上去，让小朋友体验一种需要。怎么体验？我们学了厘米，让小朋友量一量课本的宽度。宽度13厘米，长度25厘米。很好。量量桌子的宽度，量量教室的宽度。他拿尺子量教室的宽度的时候就会有问题。量本子很适合，量教室很烦，一下一下地过去。标准是根据需要定的。先量多个小单位适用的，用厘米量本子、量课桌再量教室的长度，不合适。因为对象不一样，我们要规定不一样的单位。当对象更大的时候，需要更大的单位。因此单位之间有一个规定。根据对象，确定不同的单位。单位之间有确定的联系。十厘米。第三节课：米、毫米的认识。根据前面的学习，单位的理解已经比较丰满了。对象再大，需要更大的单位。米。还有千米，还有光年。对象越大，单位越大。反过来，对象越小，单位越小，毫米，纳米。将单位的内涵通过三节课教学给学生。这样就是计量单位的第一次认识。第一节课，厘米：认识符号、知道表象、进行度量。第二节课，分米：认识符号、知道表象、度量、进率。米也是一样的。这三节课的知识内容是很类似的，差别一点都不大。就掌握这些知识点。但是在这些知识点下的数学思考是不一样的。第一节课：标准比较物的体验。第二节课：标准比较物的规定、拓展使之完整。这一个系统上下来，知识点是可以类推的。都是对前面的不断补充，使之完整。一节课不仅仅考虑知识点，更重要的思考是知识点后面的数学思考。重量单位是计量单位的第二次认识，它也很重要。一定要与长度单位的教学进行类比。为什么要进行类比？因为这个内容的教学类比有利于角度教学的优质发展。直接从长度单位的复习开始，长度单位厘米，分米，米这些单位有什么用：用来描述和比较长度的。在生活中，有时候不仅要比较长短还要比较轻重。比较轻重是不是也应该像比较长短一样有一些规定啊?这样类比的上过来，使学生关于单位的标准比较的进行迁移。在长度里规定1厘米,在重量里我们规定1克。第二次教学中从1克开始。1克有多少重呢？能用来称什么呢？现在的教学是重量归重量，时间归时间，长度归长度。其实应该联通起来。然后按照长度单位的教学模式滚动一遍。教学时，要将这些课程的内核部分整合起来，不要人为的割裂开来。角度单位也这样的教学过程，直接应用单位的意识。角度怎么比较大小？小朋友会联想到单位。45度的标准角。到了这一步之后，小朋友会逐渐有单位的意识。单位是可以度量的、可以描述的、可以比较的。然后再到面积。小朋友们，面积也有大小，大小的比较需要单位来描述。那面积单位怎么规定的呢？看书就可以，不需要启发了。这样一步一步下到体积，学生自然会理解体积单位，这是规定，用来比较和描述。这时候计量单位在学生脑子里就成了活的东西，而不是不断地重新开始。计量单位的教学从厘米开始到立方厘米结束，里面蕴含的价值是非常大的。我们很重视的是和谁连接，一个是和经验的连接，一些，一个头另外一个是知识点的连接，使厘米和分米不是独立的两个环节，而是两块积木拼成了一个整体。然后把米再拼起来。这么三节课才是真正的一节课，连起来。因此，像这样三节课来上的时候，一般厘米的认识会比较丰满，分米这节课就会比较快，米和毫米会更快。所以课时也不要平均分，第一节课上一节半，第二节课30分钟，第三节课20分钟，合起来还是3节课。我们需要把力气花在该花的地方。人必须有丰满，有瘦，人才是美丽的。我们课也是一样，第二个连接是随时体现的。第三个就是把单位的东西再次深化。上了一些类似的课。如，鸡兔同笼、不能说二分之一，但要表示出这个意思。单位的复习。厘米，长度，重量，度衡量角，平方厘米衡量面积，立方厘米，升衡量体积。你还能列举其他材料吗？小朋友还能讲很多很多。比如分贝测量声音，屈光度测量视力，像素测量清晰度。这是第二个环节，让学生把生活中的测量和书本进行沟通。很多东西都是测量，包括街头的分贝，醉酒驾车测量的酒精度也是在测量。学生会发现这些统统都是计量单位。第三个环节，你有没有想测量的东西，来设定一个单位。在计量单位的教学中要重视联通。与知识点的联通、与经验的联通。所以在上这个系列内容时不要平均用力，厘米1小时30分，毫米分米30分钟，米千米20分钟。在六年级，可以进一步将生活中的测量与生活沟通。分贝、象素、酒精度这些都是测量。问学生你有要测量的东西吗？我想测量什么，可以给它设定一个单位。比如想测量友谊到了这个环节，我觉得计量单位讲透了，它本身就称为一种能力。这个内核本身具有能量。第二，计量单位的计数。计数其实就是一个度量。计算其实也是计数的一种。度量是一种技能，计算也是一种技能。度量必须基于一种工具。要用工具来进行度量。所以计量单位这一点不需要启发，你会量吗？技能只要介绍掌握就可以了。没必要探究的。尝试度量的方法是不好的。只要说度量需要工具，谁会正确度量？来给我们介绍一下？度量的时候关键把握那些环节。比如尺子的度量，量角器的度量。在图形中，主要是这两个度量工具。还有一个度量工具是面积板。在使用工具的过程中，我们经常会尝试着扔掉工具，所以从度量到计算中间有一个很关键的一节课，叫做周长。发现我们只要度量一条边就够了，发现我们只要度量三条边就够了。发现度量是可以简约的。于是跳入了度量的计算层面。这是技能课。这个跳的环节是很重要的。如果一共十节课，我们要清楚哪些需要花力气的。在一个知识板块中要学会将重要的课圈出来，力气花在关键的地方。几年下来，学生关于数学就不一样了。第三，计量单位的归整。在计算当中，我们发现有问题。这个问题需要计量单位的归整来解决。从计数到计算。周长是一节课，长方形的面积也是一节课。面积的这节课很重要，很经典的。它展示了从计数到计算的最典型的过程。长方形有几个面积单位啊？分别举例。面积单位的建立过程，面积的大小就是面积块的计数过程。把面积的度量，面积块的度量变成了长度的度量。这个过程相当重要。从思维角度看，也是从实证开始，观察抽象，比较，得出结论。这节课展现了从计数到计算。平行四边形，三角形这两节课的落脚点就是计数单位的规整。我们为什么要把平行四边形转化成长方形？发生在哪里？是什么东西支撑着我们展开？支撑点就是计量单位的规整。因为这部分的单位是破的，我们把这部分拼过去，变成一个完整的。很自然的在方格纸上体现了剪拼的思想。剪拼的时候要追求单位的完整。应该问：小朋友们，这个平行四边形有几个面积单位啊？你怎么数出来的？明明是不完整的，怎么变成完整的了？回答：剪下来，移过来的。怎么剪法呢？两种。这个发生是这节课的价值所在，而不是推导。推导是很简单的。始终要规整。当发生的过程小朋友展现后，剩下的东西就可以少花力气了。关键是怎么发生的。所以第一节课的剪拼一定要学到位。这个想法在小朋友心理真的是活动的，那么辅助线就能变得灵活起来。否则加辅助线就会很困难。我们发现小朋友到后来怎么这么笨得啦，主要是第一节课没有把原汁原味的东西给他拿出来。三角形的面积推导要借一个三角形来进行，这个观念和这种想法是很难想到的。在图形外面添辅助线，也是学生不容易想到的，他们认为只有在图形里面才是可能的。有些三角形的要是在外面的。怎么外面去了呢？怎么样帮助小朋友发生这种思维。这节课的价值也源于计量单位的规整。因为这里面都是半个半个的。半个半个拼起来就是一个一个的。至于拼起来之后，下面的东西也很简单了。学习时要有冲击力，只有冲击过了，记忆很深刻了，就不会忘了。梯形的面积教学的方法、思想都有了，可以类比。可以减，可以拼，可以补。你觉得梯形用哪种方法比较好，讨论一下。面积公式这五节课，每节课的落脚点是不一样的。长方形是完成从计数到计算，平行四边形，三角形借助规整发生剪拼的思路。如果这些是小朋友们自己发生的，那以后就会用。只要小朋友可以理解这个方法，就不会是差生了。如果学生想不到方法，原因出在教师。教师将归整的过程遗失了。圆的规整是很有意思的。把圆分割成长方形是相当难的。不断地分圆，能够理解直线和圆是有关联的。这种连接是这节课最有价值的地方，可以把圆的变成直的。有一个老师先出现三角形、变成六边形，变成十二边形，再慢慢变成圆，使得学生能够感受到“圆就是直的”。让小朋友自己来捉摸，他也可以用规整的办法，最后体会到圆和直是有关系的。但这样需要很长的时间。这就是化曲为直。这么一个面积的系统下来，我们可以区分出来。小朋友会知道怎么样使单位规整，这是最原始的工具。第四，计量单位的联通。它伴随着整个过程。图形部分很大的一个特点就是可以合成一气的。需要不断地连接连接。将计量单位与计数单位一起纳入到单位中去。联接：第一种是与经验的联接，第二种是计量单位之间的联接，第三种通过单位将图形联接，单位作为桥梁把图形连接起来，第四种是将计量单位与计数单位联接。各种连接什么用呢？经验联接是帮助理解单位，前面举例中一点，一个头，10厘米，三个层次的发展呈现出来，使学生自己体会到有比较物，有标准比较物。这两个关键词，让学生理解进去。计量单位之间的联接主要是丰富关于单位的理解，用单位将图形连接起来，使之成为一个灵动，整体的系统。同一个面积公式就可以了。第四个就是计量单位和计数单位的连接，使数学达到简约，真正理解单位。连接的归宿就是理解单位。真正的数形结合。三、图形教学的辅线。按照这条线，几何当中还有什么没有归纳近来？按照这样的主线，图形的特征，位置与变化没有涉及。特征和变化是有关系的。点通过运动变成了线，线通过旋转变成了面，面通过旋转变成了体。接着一个问题就是怎样将特征讲清楚？第二条线就是关于特征的线。从线段开始，直线，射线，然后到角的特征。还有一条学习的主线：线的特征角的特征面的特征体的特征，这是第二条线，关于特征的线，是一条辅线。这条线比较明白，可以通过观察，触摸。怎样建立面积的概念？怎样建立体积的概念？怎样建立角的概念？如果将他们看做是一条电线的话：特征是皮套，计量单位是铜线。有了里面的这条线，几何教学就有了神。大家都有经验，怎么形成角这个概念，怎么形成面积这个概念，怎么形成体积这个概念。图形很大的特点就是在生活中不断地被触摸。体积经验在“拥挤、开阔”，面积的经验是“涂色”，小朋友可以通过笔，板刷来涂，我们怎样将它们联系？摸是积累经验的过程。涂色是最丰富的关于面的体验。空间有大小、面积有大小、这两个大小有什么不同？通常我们的第一节课是上线段的。后来再讲线的认识。把线段的一端无限延长，就是射线。把线段的两端都无限延长，就是直线。射线哪里有啊？灯。直线在哪里啊？射线和直线的模型很难找。面和体的例子容易找到。射线的原型在哪里？为什么生活中线段有很多原型，而射线、直线找不到原型。生活中的无限在哪里？我们在思考原型的时候不要落在有几个点上，而要落在无限上。对于小朋友来说，无限的经验就是永远看不到头。对学生来说，就是看得到头和看不到头这个区别。所以原型的选择就是看得到头和看不到头两种。还有一种就是一边看得到头，一边看不到头。这就是生活中的经验。那么这个连接就完成了。我们这么来讲，第一，线的特征。线有直线和曲线，有长有短，有粗有细。这个是需要解决的问题。教材里面有个斑马线。小朋友认为斑马线不是线，而是图形。因此，线是怎么来的？线是画下来的。纯粹的线是没有的，生活中的都是物。不管多少粗的东西，画下来都是这么一条线。因此线与粗细，点无大小。第二个特征，曲直。第三个特征长短。直线我们要画，必须借助于工具。曲线可以随意画。我们先研究直线，再研究长短。桌子的线比较短，跑道的线比较长。能找比桌子长的线吗？教室，草场，马路，还能更长的吗？长短的特征-线。长短的区别在哪里？你能不能找出最长的线来。因为有的线是看不到头的。短的是可以看得到头的。长的线是看不到头的。看不到头分为两种情况，一边有头，一边无头。两边无头，两边有头。这个就是经验。请画出来。模型化。在经验中当中是有头，无头，可以描述的。但真正的模型很难找。无头的线可以向两边无限延长的，一头无一头有两边都有头的就是线段，可以度量的。然后直线，射线。名称往前倒，这里就是经验的源头。这里有两个关键的步骤。第一个步骤，从学生的经验的呈现中描出有头无头。第二个步骤，让小朋友画出来。让小朋友会用点来表示头。画出来后再把特征之后给予命名。这就是一种与经验的联接。经验的源头就是关于线的最粗糙的想法。在粗糙中整理出我们要的，带有分类性质。然后把这个东西进行模型化，改造成数学的。这个点，这个头以后就改叫成端点。连接起来之后，数学的学习就深入了内核。让特征深入进去。图形在生活中有丰富的经验，包括容积，体积。教室里，人多就很拥挤，人少就熟透。这就是容积的经验。图形的特征学习，需要经验的支撑，需要经验的联接。线是画出来的，面是印出来的。纯粹的面是没有的，是没有边的。很多老师不理解有些课，不清楚真正的用意。准备课是没有具体的知识目标，而是一种经验的积累和数学思想的渗透。线是画下来的，没有粗细。有头，用来表示。选择可加工的进行加工。我们不要追求唯一的答案。提供一种思考的方法。不要非此即彼。直线与线段的长度比较，学生不能理解。如何让学生感知。直线是不可度量的，线段是可度量的。要区分量很大很大与量无限大之间的关系。无穷大量之间是可以比较的。下午一、引言俞：不管是什么东西,只要是有脉络的东西,我们都需要把脉络拎起来。我们主线把握了之后，教学就变得简单了。教学基本上分为几个阶段，第一个是从简到繁，第二个是从繁到简，然后是以简驭繁。接受是一种学习方式，研究是一种学习方式，但交流更是一种学习方式。朱：根据讲课内容理解，计量单位的线比与特征的线更为重要。例如用阴阳进行刻画。为什么把计量单位的线看得更重要一些？俞：通常来讲，阴在内，阳在外。阴是阳的根基。内外谁重要一点？由外重内，由内重外。基本上就是神形的关系。兼得就有活力，就有生命力，就可以持续发展。特征的线和计数单位的线可以融合。不同就不同在形式方面。神是通的。神很重要，没有神，形就很无力。但是离开了形，神也没办法体现。形也很重要，所以阴阳没办法区分重要。俞：问：读书与教学的关系？在代数领域，计数单位与计算之间是结合在一起的，但是计量单位与图形的特征之间是否也能建立起一种联接？俞：关于专业进步的话题。同样的一个问题，同样的一节课，都会有很多的优点，也会有很多的缺点。在听课的时候，要给老师建立一个基本的定位，就是这个老师的专业发展处在什么位置上面。然后用这个位置的一些要求去评判，然后再告诉应该怎么做。这样比较适合。好像给一个人指路，先要知道他现在在哪里？定位后，然后再告诉方向、路线。我们老师的专业发展也是一样，我们听课的时候一定要思考在哪里？告诉应该怎么走，可以安全的到达。怎么定位呢？专业发展的过程中是不是存在显著特征的定位问题。二、小学数学教师专业发展的几个显性阶段。l 教育心理学书上把教师分为生手、熟手、专家。我们小学里每个学校都会有划分。我们现在思考的是教师的分类。我们可以从关注点分类，从年限来分类，从职称来分类、从在学校的受关注度、教学实践的能力。学校认可度高的成为骨干，更高的成为专家。这些分类都是可以的，正确的。l 我们还需要思考：教师的专业发展主要是由哪些主要因素在影响？很多的因素，那么主要因素是哪些？然后再思考：小学数学教师发展有哪几个显性阶段？这样我们可以给老师一个定位，从而给出相应的指导。l 影响小学数学教师专业成长的因素：基本功（说、写、模仿表现、本体性知识的修养）、教学设计的能力（就是这一个老师能够将材料呈现为一定的程序，展现给学生。比如：认识5，把5变成一个过程，怎么变就是设计）、教学组织能力和设计的实施水平（然后将设计完成于课堂教学，使纸上的文本性的设计成为课堂上生动活泼的一个现实这一个组织包括实施、反馈、评价）、此外还有一个支撑所有东西的师德。这四大主要因素在所有教师身上都是同时存在的。刚从学校毕业的老师也都存在这些因素。从截面来说都存在，但是从纵向层面来讲，这四大因素在不同的阶段起着不同的作用。在不同的发展阶段，因素的作用不一样。如果把教师专业发展当作一个过程，那么这个过程中有四只拦路虎，有四座山峰。这四个因素就是这四只拦路虎，这四座山峰。l 第一个阶段最区别老师的是基本功。新手老师基本没有教学设计，别人怎么上就怎么上。模仿为主。在课堂上展现的不是设计能力，而是基本功。接下去在第二阶段，关注的是教学设计的亮点。教学设计成为主要因素。在前两个阶段，生成都是很次要的。生成到了教学组织是主要因素的时候，这时候基本上会有生成呈现了。所以通过教学组织这个高峰的时候会有所生成。教学设计能力达到高峰时，会有一种有意义的设计学习。基本功这个阶段基本上特征不显著。因此，这四大因素在不同方向上，不同的过程中呈现为主要的因素时而使不同阶段有不同特征。因此，这些因素同时存在，纵向上在不同时期的作用不一样。因此决定了不同时期的形态。l 基本功：在这个阶段，学习怎样表达、怎样书写、怎么样对更多的课进行模仿，该养成什么样的教学习惯。教学习惯也是基本功。有些基本功是与生俱来的，有些是在大学练过的。但在学校里教学习惯是很重要的，尤其是在第一、二年的时候，不要求课要上得有多好，要养成教学习惯，包括什么时候进教室。不要去培养教学设计，这个阶段，课听听，教案抄抄就可以了。教学习惯的养成是最重要的。早上到学校，很习惯地看看老教师，问个好。作业及时改，课堂上有空就改。l 监考课老师应该做什么？监考要观察学生是怎样考试和答题的，很重要。考试是一门技术。习惯的养成就要平时一点一滴的积累。其他的习惯也是一样要有心观察和培养。在发展教学基本功的过程中，慢慢慢慢对教学设计有了感觉。有了感觉的时候，我们要帮助老师如何理解教材，如何展现为一个过程。l 教学5的认识，我们可以设计学生在桌子上画一个圈，给五个跳棋。圈里为0，圈外为5问：一共有几种结果？0+5，1+4，2+3在玩中学数的组成。游戏中体会数字的不同表征。一种是活动的学习，积累经验，另一种是符号化的学习，把过程变成数学符号。然后形成数学学习。这就是一种设计。所以，老师真正开始体会教学乐趣的时候是从会设计得时候开始的。基本功阶段不会体会到教学的乐趣，而只是体会到教学的新鲜感。能够分清环节。教学设计又可以分为三个阶段。第一个阶段就是会设计，但不丰满。经常是课上完了，时间没到。比较虚。这个阶段的老师需要的技巧是多准备练习。没下课的时候就做练习，直到下课。这个过程很有意思。发展到第二个阶段，经常是下课时间到了，还没有讲完。还有东西讲，非常乐意讲，讲起来很开心。这两个阶段是最精彩的阶段，很充实。第三个阶段可能是一个教学高原期。老师对自己的教学不满意，有想法需要多种教学设计来支撑。假如学生这样回答，我需要这种设计，假如学生那样回答，我需要那样设计。多种预案。这个阶段非常可贵，开始向生成转变。但这种生成是非常拘谨的生成。生成开始萌芽。真正的一个教学设计到自动化的时候。设计自动化。一份材料拿来，马上能够想方法把材料整理成一个设计。直线，射线，线段l 自己能将材料设计成一节课。教师要思考这个问题值不值得研究？老师处理预设外生成的时候要一边走一边设计。这种设计是收索，检索。多种预案中择优。设计的高级阶段是多种方法，带着一种角色意识。这个设计就是相当成熟的设计。有一种设计，叫做设计自动化。自动化设计就是将设计的过程省略，直接选择最优的方案。凭着感觉就是最好的方案出来了。设计自动化的时候，是一种最优化的设计。教学生成是基于课堂的设计是自动化的，功底较高。当教学设计还有问题的时候，是不能玩课堂生成的。人是一样样功底积累后进入下一个阶段，是分阶段的。l 教育人不能放在太理性化的层面。教育要在感性的范围内。l 心中没有对教学设计的深入认识，也是没法自动起来的。这个需要有个过程，相当重要。我不喜欢用年龄来划分。很多人教了很多年，还在低级阶段。l 误人子弟在人间是不犯罪的，但在第19层地狱专门有一层。人要有所敬畏。教育一定要让孩子日子过得快点，而不是过得很慢。l 第一阶段到第二阶段不断地做加法。经验积累起来，听的课多起来，书看得多，于是设计的环节越来越多，越来越丰富。这个时候的人，被要求去掉环节很心疼的。第二个阶段到第三个阶段做减法。由繁入简。l 第一个阶段是很虚的环节，要用尽的挥舞，才能将45分钟时间填满，不断地做题；第二个阶段非常的实，环节太多，没有空间，学生就透不过气来，没有生成；第三个阶段要有空，才有灵空灵。灵了就可以生成了。l 有些问题是由于基本功引起的。眼睛要有交流。听的习惯。l 习惯非常重要。一个优秀的老师，首先是因为他具备非常好的习惯。有了好的习惯之后，再把教学中心转移到教学设计上来。当教学设计也习于体成了，这时候，生成也就开始自然而然来了。生成需要有关于学生的感觉，非常重要。l 基本功阶段，老师关注的是课堂的规则。其实教学是规则的结果。新老师带着基本功来到学校，需要的是规则。习惯就是一种规则。教学设计阶段要掌握的是具有教育意义的教材。建立自己的规则系统。入行要有行规。弟子规。很多年轻人不知天高地厚。教会如何做弟子。师徒结对为核心的校本教研，很有成效。一对师徒就是一个单元。最实在的教研。l 评课的时候，不评方法。有时的探究是有其形，无其神的，假探究。在教学组织阶段是有教学法的。就是有意义的接受学习。接受学习可以使知识点很到位，很扎实。假探究有一定的作业，但这是有限的学习。l 先要会灌输，才可能思考与学生的经验结合、与基本、能力结合，充分自由的组合，这就是生成。充分自由的教学设计就是教学设计自动化。这时候才有真正的启发式学习。l 在阶段的发展过程中，肯定会出现高原期。要有个势才能往上冲，高原期就是积累势的过程。有了势的积累，才能往上一纵，有质的飞跃。我们就在专业发展上作追求。一直追求，不要把附设的目标当作目标，否则会入歧途。在专业发展过程中得到开心。不开心很痛苦的。小学老师在知识分子的系列里，相当于农民工，最低层面。我们怎么样改善教学