《行列式的定义》PPT课件

第三章行列式 1n阶行列式的定义 2行列式的性质与计算 3行列式与矩阵的逆 4行列式的应用 求矩阵的秩 1二阶与三阶行列式 提示 a11a22x1 a12a22x2 b1a22 a22 a11x1 a12x2 b1 a12 a12a21x1 a12a22x2 a12b2 a21x1 a22x2 b2 a11a22 a12a21 x1 b1a22 a12b2 二元线性方程组与二阶行列式 这样就有 二元线性方程组与二阶行列式 行列式中的相关术语 行列式的元素 行 列 行标 列标 主对角线 副对角线 对角线法则 a12a21 a11a22 二阶行列式是主对角线上两元素之积减去副对角线上二元素之积所得的差 例1求解二元线性方程组 解 由于 a12a21 a11a22 D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31 三阶行列式 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31 并称它为三阶行列式 行列式中的相关术语 对角线法则 行列式的元素 行 列 行标 列标 主对角线 副对角线 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31 三阶行列式 按对角线法则 有 解 4 6 32 4 8 24 4 2 3 4 2 4 D 1 2 2 2 1 3 1 1 4 2 2 2 14 采用先选定百位数 再选定十位数 最后选定个位数的步骤 全排列及其逆序数 引例用1 2 3三个数字 可以组成多少个没有重复数字的三位数 解 百位数有3种选法 十位数有2种选法 个位数有1种选法 因为3 2 1 6 所以可以组成6个没有重复数字的三位数 321 这6个三位数是 123 132 231 213 312 我们把n个不同的对象 称为元素 排成一列 叫做这n个元素的全排列 也简称排列 全排列 n个不同元素的所有排列的总数 通常用Pn表示 Pn的计算公式Pn n n 1 n 2 3 2 1 n 在一个排列中 如果某两个元素的先后次序与标准排列的次序不同 就说有1个逆序 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数 逆序与逆序数 逆序数的计算 奇排列与偶排列 逆序数为奇数的排列叫做奇排列 逆序数为偶数的排列叫做偶排列 n阶行列式的定义 一 二阶行列式和三阶行列式的结构 二 n阶行列式的定义 三 几种特殊的行列式 a11a22 a12a21 一 二阶行列式和三阶行列式的共同结构 1 行列式右边任一项除正负号外可以写成 例如三阶行列式的结构可归纳如下 其中p1p2p3是1 2 3的某个排列 2 各项所带的正负号可以表示为 1 t 其中t为列标排列的逆序数 3 总共有P3 3 项 即项数等于1 2 3三个数构成的排列总数 三阶行列式可以写成 其中t为排列p1p2p3的逆序数 表示对1 2 3三个数的所有排列p1p2p3取和 二 n阶行列式的定义 特别规定一阶行列式 a 的值就是a 由矩阵A aij 中的n2个数aij i j 1 2 n 构成的代数和 称为n阶行列式 记为 简记为det aij 其中p1p2 pn为自然数1 2 n的一个排列 t为这个排列的逆序数 表示对所有排列p1p2 pn取和 在n阶行列式D中 数aij为行列式D的 i j 元 注 1 n阶行列式是所有取自不同行 不同列的n个数的乘积的代数和 其中构成一个n级排列 当为偶排列时 取正号 当为奇排列时 取负号 共有n 项 2 4阶及4阶以上的行列式无对角线法则可言 三 几种特殊的行列式 1 对角行列式 1 主对角行列式 证明 若记 i ai n i 1 则依行列式定义 1 ta1na2 n 1 an1 其中t为排列n n 1 21的逆序数 故 t 0 1 2 n 1 因此 1 t 1 2 n 2 次对角行列式 1 下三角行列式 证明 因为它的列标排列为标准排列 其逆序数为0 所以在它前面带有正号 要使取自不同行不同列的n个元素的乘积不为零 第一行只能取a11 第二行只能取a22 第三行只能取a33 第n行只能取ann 这样的乘积项只有一个 即a11a22a33 ann 因此 D a11a22a33 ann 2 三角行列式 2 上三角行列式 3 次下三角行列式 4 次上三角行列式 若 若 则称D为对称行列式 则称D为反对称行列式 定义 设 3 对称行列式与反对称行列式 例1在6阶行列式det aij 中 元素乘积a15a23a32a44a51a66前应取什么符号 解列标排列532416 它的逆序数为t 0 1 2 1 4 0 8 它是偶排列 所以在该乘积项的前面应取正号 补充例题 例2用行列式定义计算行列式 为使取自不同行不同列的元素的乘积不为0 第1列只能取a21 第3列只能取a43 第4列只能取a14 第2列只能取a32 四个元素的乘积为a21a43a14a32 即a14a21a32a43 其列标排列为4123 它的逆序数为3 是奇排列 所以D 1 3a14a21a32a43 a14a21a32a43 1 解 排列的对换 在排列中 将任意两个元素对调 其余的元素不动 就得到另一个排列 这种对排列的变换方法称为对换 将相邻两个元素对换 叫做相邻对换 对换 举例 在排列21354中 对换1与4 排列21354的逆序数是2 经过对换 排列的奇偶性发生了变化 得到的排列是24351 排列24351的逆序数是5 性质1一个排列中的任意两个元素对换 排列改变奇偶性 性质2在行列式的每项乘积中交换两元素的位置 行标和列标同时变换 行标和列标的逆序数之和保持奇偶性 定义1的另一个等价定义 n阶行列式也可定义为 二 行列式按行 列 展开 一 余子式与代数余子式 二 行列式按行 列 展开法则 1 余子式与代数余子式在n阶行列式D det aij 中 把元素aij所在的第i行和第j列划去后 剩下来的n 1阶行列式叫做元素aij的余子式 记作Mij 记Aij 1 i jMij Aij叫做元素aij的代数余子式 A23 1 2 3M23 M23 例如 已知 则a23的余子式和代数余子式为 引理在n阶行列式D中 如果第i行元素除aij外都为零 那么这行列式等于aij与它的代数余子式Aij的乘积 即D aijAij 2 行列式按行 列 展开法则 定理1 行列式按行 列 展开法则 行列式等于它的任一行 列 各元素与其对应的代数余子式乘积的和 即D ai1Ai1 ai2Ai2 ainAin