大学物理-第1章-力学4-功与能

0 90时该力做正功；90 180时该力做负功； =90时，恒力不做功。,1-5 功和能,加速度是力的瞬时作用效果；功是力的过程作用效果，功为力对空间 (位移) 的累积。,若 是变力，产生元位移 ，则该力做元功,一、功：,质点直线运动中，恒力的功,质点沿曲线 L 从 A 点运动到 B 点，力 做功,单位时间内的功称为功率,例1 质量为 m 的滑雪运动员沿滑雪道下滑了高度 h，求在此过程中他所受各力的功以及合外力的功。,解：受力图如图，任取元位移 ，,可见，重力的功与路径无关，是保守力的功； 摩擦力的功与具体路径有关，是非保守力的功。,合外力的功,二、动能定理：,即质点的动能定理：,合力对质点所做的功等于质点动能的增量。,质点系的动能定理：,所有外力和内力对质点系所做的功之和等于质点系总动能的增量。,内力能改变系统的总动能，但不能改变系统的总动量。,例2 在光滑的水平桌面上，固定一半圆形屏障，一质量为 m 的滑块以速度 v0 沿切线方向进入屏障一端，设滑块与屏障间的滑动摩擦系数为 ，求滑块由另一端滑出时摩擦力所做的功。,解：滑块做减速圆周运动。,法向,切向,由动能定理，得摩擦力所做的功,例3 选择：一水平传送皮带受电动机驱动匀速运动，在传送带上轻轻放置一砖块，则在砖刚被放到皮带上到与传送带共同运动的过程中，,选 C.,例4 矿砂由料槽均匀落在水平运动的传送带上，落砂流量 q = 50kg/s。传送带匀速运动，速率为 v = 1.5m/s.求电动机拖动皮带的功率，这一功率是否等于单位时间内落砂获得的动能？,解：设在 dt 时间内有 dm 的砂落在皮带上，皮带对落砂的摩擦力为 f,电动机驱动力 F = -f = f ，,功率 P = Fv = qv2 = 501.52 = 113W,单位时间落砂获得动能,二者差值转化为落砂内能,三、一对力的功：,下面计算作用在两个质点上大小相等、方向相反的力(通常为作用力与反作用力)，即“一对力”的功。,“一对力”所做的功等于其中一个质点所受的力沿该质点对另一质点的相对路径所做的功，与参考系无关。,所以可以把参考系建立在一个物体上（则该物体静止)，这样 “一对力” 的功就等于 “一个力” 的功。,例如,1. 在建立在斜面上的非惯性 参考系中，一对力 做功之和为零，因此在地 面系中，这一对力做功之 和仍为零！,2. 上例中，如果斜面和物体之间有滑动摩擦力 ， 它们做功之和在地面系中求比较麻烦，而在斜面系 中求则非常简单。,3. 地球万有引力对表面物体做功，以及此物体对地球 的万有引力对地球所做的功，两者之和等于地面参 考系的重力功，即 mgh 。,例5 卡车 M 载着木箱 m 以速度 v 沿平直路面行驶。突然刹车，车轮立即停止转动，卡车向前滑行了一段距离 L，同时木箱也相对于卡车滑行了距离 l 后才停下来。已知木箱与卡车间、卡车与地面间的滑动摩擦系数分别为 1 和 2 ，试求卡车滑行的距离。,解：把卡车和木箱作为质点系,内力和外力的功等于动能增量,四、保守力和势能：, 一对万有引力的功,1. 计算几种力的功：,m1 对 m2 的万有引力,在 m1 系中，一对力的功转化为一个力的功,因为 ，所以, 一对弹簧弹性力的功,2. 保守力：,如果一对力的功与相对路径无关，而只决定于两质点的相对始末位置，这样的一对力叫保守力。,通常把参考系建立在一个质点上，这样一对力的功变成一个力的功，所以这样一个力也可称为保守力。,万有引力、静电力、重力、弹簧的弹性力是保守力；滑动摩擦力、流体阻力是非保守力。,L1,L2,3. 势能：,W12 = mgh1 mgh2,定义这个只与质点相对位置有关的函数为势能函数 (势能、位能) Ep ，则,WAB = EpA EpB = Ep,即：保守内力的功等于系统势能增量的负值。,选择 B 点为势能零点，则任意点 (例如A点) 势能,重力势能,万有引力势能,弹簧弹性势能,点电荷静电势能,1. 势能零点可以任意选择，一般选择使问题简单。 势能差与势能零点的选择无关。,2. 势能不专属于某个质点，而是属于整个质点系统。,3. 对保守力才能引进势能概念。,例6 由万有引力做功导出重力势能函数 Ep = mgh 。,解：把参考系建立在地表，这样，物体与地球之间的一对万有引力的功就等于物体的重力 (一个力) 的功。,取地表为势能零点，则,其中用到 h R，并且重力加速度 。,4. 由势能求保守力：,把 应用于微过程,由此可见，知道势能的空间分布，就可求得保守力。,（负势能梯度）,例如,弹簧弹性力,重力,万有引力,分子力：,分子势能,分子之间的力,1. 保守力指向势能较低处。,2. 保守力作用下动能和势能可互相转化。, 保守力的性质：,五、机械能守恒定律：,1. 质点系的功能原理：,把质点系的动能定理 写成,并利用 ，得,外力与非保守内力的功的总和等于系统机械能的增量。,2. 机械能守恒定律：,只有保守内力做功的情况下，质点系的机械能保持不变。,3. 能量转化与守恒定律：,能量不能消失，也不能凭空产生，只能从一种形式转化为另一种形式，或从一个物体传到另一个物体。,(1) 功是能量转化的手段, 而能量是系统对外做功的本领。能量是与系统状态相联系的，而做功是与系统变化过程相联系的。,(2) 与外界没有任何联系的系统称为孤立系统。孤立系统所有能量的总和是守恒的。,例7 一辆小车可在光滑水平桌面上运动，车上装有细杆, 一端可自由转动, 另一端固定一钢球。使车静止，球和杆处于水平位置，然后放手，求当杆摆至竖直位置时，钢球和小车的速度。,解：取球、车、地球系统为研究对象, 仅有保守内力 (重力) 做功,机械能守恒：,取球、车系统为研究对象，合外力为零，动量守恒： 0 = MV mv,相对于桌面球速度 ，车速度,例8 如图弹簧与两平板组成的系统，问加多大的压力 F，当突然撤去后，上板跳起后恰能使下板被提起。,解：建立坐标系。,取两板、弹簧、地球为研究系统。从压力刚被撤去到下板弹起的过程中，仅保守内力做功，机械能守恒：,解得,例9 证明：行星在轨道上运动的总能量为 r1 , r2 分别为太阳到行星轨道近日点和远