大学物理-第5章-1-振动

振动与波动,VIBRATION AND WAVE,大学物理,振动与波动,VIBRATION AND WAVE,第 5 章 振动与波动,5.1 简谐振动,任何物理量随时间做往复变化都叫做振动。例如，位矢、电流、电压、电场、磁场、密度等。 物体在某位置附近来回运动叫机械振动。,物理量按余 (正) 弦规律随时间变化, 叫简谐振动。,一、简谐振动：,弹性力,牛二律,最简单的振动是简谐振动，任何振动都可由简谐振动合成得到。,加速度,得,此即简谐振动微分方程，可用其判断简谐振动。,式中,速度,二、特征量：,1. 振幅 A：表征振动的强度。,2. 角频率 ：表征振动的快慢。单位 rad / s 或 s-1。,T 为周期，单位为 sv 为频率，单位为 Hz,3. 相位 t + ，初相 ： t = 0 时刻的相位。,说明,1. 角频率 是弹簧振子的固有物理特征，称为固有角 频率。,2. 振幅 A，初相 可由初始条件确定，不是弹簧振子 的固有物理特征。 A 决定于振动的能量 (E = kA2/2 = m2A2/2)。,三、确定特征量的方法：,1.,2. A, 由初始条件确定，或由任意时刻的位移、速度 确定。,已知 t = 0 时，x = x0, v = v0，得到,所以,四、简谐振动的描述方法：,1. 振动曲线：x t 曲线,2. 旋转矢量图：,A,-A,圆周的半径 振幅 A旋转角速度 角频率 从 x 轴到旋转矢量的夹角 相位 t + ,通过相位比较振动的步调：,1,质点 2 振动落后于质点 1 振动质点 3 振动超前于质点 1 振动,简谐振动可表示为质点匀速圆周运动在某方向 (此处为 x 方向)上的投影。,v 超前 x 相位 / 2a 超前 v 相位 / 2a 超前 x 相位 ，或 a 与 x 反相, 相位差：,当 1 2 时，相位差随时间变化，,当 1 = 2 时，相位差不随时间变化,相位差用于比较两个振动的步调。,例1 证明如图所示系统做简谐振动，并求角频率。,解：以弹簧固有长度的端点为坐标原点，向右为正建立一维坐标系。,受力分析。,由牛二律和转动定律得,还有,得,令,得标准形式简谐 振动微分方程,例2 简谐振动 (1) t = 0 时， x0 = A/2， v0 0，求 ； (2) 已知 ，求从 x = A/2到 x = A/2 的最短时间。,A/2,b,a,解：,(1),(2) a 点,相位,b 点,(3) 已求出 和 ，解得 ta = T / 6, tb = 5T / 12,五、其它简谐振动实例：,1. 单摆：,取逆时针方向为角位移 的正向，,则小球做圆周运动的切向力为, 很小,这就是单摆的角位移满足的微分方程，因此单摆的摆动是简谐振动。,其角频率和周期分别为,2. 复摆：摆动的刚体叫做复摆。,取逆时针方向为角位移 的正向，则复摆受到的对于转轴 O 的重力矩为,由转动定律 得,这就是复摆的角位移满足的微分方程，因此复摆的摆动是简谐振动。,其角频率和周期分别为 ，, 用复摆可以测量刚体的转动惯量。,3. 电谐振荡：电容 C 和电感 L 组成的电路中，电容器 电量 q 和电路中电流 i 的振荡。,这也是简谐振动满足的微分方程。,其解为,例4 单摆钟摆长 l = 0.995m，(1) 在某地发现此钟每天快 1 分 30 秒；(2) 在另一地发现此钟慢了 2 分 15 秒,问分别如何调整摆长，才能使钟正确？,解：不能用 g = 9.8m/s2 求标准钟摆长，因为不同地点重力加速度的不同正是造成此钟忽快忽慢的原因。,(1) 此钟 ，此地标准钟,二式相除 (不能相减，为什么？) 得,调长2.07mm,(2) 此钟 ，此地标准钟,调短3.11mm,5.2 简谐振动的能量,所以机械能为,可见，弹簧振子的总能量不随时间改变 (机械能守恒)，而且与振幅的平方成正比。,弹簧振子的势能和动能分别为,动能与势能的大小都发生振荡，振动周期为 T / 2。,振子的动能与势能互相转化。振子不能到达 |x| A 的区域，因为势能不能超过 E，否则动能将变为负值。,势能和动能对时间的平均值,例 水平弹簧振子，弹簧劲度系数 k = 24N/m，重物质量 m = 6kg，重物静止在平衡位置。设以一水平恒力 F = 10N 向左作用于物体 (不计摩擦), 使之由平衡位置向左运动了 0.05m，此时撤去力 F。当重物运动到左方最远位置时开始计时，求物体的运动方程。,解：设物体的运动方程为 x = Acos(t + ),恒外力所做的功等于弹簧获得的机械能，当物体运动到最左端时，这些能量全部转化为弹簧的弹性势能,角频率,物体运动到 A 位置时计时，Acos = A，初相 = ,所以物体的运动方程为 x = 0.204cos(2 t + ) (m),思考：物体运动到 s 位置时计时，情况怎样?,5.3 简谐振动的合成,两个任意方向、强度的简谐振动都可合成，一般情况比较复杂。下面是 4 种较简单的情形。,一、同方向同频率简谐振动的合成：,合运动,仍是简谐振动，其中,讨论,3. 当相位差 2 1 为其它值时，合振幅 A 界于 A1 + A2 和 |A1 - A2| 之间。,解：同频同向简谐振动的合成。,应取 ，, 同一直线上 n 个同频率、同振幅、恒定相位差的简 谐振动的合成,C,R,R,矢量 的外接圆半径为 R，,P,M,OCP 中,OCM 中,合振动为,讨论,1. 若各分振动同相，即,则,2. 若各分振动相位差 其中 k 不取 n 的整数倍，则各 分振幅矢量构成闭合正多边形， A = 0，x = 0。,例如 n = 6,二、同方向不同频率简谐振动的合成：,两矢量 和 在参考圆中旋转过程中, 夹角和合矢量随时间改变，合振动不是简谐振动。,为简单起见，设振幅相等，初相相同。,所以合振动可以看成是 “振幅随时间改变的谐振动”。合振动的振幅矢量仍是匀速圆周运动，但半径周期性变化。,当两个分振动的频率都较大而其差较小时，合振动具有特殊的周期性。,因为 ，所以 “振幅的变化” 比 “相位的变化” 慢得多。,频率都较大但差别很小的两个同方向振动合成时，合振动忽强忽弱的现象叫做拍。单位时间内合振动加强或减弱的次数叫拍频,应用,准确测频率，用音叉调钢琴,三、相互垂直的同频率振动的合成：,消去 t，得质点轨道方程,讨论,2. 两振动相位差为 /2，则 轨迹为椭圆,3. 两振动相位差为 /4, 3/4 ，则运动轨迹为椭圆， 半长轴和半短轴不在坐标轴上。,2 1= /4 /4 3 /4 3 /4,4. 两振动相位差为其他值时，运动轨迹仍为椭圆。,四、相互垂直的不同频率振动的合成：,1. 如果频率差别很小，则近似看成同频率振动合成， 但相位差缓慢变化，合运动轨迹按下面顺序变化。,2. 如果频率差别较大，但有简单的整数比，则合运动 具有稳定闭合轨迹，即李萨如图。该图与矩形框的 x 边和 y 边的切点数的比值等于两方向振动周期比。,5.4 阻尼振动和受迫振动,一、阻尼振动：,由于阻力作用而不断损失能量的振动叫阻尼振动。,当振子速度较小时，介质阻力为,所以振动方程为,即,固有角频率阻尼系数,1. 当阻尼较小时， 0，振子 以非周期运动回到平衡位置。,3. 当阻尼使 = 0 时，振子刚好 能做非周期运动，回到平衡位 置时间最短。电流表指针止振需要这种阻尼。, 含电阻电谐振荡：电能逐渐被电阻 消耗而使振荡消失。,二、受迫振动：,对弱阻