大学物理-麦克斯韦电磁理论和电磁波8

第八章 麦克斯韦电磁理论和电磁波,1。一平行板电容器的两极板为圆形金属板，面积均为S，接于一交流电源时，板上的电荷随时间变化，即 。试求：,(1) 电容器中的位移电流密度的大小；(2) 设 为由圆板中心到该点的距离，两板之间的磁感应强度分布,解 （1）由题意可知， ，对于平行板电容器电位移矢量的大小为,所以，位移电流密度的大小为,(2) 由于电容器内无传导电流，故 。又由于位移电流具有轴对称性，故可用安培环路求解磁感应强度。设 为由圆板中心到场点的距离，并以 为半径做圆周路径L。根据全电流安培环路定理可知,通过 所围面积的位移电流为,所以,最后可得,注释：由于平行板电容器极板上的电荷 随时间作周期性变化，可知电容器极板间的电场也是时间的函数，则由随时间变化的电位移通量可求出位移电流 。由于全电流具有轴对称性，可用全电流安培环路定理求出磁场强度H，最后求得磁感应强度B。从结果中看到，B B(r,t)，表明在平行板电容器中的磁场是非均匀磁场。,2。充电，试求：如图（a）所示，用二面积为 的大圆盘组成一间距为d的平行板电容器，用两根长导线垂直地接在二圆盘的中心。今用可调电源使此电容器以恒定的电流,(1) 此电容器中的位移电流密度；(2) 如图（b）所示，电容器中 点的磁感应强度；,(3) 证明在此电容器中从半径为 、厚度为 的圆柱体表面流进的电磁能与圆柱体内增加的电磁能相等。,解 (1) 由全电流概念可知，全电流是连续的。电容器中位移电流密度 的方向应如图（c）所示，其大小为,通过电源给电容器充电时，使电容器极板上电荷随时间变化，从而使极板间电场发生变化。因此，也可以这样来求 :,因为,由于 ，因此,所以,(2) 由于传导电流和位移电流均呈轴对称，故磁场 也呈轴对称，显然过 点的 线应为圆心在对称轴上的圆，如图（c）所示。,根据全电流安培环路定理，将 用于此 线上，有,得,所以,(3) 在电容器中作半径为 、厚度为 的圆柱体，如图（d）所示。由坡印廷矢量 分析可知，S垂直指向圆柱体的侧壁，这表明电磁场的能量是从侧壁流人圆柱体内的。在单位时间内流人的能量为,因为。,所以,由于传导电流和位移电流都不随时间变化，故磁场和磁场的能量也都不随时间变化。但电容器中的电场是随时间增强的，故电场的能量是随时间增加的。图（d）中圆柱体内单位时间内增加的电场的能量为,显然，单位时间内流人圆柱体的能量与圆柱体内增加的能量相等。,注释： 本题中由于电源给平行板电容器稳定充电，电容器极板上电荷不断变化，使极板内部电场稳定变化，产生不随时间变化的位移电流，进而在电容器内部激发磁场。由于传导电流和位移电流的对称性分布，可用安培环路定理求解B。问题（3）中的结果表明电磁场的能量是从电容器的侧面流入的，且单位时间内流入电容器中的能量与电容器内增加的能量相等。,3。如图所示，已知电路中直流电源的电动势为12V、电阻R = 6，电容器的电容 ，试求：,（1）接通电源瞬时电容器极板间的位移电流： （2） s时，电容器极板间的位移电流； (3) 位移电流可持续多长时间。（通常认为经过10倍电路时间常数 后电流小到可忽略不计）,解 : 对 串联电路的暂态过程有,求解该方程得： ，表示极板上的电荷量是随时间变化。,在电容器内，由上题结论得电容器中的位移电流为,对应不同的情况，可求得,(1) 在接通电源的瞬时 ，电容器极板间的位移电流A,(2) 当 s时，,A,(3) 在 时可认为电流忽略不计，即 。所以,(s),注释: 当接通电源后，电源给电容器充电，所以电容器极板上的电荷量随时间变化，在电容器中产生位移电流。但当充电过程结束时，电容器极板上的电荷q不再变化，电容器内部的电场也不再变化，故此时位移电流消失。,4. 一球形电容器，其内导体半径为 ，外导体半径为 ，两极板 之间充有相对介电常数为 的介质。现在电容器上加电压，内球 与外球的电压为V= ，假设 不太大，以致电容器电场分 布与静电场情形近似相等，试求介质中的位移电流密度以及通过 半径为 的球面的位移电流。,解: 设电容器极板上带有电荷 ，由位移电流密度公式可知,由于球形电容器具有球形对称，可用电场高斯定理求出球形极板间的电位移矢量为,(为径向单位向量),球形电容器极板间的电势差为,与上式联立，消去 ，得,所以位移电流密度为,在电容器中，作半径为 的球面（ r ），通过它的位移电流为,的流向沿径向，且随时间变化。,注释 球形电容器两极板间的电压随时间变化，所以极板间电场 变化，产生位移电流。从结果中看出，介质中各处的位移电流密度不同，而穿过任意球面的位移电流与球面大小无关。,5. 如图所示，电荷 以速度 向 点运动（ 到 点的距离以 表示）。在 点处作一半径为a的圆，圆面与 垂直。试求通过该圆面的位移电流和圆周上各点处的磁感应强度 。,解 电荷在其周围要激发电场，同时由于电荷运动，根据麦克斯韦假设，此时随时间变化的电场又激发磁场。设 时刻穿过圆面上的电位移通量为,为使计算简便，可以 为球心，r为半径，a为小圆半径的底面， 做一球冠，球面上各点的 的大小相等，穿过题意圆面的电位 移通量与穿过球冠的电位移通量相等。即,代入位移电流的定义式，得,取半径为a的圆为积分回路L，由麦克斯韦方程，有,由于 运动沿圆面的轴线，系统具有对称性，所以环路上各点 的H大小相等，即,得,写成矢量形式有,这正是运动电荷产生的磁场公式。,注释: 求出电位移通量，就可由位移电流定义求解 ，因此本 题的关键是求解 。取球冠求 的优点是球面上各点 的大小 相同，便于计算。而在圆面上各点D的大小是不相同的，需要 用积分来解决。由于问题具有轴对称性，可用安培环路定理求 解 。,如图所示，由电容为0. 025 F的电容器和自感系数为1.015H的线圈构成一振荡电路，若忽略线路中的电阻，充电后电容器所带电量的幅值为2.5 C。试求：,(1) 充电时电容器两极板间电位差随时间的变化率；(2) 电路中电流随时间的变化率；(3) 电场和磁场能量分别随时间的变化率。,解： 在图示中，将开关K先后扳向位置2,1使电容器充、放电，便可在 电路中产生电流的周期性变化。设电路中电荷随时间的变化规律为,则电路中的充、放电流为,由于在LC电路中， ，所以回路的振荡频率,（1）由题意可知,rads,Hz,所以,代人电容器的电容公式，有,100cos(2000 ) V,表明电容器两极板间电压随时间作用周期性变化。,（2） 已知电路中电荷变化规律，则有,（3） 电容器储存的电场能量为,(J),线圈储存的磁场能量为,(J),整个电路系统的总能量,(J),注释：变化的电