电磁场与电磁波 ppt 第二章：静电场2

2 6唯一性定理 1 定理表述 静场边值问题是在给出的边界条件下 求泊松方程和拉普拉斯方程的解 在求解静态场边值问题时 如果我们能找出一个函数 既满足定解方程 泊松或拉普拉斯方程 又满足相应的边界条件 则这个函数就是我们所要求的解 而且是唯一的解 这就是唯一性定理 2 静电场边值问题的分类 边值问题分为三类 即 第一类边值问题 已知整个边界上的位函数 狄利克莱边界条件 第二类边值问题 已知整个边界上的电位法向导数 即电荷面密度 诺伊曼条件 第三类边值问题 边界上部分电位已知 另一部分上的电位的法向导数已知 混合边界问题 得到格林第一恒等式 3 解的唯一性的证明 一 拉普拉斯方程解的唯一性证明 而 和 为空间区域内两个任意的标量函数 令某矢量场 由恒等式 和 代入散度定理 令 有 又 考虑到 对于拉氏方程 从而得到 假设现在有两个满足边界条件的拉普拉斯方程的解 令其分别为 因为拉普拉斯方程是线性方程 两个解的差也满足拉普拉斯方程 即 下面来证明对于上面的三类边值问题 拉普拉斯方程的解都是唯一的 对于第一类边值问题 在边界S上有 于是 因为左边积分是非负的 故有 即 但因为在边界上 为零 因此有 从而证得对于第一类边界条件 拉普拉斯方程的解是唯一的 对于第二类边值问题 由于给定了导体边界面的带电量q 则有 其中s为闭合的边界面 因此必有 同样得到 即第二类边值问题的解也是唯一的 也就是说 和 只相差一个常数 对于混合边值问题 只要把上右边的闭合面积分写成各部分表面的面积分之和 对每部分表面应用如上的讨论 便可得到结论 二 泊松方程解的唯一性的证明 对于泊松方程 有 同样假设泊松方程有两个都满足边界条件的解 和 即 两式相减 得到 即泊松方程两个解的差 应是拉普拉斯方程的解 重复上面的过程 同样可以证明泊松方程的解是唯一的 4 解的唯一性的意义 Example2 10 电荷均匀分布于两平行的圆柱面间的区域中 密度为 两圆柱半径分别为a及b 轴线相距c 如图所示 求空间各区域的电位移和电场强度 1 利用叠加原理 将空心部分看成是分别具有电荷密度为 和 的两个平行圆柱的叠加 如图所示 解 2 利用高斯定律 a 当r a时 对于圆柱一 在空间的电场为 其中 对于圆柱二 在空间的电场为 其中 最后得到 b 在外圆柱与内圆柱之间 有 而E2与 a 相同 从而在内外圆柱之间电场为 c 在空腔内 E1与 b 相同 即 空腔内电场为均匀场 Example2 11 一不带电的孤立导体球 半径为a 位于均匀电场中 E azE0 如图所示 求电位函数 在没有引入导体球时 均匀电场E的电位函数为 解 若取z 0为电位参考点 则c 0 为什么用球坐标 均匀电场中的导体球 当引入一个不带电的小球导体后 球表面出现感应电荷 静电平衡下的导体球为等位体 球内电场为零 在r a的空间内 电位由两个部分组成 即 为感应面电荷的电位 将导体球心和球坐标原点重合 则虽然感内电荷密度的大小是未知的 但它在球面上的分布一定对称于z 0的平面 上正下负 相当于一些电偶极子对称地分布在z轴的两边 它们在r a区域内的电位应为 故总电位为 由边界条件来确定待定常数k 在r a的导体球面上电位为零 即 由此可解得 总的电位函数为 2 7电介质的极化 极化强度 电介质即绝缘材料 如石英 云母 变压器油 芭麻油 氢和氯等 电介质可以是固体 液体或气体 有趣的是 一般金属蒸汽也是电介质 电介质中的电子受原子该的束缚很强 即使在外电场的作用下电子也不能脱离原于核做宏观运动 只能在原子间隔尺度内作微观位移 电介质分子可分为两类 无极分子和有极分子 无极分子 当外电扬不存在时 电介质中正负电荷的 重心 是重合的 没有等效电偶极矩 然而 由于分子的无规则热运动 各个分子等效电矩的方向是凌乱的 所以无论是整块介质或介质中的某一部分 其中分子等效电偶极矩的矢量和都等于零 有极分子 当外电场不存在时 电介质中的正负电荷 重心 不重合 因此每个分子可等效为一个电偶极子 1 介质中的极化现象 当把介质放在电场中时 介质的分子在电场作用下会发生极化 使得介质中出现电偶极矩 偶极矩的电场叠加于原来的电场上 使电场发生变化 介质的极化有三种不同的现象 它们分别是 电子极化 组成原子的电子云在电场作用下相对于原子核发生位移 可以认为 原子核不动 位移仅是电子 离子极化 对于离子分子 在电场作用下 正负离子从其平衡位置发生位移形成电偶极矩 在本课程中 我们并不关心介质极化的微观机理 而主要研究介质极化对静电场的宏观影响 即电场的本构关系 取向极化 在电场作用下 分子的电矩克服热运动 而使分子电矩向电场方向移动 产生合成电矩 2 极化强度 称为该点的极化强度 单位为C m2 它等于该点分子的平均电矩 P 和分子密度N的乘积 介质极化可看成一个个偶极矩的集合 每一个偶极矩的电矩可认为P 则在电场的作用下 介质中某体积元内的合成电矩为 P 有 对于线性的 各向同性的均匀介质来说 介质中每一点极化强度矢量P与该点的总电场强度E成正比 即 式中 e称为电极化系数 是一个无量纲数 不同的介质有不同的电极化系数 3 束缚电荷 由偶极矩来计算介质对电场的影响是很困难的 实际上 如果介质均匀或介质中不存在自由电荷 则介质体积元内的净电荷为零 电荷只会出现在介质的表面 由于这种电荷总是在介质中成对出现 而不象自由电荷那样可以单独出现 因此 称为束缚电荷 当介质的一部分表面出现正的束缚电荷时 另一部分表面上就会出现负的束缚电荷 极化强度P与束缚电荷qp之间有一定的关系 设在外电场作用下 电介质发生了极化 极化强度为P 在电介质内某点 x y z 取一个体积元dy 把该体积元中的所有电偶极于看成一个等效电偶极子 它的等效电矩为dP P x y z dV 这一等效电偶极子在远处一观察点A X y z 产生的电位 可得 不难证明 代入后有 于是 体积为v 的电介质中的全部电偶极子在场点A产生的电位是 利用矢量恒等式 为 积分范围为v 介质的整个范围 在利用散度定理 比较后 可以看出 束缚电荷的体密度为 束缚电荷的面密度为 于是介质中一点的电位改写成 若电介质中还存在自由电荷的体分布时 电介质中一点总的电位可写为 4 介质中的高斯定理 电位移矢量D 如图所示 取一个闭合面S 计算从闭合面内穿出的电场E的通量 由高斯定理 有 其中 qp为闭合面S内总的束缚电荷 考虑束缚电荷与极化矢量强度P的关系 如图示 取一个面元 S 以ds为底 斜高为l 其电量为 即 代入 得到电场与极化强度的关系 即 根据电位移的性质 有 取微分形式 由 和 可得 便是介质中的高斯定理 这个关系式称为电场的本构关系 5 介质分界面上的边界条件 1 电位移矢量D的法向分量的边界条件 如图所示 在分界面上取一个小的柱形闭合面 其上下底面与分界面平行 并分别位于分界面两侧 柱形闭合面的高h为无限小量 利用高斯定理 由于高h为无限小 可以认为柱形闭合面侧壁的通量为零 从而得到介质分界面上电位移矢量D的边界条件为 即 或 讨论 电场E的法向分量是否连续 当介质分界面上无自由电荷时 有 对于介质与理想导体的分界面 由于理想导体内的电场为零 从而有 如果将电位移矢量D的法向分量的边界条件用电位表示 则有 对于无源分界面 有 2 电场E的切向分量的边界条件 如图所示 在分界面上取一个小的矩形闭合路径 其中宽为h无限小量 对于此小矩形 取E的环流 有 从而有 又 由此有 或 对于理想导体和介质的分界面 由于理想导体内的电场为零 因此有 表明 理想导体的表面的电力线与表面垂直 3 电位的边界条件 由于在电场E的环流中 h为无穷小量 电场E沿h的线积分 电位差 也为无穷小量 因此 电场的切向分量连续的条件有隐含为在分界面上电位是连续的 即在分界面上 有 夹角关系 由 和 由此得到介质两则电场的夹角 折射 关系 半径分别为a和b的同轴线 外加电压U 如图所示 圆柱面电极间在图示 1角部分充满介电常数为 的介质 其余部分为空气 求介质与空气中的电场和单位长度上的电容量 Example2 13 部分填充介质的同轴线 介质与空气中的电位必须既满足拉普拉斯方程 又满足导体表面的边界条件 解 1 根据唯一性定理 采用试探方法求解 即假定电位的解是圆柱坐标下 维坐标r的对数函数 然后检验它们是否满足所有的边界条件 设两个区域的电位函数为 己知边界条件 可确定 A C B D 故 同时有 联立求解得 于是 由此可知 从两介质边界上的衔接边界条件来看 显然有 因为E1 E2 Er 没有法向分量 即法向分量为零 所以试探解是唯一的真实解 2求单位长度上的电容量 根据边界条件求得内导体表面单位长度上的电荷量 根据电容的定义 有同轴线单位长度上的电容为 注 求解导体系统的电容量 有两种思路 1 已知 或假定已知 电容极板的电荷量Q 求出两极板间的电压 电位差 U 则电容C Q U 2 已知 或假定已知 两极板间的电压U 求出其中任一极板上所存储的电荷量Q 则电容C Q U 2 8恒定电场的基本方程 1 什么叫恒定电场 电流是由电荷的流动形成的 当电荷流动不随时间改变时 称为恒定电流 对应的电场称为恒定电场 恒定电场即为加在导电介质上的静电场 因此恒定电场电场同时满足静电场的基本方程 2 电流密度 电流在空间或导电介质中的分布并不一定是均匀的 为了表示电流的分布 我们在垂直于电荷运动的方向取一个面元 S 如果通过的电流为 I 则电流密度J的值定义为 其方向为正电荷运动的方向 单位为A m2 注 电流密度是矢量 而电流强度是标量 正象流速是矢量 而流量是标量一样 它们的类比关系如 体电流密度 如果电流是在一个体积中流动的 J称为体电流密度 它与电荷的关系为 其中 为该点的电荷体密度 v是该点电荷速度的平均值 对于在体积中流过任意一个曲面S的电流为 面电流密度 在许多场合 电流仅在一个表面上流过 称为表面电流 对应的 可定义面电流密度 它与表面电荷的关系为 表面电流为 线电流 当电荷在一根很细的导线中流过时 或电荷束的横截面很小时 可考虑线电流的概念 线电流定义为 其中 是电荷运动方向的单位矢量 3 恒定电场的基本方程 1 电流连续性方程 由电荷守恒出发 在导体中任取一个闭合面S包围体积 显然 从闭合面流出的电流表示每秒从体积内穿过S到外面去的电量 由于电荷是守恒的 所以穿出闭合面的电流应等于它所包围体积内的电荷的减少率 即 利用散度定理 得到 由于积分区域是任意的 因此有 连续性方程的积分形式 连续性方程的微分形式 连续性方程是包括极化电流在内的任何电流都必须满足的性质 对于恒定电流 恒定电场中的电流 由于空间电荷的分布不随时间而变 即 从而有 2 导体的本构关系 微分形式的欧姆定律 实验指出 导体中任一点的电流密度与该点的电场强度成正比 即 称为导体的电导率 单位为S M 西门子 米 它称为微分形式的欧姆定律 由此可以导出一段均匀导线的欧姆定律 3 导体回路中的电场 与静电场不同 在恒定电场中 除非是理想导体 在导体中必须有驱使电荷运动的电场存在 考虑电荷q沿导体构成的闭合回路一周所作的功 有 在电源外部 只存在静电场 电源内的电场设为E 非静电场为E 有 从而有 根据静电场的性质 从而有 令 称为电动势 它是非保守场沿闭合路径的积分 因为电源内存在非保守场 所以当积分回路穿过电源时 总电场的积分不等于零 如果积分回路不经过电源 则有 从而可知 在电源外部的导体中 电场都具有保守性 可用电位梯度来表示 4 不同导体分界面上的边界条件 由微分形式的欧姆定律可以看出 在相同电场强度条件下 电导率不同的导体中 电流密度是不同的 因此有必要了解不同导体分界面上的边界条件 1 电流密度的法向矢量连续 证明如下 在不同导体的分界面两侧做高为h 上下面积为ds的闭合面 其中h为无穷小 如图所示 利用电流连续性方程 由于闭合面的高h为无限小 有 即 从而证得 在不同导体的分界面上 电流的法线分量连续 2 电场的切向分量连续 与证明不同介质分界面电场切向分量连续的方法相同 在不同导体的分界面两侧做长为dl 宽为h的闭合曲线 其中h为无穷小 如图所示 由于积分路径不经过电动势 因此 电场沿闭合路径的线积分为零 由此得到 3 电位的边界条件 考虑到电场与电位和电流的关系 有 4 夹角关系 由 即 和 即 以及 有 最后 讨论 电场 电流密度 与理想导体的表面垂直 恒定电场的基本方程总结 与静电场的比拟 Example2 14 两层介质的同轴电缆 介质分界面为同轴的圆柱面 内导体半径为a 分界面半径为b 外导体内半径为c 两层介质的电容率为 1及 2 漏电导为 1和 2 外加电压U0伏时 求 介质中的电场强度 分界面上的自由电荷密度及单位长度的漏电导 解 设两导体间单位长电流为I 半径r处的电流密度为J 则有 由电流连续性方程和欧姆定律 设内介质内的电场强度为E1r 外介质的内电场强度为E2r 在分界面上有 从而得到 内外导体间的电压为 代入 有 单位长度的漏电导为 电场 分界面上的电荷 1 内导体表面上的电荷密度 由于内导体是理想导体 因此有 2 外导体表面的电荷密度 3 两种介质分界面上的电荷密度 Example2 15 在一块厚为d的导电板上 由两个半径r1和r2的圆弧和夹角为 的两半径割出的一块扇形 求 1 沿厚度方向的电阻 2 求两圆弧面间的电阻 3 求圆弧方向的电阻 如图所示 先求厚度方向的电阻 解 1 设上下两面的电压为U 电流为I 显然 厚度方向截面积是相等的 电流密度是均匀的 有 则电场为 对电场沿厚度方向积分 有 由此得到厚度方向的电阻为 2 求两圆弧面间的电阻 在两圆弧面间做半径为r的圆弧面 由电流连续性原理 通过圆弧面的总电流是相等的 则在圆弧面的电流密度为 则电场强度为 对电场从r1 r2积分 有 从而得到两圆弧面间的电阻为 3 求圆弧方向的电阻 此时 电压施加在 0和 的两个面之间 如上图所示 作通过圆心 夹角为 的射线 考虑由射线和厚度d构成的平面 显然穿过平面的电流就是总的电流 值得注意的是 由于电场沿圆弧的积分 路径随半径的不同而不同 因此显然电流密度在平面上不同半径位置是不同的 也就是说 电流密度在平面上不是均匀分布的 因此不能直接由总电流求出电流密度 由于电压加在 方向 因此电压只在 方向变化 电位满足的拉普拉斯方程为 由此得到 根据边界条件 由电场与电位的关系 有 有 从而得到电流密度为 穿过横截面的总电流为 最后得到沿圆弧方向的电阻为 2 9导体系统的电容 1 电位系数与电容系数 两个以上导体的系统 称为多导体系统 设有N个导体与地构成的系统 取大地的电位为零 多导体的电量分别为 q1 q2 q3 qn 则导体电位与各导体电量之间的线形关系可写为 对上面N个方程求解 可得各导体上的电量 上式中 pij称为电位系数 它与所有导体的几何条件有关 当i j时 ij称为电容系数 当i j时 ij称为感应系数 它们都是同各导体几何条件有关的参数 可以证明 ij ji 即 感应系数具有互易性 2 多导体系统的电量与电容 当有多导体存在时 导体电量受其它导体的影响 因此在计算多导体系统中两个导体之间的电容时 就必须考虑其它导体的影响 从上式可以看出 导体1的电量是由N部分组成 其中第一部分 导体1与地之间的电压成正比 比值 是它与地之间的部分电容 第二部分 是与导体1 2间的电压成正比 系数Cii称为自电容 Cij i j 称为互电容 2 10静电能量与静电力 1 静电能量 电场的最基本特征是对静止的电荷有作用力 这说明电场具有能量 理解 积分 对 和对 得 孤立带电球的电场能为 推导过程 下一页 设电场空间的媒质是线性的 位置固定 并当系统完全建立时 最终的电荷分布为 电位为 为了分析问题的方便 假设各点的电荷密度按其最终分布的同一比例因子变化 则各点的电位也将按同一因子 变化 即 设某一时刻电荷分布为时 电位为 令 从零到1变化 则在的时间间隔中 对于d 的体积能量的增加为 设已知带电金属球的半径为a 总带电量为q 其电位是 设想 电荷q是从无穷远处一份一份地逐渐搬运到金属球上来的 在搬运过程中的某一状态时 球上电荷为xq 0 x 1 球的电位为 外力所作的功则转变为电场能 即 所以 总电场能为 返回 下一次再搬运电荷时 外力需要做功 注意这里所有的电荷都是真实电荷 引入恒等式 有 当取整个积分空间时 由于 而 从而得到 因此 第一项积分为零 单位体积的能量密度为 所以 总的电场能可表示为 用能量密度公式 再来计算带电球的电场能量 已知带电金属球的半径为a 带电量为q 则球外的电场强度为 能量密度为 球外总的电场能 与前面计算的结果一致 如图所示 半径为a的导体球和半径为C c a 的同心导体球壳 中间部分填充两种不同介电常数的电介质 它们的分界球面的半径为b Example2 16 1 求两导体间的电容 2 若内外两导体分别带有电荷 q和 q 求两层介质中所存储电场能We 并由此计算该导体系统的电容 解 1 求两导体间的电容 为便于分析 内外两导体分别带有电荷 q和 q 根据系统的球对称性 直接用高斯定律 可求出介质中的电位移分布 由此 两层介质中的电场强度分别为 于是 两导体间的电压为 所以 电容为 2 先求介质中的电场能 在上述电荷分布的情况下 介质1中的电能密度为 同样 介质2中的电能密度为 两层介质中总的电场能为 根据电容与电场能的关系式 可得到与前一样的结果 2 静电力 静电力的计算 虚位移法 原则上 带电导体之间的静电力可用库仑定律来计算 这里介绍另外一种计算方法 在力学中用物体位能的空间变化率来计算力 有时是很方使的 这便是虚位移法 1 位移过程中 带电体的电荷不变 带电系统充电后与外电源脱离 假设系统内如果某一导体因受静电力的作用引起某种位移 由于此时电源已脱离 位移所需的功应由电场能付出 即 所以 静电力等于电位能量的空间减少率 例如 一个半径为R 带电量q为常量的孤立球导体充电后与电源断开 其静电能量为 球面上总的静电力 单位面积受力 该结果可用下面的图来解释 导体表面的静电力 小块所占居的空间在没有位移前 其电场能为 位移后 该能量消失 即 单位面积受力 2 位移过程中 带电体的电位不变 为使电位不变 导体系统内各导体必须保持与外加电源相连 如果其一导体发生位移 则必然引起所有导体上的电荷量变化 故外界电源要作功 所作之功 电源提供的能量一半用于电场储能 另一半用来静电力作功 此时的静电力计算为 例如 假定半径为R的孤立导体球的电位为常数 U 总的静电能量为 故静电力 结果与q为常数时完全一致 阅读P72例题 注意电介质片所受静电力方向的物理规律 部分填充电介质的电容器 本章小结 2 静电场的基本方程为 恒定电场的基本方程 3 静电场E可用电位函数来表示 无界空间内的电位函数为 均匀导电介质没有净电荷 体电荷的电位 4 在均匀电介质中电位函数的微分方程 泊松方程 拉普拉斯方程 在满足给定边界条件的情况下 泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的 5 在不同介质的分界面上 或 电场的折射关系 在不同的导电媒质交界面上 另外 6 静电场能量 导体系统的能量为 由场变量计算的电场能 在导电媒质内恒定电场中电场储能密度为 损耗密度 功率密度 为 7 导休或介质所受到静电力可以电场能量的空间变化率 虚位移法 求出 本章作业题 ex2 6 2 9 3 3 3 4 3 5 3 9 3 12 3 13 4 3 16 3 19 3 20 3 21 3 24 3 27 3 33 3 35 根据量子理论 氢原于中心是一个带正电qe的原子核 可看成是点电荷 外面是带负电荷的电子云 在正常状态下 电子云的电荷密度分布是球对称的 例题1 a0为常数 求原子内的电场分布 设在原于内距原于核为r处的场强为E E沿径向 具有球对称性 以核为球