时间、燃料最优控制问题

1 第四讲时间 燃料最优控制问题 2 主要内容 4 1Bang Bang控制4 2线性时不变系统的时间最优控制问题4 3时间最优控制系统的综合4 4燃料最优控制问题4 5时间 燃料最优控制问题 3 问题4 1 时间最优控制问题 已知系统的状态方程 4 1 1 其中f X t t 是对X t 和t连续可微的n维向量函数 B X t t 是对X t 和t连续可微的n m维的矩阵函数 要求确定满足下列不等式 4 1 2 约束的m维容许控制向量 使系统 4 1 1 从给定的初态 4 1 3 到达满足约束条件 4 1 4 的某一终态X tf 其中tf是可变的 是对X t 和t连续可微的r维向量函数 并使性能指标达到最小值 4 1Bang Bang控制 4 1 5 4 解 1 应用最小值原理来求解 写出该问题的哈密顿函数 2 规范方程及边界条件分别为 终端受限 tf自由 5 3 控制方程为 最小值原理 4 1 6 着重分析下式 令 6 为讨论方便起见 定义m维行向量 其分量 其中bj X t t 是矩阵B X t t 的第j个列向量 即 则 7 也就是最优控制uj t 是qj t 的如下函数 由于控制函数U t 的各个分量的约束都是彼此独立的 所以可以交换最小与求和的次序 于是 可转化为如下条件 8 定义4 1若在区间 t0 tf 内 存在一时间可数集使得对所有的j 1 2 m 有则称该时间最优问题是正常的 说明 在正常的时间最优问题中 函数qj t 只是在有限个孤立的时刻取零值 相应的最优控制分量uj t 仅在这些时刻发生跳变 uj t 是具有第一类间断点的分段常值函数 由上式可知 qj t 0 则uj t 有定义 qj t 0 uj t 可取满足约束条件的任何值 uj t 不定 正常情况 奇异情况 9 10 定义4 2若在区间 t0 tf 内 至少存在一个区间 t1 t2 t0 tf 使得对所有的t t1 t2 有 则称该时间最优问题是奇异的 而区间 t1 t2 称为奇异区间 11 说明 1 只要有一个函数qj t j 1 2 m 在某一段 或几段 时间区间 t1 t2 t0 tf 上取零值 则称该时间最优问题是奇异的 在区间 t1 t2 上 qj t 等于零 此时 由关系式无法确定最优控制各分量uj t 之值 2 奇异情况的出现 既不意味着时间最优控制不存在 也不意味着时间最优控制无法定义 它仅仅表明 由控制方程不能推出最优控制U t 与X t t 和t的确切关系 12 则时间最优控制的各个分量uj t 都是时间t的分段常值函数 并在开关时间t j上发生uj t 由一个恒值到另一个恒值的跳变 上式还可以写成向量的形式 说明 定理4 1表明 一个正常的时间最优控制问题 其最优控制的每个分量uj t 均在自己的两个边界值之间来回转换 满足qj t 0的诸点t j恰好是转换点 这是一种继电型控制 通常称为Bang Bang控制或开关控制 定理4 1Bang Bang控制原理 正常的时间最优控制问题 设U t 是问题4 1的时间最优控制 X t 和 t 是相应的状态和协态 若问题是正常的 则时间最优控制U t 的各个分量uj t j 1 2 m 可以按照下列关系确定 13 控制向量受限时 非线性系统的时间最优控制问题 控制向量受限时 非线性系统的综合最优控制问题 14 4 2线性时不变系统的时间最优控制问题 问题4 2 时间最优控制问题 已知线性时不变系统的状态方程 4 2 1 式中X t 是n维状态向量 U t 是m维控制向量 A是n n维常数矩阵 B是n m维常数矩阵 设系统 4 2 1 是完全可控的 要求确定满足下列不等式 4 2 2 约束的m维容许向量U t 使系统 4 2 1 从给定的初态 4 2 3 出发 最快的转移到状态空间原点 15 解 1 写出该问题的哈密顿函数 2 规范方程及边界条件分别为 4 2 4 16 式中bj是矩阵B的第j列向量 式中 或者 3 应用最小值原理 17 定理4 2 存在性定理 对于问题4 2线性时不变系统的时间最优控制问题来说 若矩阵A的特征值均具有负实部 则使系统从任意初态转移到坐标原点的时间最优控制一定存在 若这一问题又是正常的 则该时间最优控制是唯一的 18 定理4 3 奇异性定理 当且仅当m个n n维矩阵中至少有一个为奇异矩阵时 则时间最优控制问题4 2是奇异的 当且仅当下列m个n n维矩阵均为非奇异矩阵时 则时间最优控制问题4 2是正常的 定理4 4 正常性定理 证明略 证明略 非平凡 平凡 19 说明 1 对于完全可控的线性定常系统 4 2 1 一定满足 每一个控制uj t 均能单独使系统由任意的初态在有限的时间内转移到坐标原点 容易判定所论问题是否属于正常的时间最优控制问题 状态变量的维数 由定理4 4 正常的时间最优控制问题要求 A bj 都是完全可控的 完全可控的线性定常系统的时间最优控制问题都是正常的 则 若将系统 4 2 1 表示为 2 定理4 3和定理4 4的推证过程和最后结果 均未涉及到目标集X tf 因此 不论目标集X tf 如何 只要系统是线性时不变的 定理4 3和定理4 4都是成立的 20 定理4 5 唯一性定理 若时间最优问题4 2线性时不变系统的时间最优控制问题是正常的 且其时间最优控制存在 则最优控制必是唯一的 证明略 说明 1 由证明过程可知 时间最优控制的唯一性定理同样适用于一般目标集的情况 2 问题 4 2 线性时不变系统的时间最优控制问题是问题 4 1 非线性时变系统的时间最优控制问题的一种特殊的情况 由Bang Bang控制原理可知 问题4 2的最优控制满足Bang Bang控制原理 也是Bang Bang控制 21 设线性时不变系统的最优控制问题是正常的 若矩阵A的特征值均为实数 且时间最优控制U t 存在 则控制向量U t 的分量uj t 的切换次数 j的最大值至多是n 1 即每个分段常值最优控制函数uj t 最多能切换n 1次 n是系统的阶数 定理4 6 开关次数定理 说明 1 具体的切换次数由系统特性和初始条件决定 2 若矩阵A具有复数特征值 则切换次数不受此限制 22 无法实现系统的闭环控制 说明 3 问题4 2的最优控制及其分量分别为 或 为实现系统的闭环控制 总是希望将最优控制U 及其分量uj 表示成系统状态X的函数 即得到状态反馈的控制规律 要将最优控制U 及其分量uj 分别表示成如下形式的状态反馈 或 时 称为开关曲面或切换曲面 其中 h x 是状态向量X的m维向量函数 称为开关函数 当 23 引入开关函数之后 可以对问题4 2中所给定的系统进行状态反馈的闭环控制 24 线性时不变系统时间最优控制问题小结 时间最优控制存在性的判别存在性定理简单极小值原理略微复杂但通用性强时间最优控制正常性的判别正常性定理时间最优控制唯一性的判别切换 开关 次数定理 25 4 3时间最优控制系统的综合 在本节中 只讨论单输入和单输出的一阶和二阶时间最优控制系统的综合问题 为了方便起见 又不失一般性 以下讨论中 始终假定控制函数的约束条件为初始状态为目标集为状态空间的原点 即而时间最优控制问题的性能指标为 26 4 3 1对象传递函数为的情况 对象状态方程为 27 当时 即状态x t 能回到状态空间原点 1 当初始状态x 0 x0 0时 u 1 28 2 当初始状态x 0 x0 0时 u 1状态方程的解为 当 时 x tf 0 即状态回到状态空间原点 综上分析可知 最优控制为当状态回到原点时 若u 0 则状态将继续保持在状态空间原点处 否则状态就会离开状态空间原点 29 4 3 2对象传递函数为的情况由于对象的传递函数为相应的微分方程为令状态变量为对象状态方程为 30 求解思路 1 获取时间最优控制的相关信息判断时间最优控制是否存在判断时间最优控制问题是否正常判断时间最优控制是否唯一判断切换次数2 写出可能的最优控制律3 具体分析 31 c1 0 c2 0 c1 0 c2 0 c1 0 c2 0 c10 c1 0 c2 0 c1 0 c2 0 根据确定双积分系统几种可能的最优控制 32 该问题的时间最优控制存在且唯一 最优控制只可能取u 1 并且最多切换一次 当u 1时 状态方程为相轨迹为一簇抛物线 其箭头代表状态运动的方向 在这簇抛物线中 只有曲线能到达坐标原点 33 34 当u 1时 状态方程为相轨迹也是一簇抛物线 如图虚抛物线所示 在这簇抛物线中 只有曲线能到达坐标原点 35 36 将r 和r 合并为一条曲线 记为r 该曲线方程为 且该曲线是系统由任一初态转移到原点的必经之路 37 若令和切换曲线方程 又可表示为 h x1 x2 称为开关函数 切换曲线r将状态平面x1 x2划为四部分 r r 切换曲线r以上的平面 记为R 切换曲线r以下半平面 记为R 38 1 若 x10 x20 r 则状态将沿着r 运动到达坐标原点 控制u 1 不必切换 2 若 x10 x20 r 则状态将沿着r 运动到达坐标原点 控制u 1 不必切换 39 3 当点 x10 x20 R 时 最优控制取如何选取 选取u 1 系统状态将沿着某一虚线抛物线运动 当与r 相遇时 其控制u 的取值立即由 1切换到 1 则状态将沿着r 运动到坐标原点 最优控制的取值只需切换一次 40 4 当 x10 x20 R 时 最优控制取如何选取 选取u 1 系统状态将沿着某一实抛物线运动 当与r 相遇时 若其控制u 的取值马上由 1切换到 1 则状态将沿着r 运动到达坐标原点 最优控制的取值只需切换一次 41 综上所述 可以得到最优控制的状态反馈规律为或者 42 于是 所综合的时间最优控制系统的方框图如下图所示 图中虚线部分为所设计的时间最优控制器 43 在最短时间控制函数u 作用下系统的性能指标J tf取最小 这时的最小转移时间与 x10 x20 在相平面的位置有关 1 x10 x20 处于r 上时 u 1 则状态方程的解为令且解得 求解tf 也即J 44 2 x10 x20 处于r 上时 u 1 则状态方程的解为令且解得 45 3 x10 x20 处于R 上时 u 1 1 E为切换点 将其分为两段 u 1 状态方程的解为u 1 状态方程的解为 46 4 x10 x20 处于R 上时 u 1 1 47 4 3 3对象传递函数为的情况 48 求解思路 同上例 1 获取时间最优控制的相关信息判断时间最优控制是否存在判断时间最优控制问题是否正常判断时间最优控制是否唯一判断切换次数2 写出可能的最优控制律3 具体分析 49 求解思路 同上例 3 具体分析 1 当u 1时 写出状态方程 画出相平面轨线 可得到一簇轨线 为什么 从中找到使得x tf 0的轨线r 2 当u 1时 写出状态方程 画出相平面轨线 从中找到使得x tf 0的轨线r 3 合并 得 写出开关函数h x 切换曲线r将状态平面x1 x2划为四部分 r r 切换曲线r以上的平面h x 0 记为R 切换曲线r以下半平面h x 0 记为R 50 求解思路 同上例 4 分四种情况讨论 x10 x20 处于r 上 x10 x20 处于r 上 x10 x20 处于R 上 x10 x20 处于R 上 并从中总结出最优控制 取决于系统初态 5 求出tf 51 时间最优控制系统的方框图如图所示 图中虚线部分是时间最优控制器 52 4 3 4对象传递函数为的情况由于对象的传递函数为所以 其相应的微分方程为若令则状态方程为 为了便于分析 进行如下的状态变换 于是 状态方程重写为 53 在阶跃干扰作用下的时间最优控制问题 综合 设计 问题 传递函数为的对象 y 输出变量 u 控制变量 w 外界的阶跃干扰作用 控制函数的约束条件为 时间最优控制问题的性能指标为 初始状态为 目标集为状态空间的原点 即 4 3 5对象传递函数为的情况 54 时间最优控制系统方框图如图所示 图中虚线部分是时间最优控制器 在时间最优控制器中多了一个积分环节 为了克服阶跃干扰 达到无偏差调节 在调节器中包含积分环节是必要的 这一点与经典自动调节理论是一致的 55 4 3 6对象传递函数为的情况传递函数为的控制对象 其方框图如图所示 y 输出变量 u 控制变量 w 外界的阶跃干扰作用 56 设 则假设 所受的约束条件为将原问题化为以 为控制变量 以为对象方程的时间最优控制问题 由此得对象的微分方程为 则对象的状态方程为 令 57 于是 最优控制的反馈规律为 切换曲线r为 开关函数 即 58 时间最优控制系统的方框图如图示 图中虚线部分是最优控制器 59 通用时间最优控制器对所设计的时间最优控制器的参数进行适当的调整 以便适应不同控制对象的要求 从而使时间最优控制器具有某种通用性 在工业生产过程中 有相当一部分控制对象可以看成是 或近似是 一阶惯性环节 即控制对象的传递函数为若系统受到的干扰 按阶跃干扰作用考虑 时 则由上一例可知 开关函数为 最优控制的反馈规律为 60 为了解决这个问题 将切换曲线反解出若令开关函数为则时间最优控制可表示为 由于是的函数 而不能直接获得 只能通过对y的微分得到 这就使得非线性函数发生器的精度变低 61 这时 时间最优控制在切换曲线上切换 由 0变成 0 或者由 0变成 0 而对于控制u 则有为了使时间最优控制器具有通用性 令开关函数为通过调整参数 和 来改变切换曲线的位置和形状 以便适应不同控制对象的要求 从而使这些控制系统达到时间最优控制或近似时间最优控制的目的 62 说明 在通用时间最优控制器中的参数 和 均可进行适当的调整 以便适应不同控制对象的要求 一般来说 和 较小时 系统容易稳定 但静 动态特性可能差些 故开始时 和 可取小些 逐渐增大 以便达到良好的效果 通用时间最优控制系统方框图如图所示 图中虚线部分是通用时间最优控制器 63 4 3 7简谐振荡器的快速停振问题 存在恢复力时无阻尼运动的时间最优控制 理想简谐振荡器如图所示 假设它处于等幅振荡状态 即稳态 现在对其施加控制电压信号 使振荡器在尽可能短的时间内停振 理想简谐振荡器的状态方程为 L 1 C 1 运动方程为 64 控制函数的约束条件为 时间最优控制问题的性能指标为 初始状态为 目标集为状态空间的原点 即 对其施加控制电压信号 使振荡器在尽可能短的时间内停振 简谐振荡器的快速停振问题 时间最优控制问题 线性系统 65 分析 1 时间最优控制的存在性 2 时间最优控制是正常 奇异的 3 时间最优控制的唯一性 4 时间最优控制的切换次数 特点 状态方程中转移矩阵的特征值都是虚数 66 说明 u切换的时刻取决于过零的时刻 切换次数没有上界u取 1和 1的持续时间皆为 只在首尾两段的持续时间小于或等于 67 1 u 1时 简谐振荡系统的相轨迹 68 2 u 1时 简谐振荡系统的相轨迹 69 3 基本开关曲线 70 4 获得开关曲线 O2 Q O 1 O1 O3 A 71 4 获得开关曲线 Q W Q 72 开关曲线的总体为 或者 73 将相平面划分为两区域 一为切换曲线 下方的区域R 一为 上方的区域R R R 74 1 中任一点A时 最优控制序列为u 1 1 1 1 任何其它控制序列都不能将系统达到原点 而只会使之偏差愈远 2 中任一点B时 最优控制序列为u 1 1 1 1 3 是基本开关曲线上的点时 u 等于 1或者 1 75 简谐振动器的时间最优控制系统框图 F F 闭环最小时间控制规律为 76 4 4燃料最优控制问题 控制过程所消耗的燃料总量为 uj t m维控制向量U t 的第j个分量 cj 正的比例系数 为了保证控制过程最省燃料 将控制过程所消耗的燃料总量作为性能指标 即 77 问题4 3已知系统的状态方程 双积分模型 求满足如下约束条件的容许控制u t 使系统自任意初态 1 2 转移到状态空间的原点 0 0 且使性能指标为最小 假定终端时刻tf是自由的 78 要使哈密顿函数H达到最小值 视u t 和 2 t 取值不同 分以下几种情况讨论 1 当u t 0时 哈密顿函数H为 解 控制作用u t 受闭集约束 而且性能指标中的被积函数对u t 不是处处可微的 所以应用最大值 或最小值原理 求解 该问题的哈密顿函数为 79 综上讨论 要使哈密顿函数H达到最小值的最优控制应满足的条件为 2 当u t 0时 哈密顿函数H为 写成如下简洁的形式 80 其中死区函数a dez b 定义如下 说明 由能否确定最优控制u t 完全取决于函数 2 t 的性质 与时间最优控制问题相类似 根据 2 t 的不同情况 燃料最优控制问题也可以区分为正常与奇异两种情况 81 若在时间区间 0 tf 内 只在有限个点上满足 2 t 1 则问题为正常情况 在正常情况下 最优控制u t 可取 1 0 1三个值 随着时间的增加 u t 在这三个值之间转换 所以这种控制是一种三位控制或砰 零 砰控制 控制量在 2 t 1的点上发生切换 82 若至少存在一时间间隔 t1 t2 0 tf 在其上满足 2 t 1 则问题属于奇异情况 对于奇异情况 在奇异区间 最优控制u t 之值不能由最大值原理求得 83 若问题4 3 双积分系统的 的燃料最优控制是正常的 最优控制u t 可取 1 0 1三个值 为确定最优控制律 采用如下分析 1 根据确定双积分系统几种可能的燃料最优控制 84 c1 0 c2 0 c1 0 c2 0 c1 0 c2 0 c10 c1 0 c2 0 c1 0 c2 0 结合上一节分析 85 b c10 86 当c1 0时 有它是时间的线性函数 且最多有两个点满足 2 t 1最优控制u t 必是三位控制 并且最多有两次转换 下列九种控制序列是燃料最优控制的候选者 即 87 为确定最优控制律 采用如下思路分析 1 当u 1时 状态方程为 相轨迹为一簇抛物线 其箭头代表状态运动的方向 在这簇抛物线中 只有曲线 能到达坐标原点 88 2 当u 1时 状态方程为 相轨迹也是一簇抛物线 如图虚抛物线所示 在这簇抛物线中 只有曲线 能到达坐标原点 89 将r 和r 合并为一条曲线 记为r 该曲线方程为 90 3 当u 0时 状态方程为 相轨迹如图所示 其箭头代表状态运动的方向 91 两个问题 1 控制律能否按照如图所示切换 2 若系统状态转移至横轴 能否停车 让系统沿x1轴滑行至原点 92 九种燃料最优控制的候选控制序列中其中 不可能是最优控制 因为若最后控制u 0 系统的相轨迹是x1轴上的孤立的点 无法到达状态空间原点 可供选择的最优控制只剩下六种 93 曲线r及坐标轴x1将状态平面x1 x2分成以下四个区域 当初始状态处于不同区域时 燃料最优控制问题的解将大不相同 94 1 当初始状态 1 2 位于曲线r 上 则u 1是唯一的燃料最优控制 2 当 1 2 位于曲线r 上时 只有控制序列 1 才能使系统由 1 2 转移到 0 0 95 3 初始状态 1 2 位于R4内 1 2 R4 则六种控制序列中 只有u 1 0 1 和u 2 1 0 1 能使状态转移到坐标原点 96 说明 为了判断究竟哪个是最优控制 尚需计算并比较相应的燃料消耗量 对于所论的问题 一个方便的方法是求出消耗量的下限 那些既满足必要条件 燃料消耗量又少的控制自然就是最优控制 燃料消耗量的下限 由此可知 u 1 0 1 是满足必要条件且消耗燃料最少的最优控制 97 4 当初态 1 2 R2时 也有类似的结论 u 0 1 是满足必要条件且消耗燃料最少的最优控制 98 5 初始状态 1 2 R1 99 由上式可知 这种控制序列所消耗的燃料总大于 2 因此 它不是燃料的最优控制 当初始状态 1 2 位于区域R1内时 燃料最优控制问题无解 说明 u 1 0 1 虽然不是最优控制 但是 当 足够小时 过程所消耗的燃料已经接近最小燃料消耗 2 这种情况有时称为 燃料最优问题 燃料最优问题的最优解虽然存在 但是 由C点到D点的状态转移时间却是很长的 100 6 当初始状态 1 2 R3 也有同样的结论 101 综上所述 问题4 3的燃料最优控制律 说明 若 x1 x2 R1 R3 则不存在燃料最优控制 燃料最优问题 虽存在最优解 但转移时间太长 若问题4 3的燃料最优控制问题是奇异的 自学 102 4 5时间 燃料最优控制问题 在性能指标中增加时间的加权项 即其中 0称为加权系数 体现对响应时间的重视程度 若 0表示不计时间长短 只考虑节省燃料 当 表示不计燃料消耗 只求时间最短 在燃料最优控制问题中 仅仅从节省燃料考虑 因此才在控制过程中采取停车依靠惯性滑行的策略 这是以牺牲时间为代价的 时间 燃料最优控制问题 用目标函数折中考虑时间与燃料 103 问题4 4已知系统的状态方程 双积分模型 求满足如下约束条件的容许控制u t 使系统自任意初态 1 2 转移到状态空间的