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文档简介

1,第四章 定 积 分,习 题 课,小 结,典型例题,2,特殊形式的定积分计算,1. 对称区间上的积分,考察被积函数是否为奇偶函数,注意,用奇偶函数,的“特性”处理.,2. 分段函数的积分,认清积分限是被积函数定义域的哪个区间,的端点,然后按段积分求和.,3. 被积函数带有绝对值符号的积分,在作积分运算之前设法去掉绝对值.,(注意符号!),4. 被积函数中含有“积分上限的函数”的积分,用分部积分法做,将积分上限的函数取作u.,3,1. 重点掌握,Newton-Leibniz公式,注意被积函数的连续性,2. 重点掌握积分上限函数的求导定理,3. 重点掌握定积分的计算,4. 会求反常积分,5. 证明恒等式,用换元法或中值定理,证明不等式,Cauchy-Schwarz不等式,比较性或中值定理,或转化为变上限的定积分,4,例1 证明:,则,提示:,5,例2,设非负函数,上连续且单调增加,证明:,方法一: 用定积分的比较性质,6,方法二: 用第一积分中值定理,不变号,不变号,7,方法三: 化为变上限的定积分,考虑,的单调增加性,8,方法四:,对,有,上式中,先让t从a到b积分,再让x从a到b积分,即可,9,例3 设,证明:,其中,提示:,10,例4 若,是连续的周期函数,周期T0,则,例5 若,利用N-L公式,11,例6,解,则,12,因为,时,所以,利用夹逼准则得,例7,解,13,因为,依赖于,且,下列做法对吗?,利用积分中值定理,原式,例,思考,思考证明:,提示：,14,练习,1. 证明:,2. 设,证明:,3. 设,证明:,以上利用C-S不等式,15,4. 证明:,5. 设,求,6. 求,7. 求,分部积分,广义积分,16,8. 设,求,9.,求,17,10. 设,证明:,11. 设,上单调减少,则对,有,12. 设,上的最大值,证明:,再用C-S公式,18,13. 设,上的最大值,证明:,14. 设,上有连续导数,证明:,再两边积分,19,15. 设,证明:对于,16. 设,连续,且适合,证明:,20,17. 设,证明:至少存在,使得,21,18. 设,证明:至少存在,使得,19. 设,且适合,求,22,20. 计算,21. 设,其中,求,22. 设,23,23. 设,证明:至少存在两个不同的点,使得,提示:,考虑其原函数的三个零点.,24,24. 设,证明:至少存在一点,提示:,25,作业,总习题四 (247页
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