要点第1章-函数、极限、连续

第一章第一章 函数 极限 连续函数 极限 连续 一 极限的概念与性质一 极限的概念与性质 一 极限的定义 一 极限的定义 正整数正整数 当当时 有Axn n lim 0 NNn Axn 若存在极限 有限数 有称收敛 否则称发散 极限收敛极限收敛 n x n x n x 正数正数 当 当时 有Axf n lim 0 XXx Axf 函数收敛函数收敛 无穷极限无穷极限Axf n limAxf n lim 正数 当 有 函数点极限函数点极限Axf xn lim 0 0 0 0 xx Axf 二 极限的基本性质与两个重要极限 二 极限的基本性质与两个重要极限 1 数列极限极限的基本性质 极限的不等式性质不等式性质 设 若 则 axn n limbyn n limba 时 有 当NnN nn yx 若时 则Nn nn yx n yba 收敛数列的有界性有界性 收敛必有界收敛必有界 设数列收敛 则数列有界 即存在常数大于 0 使 n x n xMMxn 2 函数函数极限的基本性质 函数极限的不等式性质不等式性质 设 Axf xn lim 0 Bxg xn lim 0 若 则存在大于 0 当 BA 0 0 xx xgxf 若存在大于 0 使得当有 则 0 0 xx xgxf BA 函数极限的保号性保号性 设 若大于 0 则存在大于 0 当时 大于 0 Axf xn lim 0 A 0 0 xx xf 若存在大于 0 使得当有 则 0 0 xx 0 xf0 A 存在极限的函数局部有界性函数局部有界性 设存在极限 则在的空心领域内有界 Axf xn lim 0 xf 0 x 0 0 xx 即存在大于 0 大于 0 使得时 在一个区间范围内在一个区间范围内 M 0 0 xx Mxf 3 数列极限与函数极限的关系关系 若 则Axf x limAnf n lim 若 且 则Axf xx lim 0 0 limxxn n 0 xxn Axf n n lim 4 4 两个重要的极限两个重要的极限 1 sin lim 0 x x x e x x x 1 1 lime n n n 1 1 limex x x 1 0 1 lim 二 极限存在性的判别二 极限存在性的判别 一 夹逼定理 若存在 使得当时 有 且 则 数列无穷情况数列无穷情况NNn nnn zxy azy n n n n limlimaxn n lim 若存在 使得当时 有 又 则0 0 0 xx xgxfxh Axgxh xxxx lim lim 00 lim 0 xf xx A 函数区间点情况函数区间点情况 二 二 单调有界单调有界数列必必收敛收敛定理定理 若数列单调上升有上界单调上升有上界 即 并存在一个数 使得对一切的有 则 n x nn xx 1 2 1 nMnMxn 收敛 即存在一个数 且有 n xaaxn n limaxn 若数列单调下降有下界单调下降有下界 即 并存在一个数 使得对一切的有 则 n x nn xx 1 2 1 nmnmxn 收敛 即存在一个数 且 n xaaxn n limaxn 的部分数列和是 故数列的敛散性与级数的敛散性相同 1 n nn xx 11 xxn n x 1 1 n nn xx 三 三 单侧极限单侧极限与与双侧极限双侧极限的关系的关系 注意分段函数分段函数 左右极限都存在Axf xx lim 0 Axf xx lim 0 Axf xx lim 0 四 证明一元函数 四 证明一元函数的的极限不存在极限不存在常用的两种方法常用的两种方法 xf 方法 1 左右极限至少有一个不存在至少有一个不存在 或者左右不相等左右不相等 方法 2 运用数列极限数列极限与函数极限函数极限的关系 不存在不存在或不一致不一致 三 求极限的方法三 求极限的方法 一 运用极限的四则运算与幂指数运算法则求极限 一 运用极限的四则运算与幂指数运算法则求极限 幂指数要判断与 0 1 的关系00 有界函数 有界函数 lim xg ax xf 二 利用 二 利用洛必达法则洛必达法则求未定式的极限求未定式的极限 洛必达的定义要掌握好洛必达的定义要掌握好 形可以要运用洛必达法则 其他形式 其他形式 0 0 可以化为这两种形式两种形式 与 0 0 0 0 1 0 在的空心邻域可导空心邻域可导 0 lim lim xgxf axax 或 xf xgax 0 xg 则 但是但是不存在 不能判定不存在 lim xg xf ax A lim xg xf ax A lim xg xf ax lim a xg xf x 如果 的未定式是 1 lim xg xf 1 lim ln lim lim xfxgxfxgxg eexf 三 利用 三 利用函数的连续性函数的连续性求极限求极限 设在连续 按定义则有 xfax lim ax afxf 四 利用 四 利用变量替换法变量替换法和和两个重要极限两个重要极限求极限求极限 若 0lim 0 xx x Ax 0 xx lim A x x ex 1lim 0 xx 五 利用 五 利用等价无穷小因子等价无穷小因子替换求极限替换求极限 1 只能在极限的乘除运算中乘除运算中使用等价无穷小因子替换 不能随意在极限的加减运算中使用不能随意在极限的加减运算中使用 2 除了熟练运用等价无穷小因子替换外 还要运用等价无穷小的传递性质无穷小的传递性质 运算运算性质 并结合洛必达法则洛必达法则 变变 量替换量替换 还原法 简化计算过程 六 分别求左右极限求得函数的极限 六 分别求左右极限求得函数的极限 如 要分别分别求得左右极限左右极限求得函数极限 可能左右不相等可能左右不相等的情况0 x x e 1 x 1 arctan 七 七 利用函数极限求数列极限利用函数极限求数列极限 AxfxAxf lim lim n n n x 有则 八 用适当放大缩小法求极限 八 用适当放大缩小法求极限 1 简单得放大缩小手段 如个正数之和不超过其中最大数最大数乘以 不少于其中最小数最小数乘以 nnn 分子分子与分母分母同为正数 把分母分母放大则分数值缩小 若干个正数的乘积乘积中 把小于小于 1 1 的因子的因子略去则乘积放大 把大于大于 1 1 的因子的因子略去则乘积缩小 2 利用极限的不等式极限的不等式性质进行放大或缩小 3 对积分的极限积分的极限可利用积分的性质进行放大或缩小 九 递归数列极限的求法 九 递归数列极限的求法 1nn afa 方法 1 先证数列先证数列收敛 单调有界收敛 单调有界数列必收敛 然后设 n a lim n n AfAAx 方法 2 先设 对递归方程取极限后解得 再用某种方法证明Ax n nlim AAx n nlim 对于任意数列对于任意数列 若满足 若满足 则有 则有 n aAakAa nn 1 10 kAa n nlim 对于任意数列 奇数项极限 偶数项极限奇数项极限 偶数项极限 n xAxxAx 12n n 2n n n n limlimlim 十 利用导数定义求极限 十 利用导数定义求极限 十一 利用泰勒公式求未定式的极限 十一 利用泰勒公式求未定式的极限 四 无穷小及其比较四 无穷小及其比较 一 无穷小与无穷大的定义 一 无穷小与无穷大的定义 1 若 则称数列为无穷小 记为记为0lim n n x n x 1 n x 2 若 则称时为无穷小 记为 0 lim 0 xf xx 0 xx xf xf 1 二 无穷小的有关性质 二 无穷小的有关性质 1 无穷小与极限的关系 0 lim lim 00 xxxx xxAxfAxf 其中 2 无穷小于无穷大的关系 无穷小无穷小 不为零不为零 的倒数为无穷大的倒数为无穷大 无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小 3 无穷小的运算性质 有限个无穷小有限个无穷小的代数和代数和为无穷小 有限个无穷小的乘积乘积是无穷小 有界变量有界变量与无穷小的乘积无穷小的乘积是无穷小 无穷大不具备无穷小的运算性质 无穷大的运算无穷大的运算通常转化为无穷小转化为无穷小运算 三 无穷小阶的概念 三 无穷小阶的概念 l x x xx lim 为无穷小 极限 1 若则称与在该极限过程中为同阶同阶无穷小 0 l x x 2 若则称与在该极限过程中为等价等价无穷小 1 l x x x x 3 若比高阶高阶 0 l x x 若不存在不存在 则 不可比较不可比较 若 为的的阶无穷小阶无穷小 lim x x x x 0 lim l x x k x x k 四 等价无穷小的重要性质 四 等价无穷小的重要性质 1 且 xxxx 存在 x x lim x x x x limlim 2 等价无穷小的传递性等价无穷小的传递性 xxx 五 常见的等价无穷小 五 常见的等价无穷小 当当若 则0 x xxf 0 x xf 1 e x x x sin lim 0 x x x 1 1 limxx sinxx arcsin 6 sin 3 x xx x n x 1 11 n xx tan 2 2 1 cos1xx xex 1 3 tan 3 x xx xx 1ln axaxln 1 x a x a ln 1 1 log xx 1 1 1ln 2 xx x 当当 善于运用 善于运用多运用多运用1 xf1 ln xfxf 六 无穷小阶的比较与确定无穷小阶的方法 六 无穷小阶的比较与确定无穷小阶的方法 1 无穷小阶的比较无穷小阶的比较 是确定同阶同阶 等价等价或高阶高阶的最基本方法最基本方法 lim xg xf ax 2 确定无穷小阶确定无穷小阶的方法 如何确定是的几阶无穷小0 lim xf ax xfax 方法 1 洛必达法则 A ax xf k ax lim 方法 2 利用等价无穷小等价无穷小 方法 3 利用泰勒公式泰勒公式 方法 4 利用无穷小阶的运算性质 阶无穷小 又 当ax mnaxxx阶与的分别是 0 lim Axh ax 1 的的阶无穷小阶无穷小 axxhx是 n 2 的的阶无穷小阶无穷小 axxx是 mn 3 当 当当 的阶无穷小 的阶无穷小mn x axx 是 max x x 是 mn 五 函数的连续性及其判断五 函数的连续性及其判断 一 一 连续性定义连续性定义 1 若 则称在点点处连续处连续 lim 0 xx 0 xfxf xf 0 x 2 若 则称在点处连续 0 lim 00 0 x xfxxf xf 0 x 3 则称在点处连续 00 00 xfxfxx 恒有 使得当 xf 0 x 4 左连续 右连续左连续 右连续 5 开区间任一点连续 开区间连续 ba 6 端点连续 闭区间连续 7 在点处连续 在点左右连续左右连续 xf 0 x 0 x 二 间断点的定义与分类间断点的定义与分类 设在点的空心领域有定义空心领域有定义 且 不是的连续点的连续点 则称是的间断点间断点 xf 0 xx 0 x xf 0 x xf 第一类第一类间断点 左右极限左右极限均存在 相等相等为可去可去间断点 不等不等为跳跃跳跃间断点 第二类第二类间断点 左右极限至少有一个不存在至少有一个不存在 左右至少有一个为无穷大至少有一个为无穷大 无穷无穷间断点 三 判断函数的连续性连续性和间断点间断点的类型 1 连续性的四则运算法则 都连续 2 复合函数的连续性 3 3 反函数的连续性 连续且具有相同的单调性 反函数的连续性 连续且具有相同的单调性 六 连续函数的性质连续函数的性质 一 连续函数的局部保号性质 局部保号性质 设在点处连续 且大于 0 或小于 0 则存在大于 0 当 大于 0 或小于 xf 0 xx 0 xf 0 xx xf 0 二 有界闭区间上连续函数的性质 1 连续函数介值定理介值定理 设在上连续连续 则对与之间的任何数任何数 必存在必存在 xf ba af bf af bf 使得 bac cf 2 连续函数零点存在性定理零点存在性定理 设在上连续 连续 异号异号 存在点 xf ba af bf bac 0 cf 同时考虑善用函数的奇偶性奇偶性 单调性单调性 周期性 零点个数的问题周期性 零点个数的问题 3 有界闭区间上有界闭区间上的连续函数的有界性 设在上连续 则在上有界 即存在常数大 xf ba xf ba M 于 0 使得 Mxf 4 有界闭区间有界闭区间上连续函数存在最大值最大值与最小值最小值 三 方程式根的存在性 连续函数介值定理的应用 常考题型及其解题方法与技巧常考题型及其解题方法与技巧 求型或型未定式未定式的及极限极限 求或型未定式的极限 求指数型 求 0 0 0 未定式的极限 01 0 0 含变限积分变限积分的不定式的极限不定式的极限 由极限极限确定函数式中的参数参数 求含参变量的极限参变量的极限 求项和数列项和数列的极限 利用函数极利用函数极n 限求数列极限限求数列极限 无穷小的比较穷小的比较和无穷小的阶无穷小的阶的确定 讨论讨论函数的连续性连续性与间断点间断点的类型 有关连续性性质连续性性质的命题 时要想到换元换元 或提公因子 令 0 进一步化简 x x 1 a x x 1 求极限遇到要联想到平方差公式去根号要联想到平方差公式去根号 ba 善于运用的形式 再运用等价无穷小再运用等价无穷小 J e 当遇到当遇到 时 要联想到与与 1 之间的之间的关系 当遇到 与与 1 之间的之间的关系 n x nx n x2 nx 当 0 时 运用 运用导数定义获得极限的运用导数定义获得极限的形形式 结合等价无穷小等价无穷小 洛必达法则洛必达法则求极限 0 f x xf f x lim 0 0 求极限可运用求极限可运用夹逼定理夹逼定理 善于缩小放大bxa n 数列与函数之间的关系数列与函数之间的关系 先化解数列形式引入函数先化解数列形式引入函数 难点 判断单调性 判定值域范围难点 判断单调性 判定值域范围 xf 3 2 1 0 0lim 3 2 1 nxxnnfx nn n n 且则 数列数列单调递减单调递减 且 且全为非负全为非负 则 则数列有极限数列有极限 求极限时 可设极限为 求极限时 可设极限为 代入计算 代入计算a 单调判断方式单调判断方式为为导数法导数法或或比较法比较法1 1 n n x x 求极限过程中 把可以化为常数项常数项的归类放边归类放边 的极限的极限通常采用通分通分 换元换元 提公因子提公因子 化成积或者商的形式化成积或者商的形式 洛必达法则洛必达法则 常数项归边常数项归边的方法 当 判断为的多少阶无穷小 用0 x xfx n x xf 极限中求常数时 要考虑分类讨论分类讨论的情况 要判断分子分子或分母分母是否符合洛必达法则的条件 求存在积分的极限过程中 对积分的换元 变限要注意求存在积分的极限过程中 对积分的换元 变限要注意 求极限过程中 对于已给出某点函数值已给出某点函数值或导数值导数值时 优先采用导数的定义导数的定义求极限再考虑洛必达再考虑洛必达 x fxf x 0 lim 0 法则 以免没有考虑不可导的情形 也就是说 当求极限里边有法则 以免没有考虑不可导的情形 也就是说 当求极限里边有时候 要考虑不可导的情形 就要凑形式 xf 注意当时 化简时正负号的变化问题化简时正负号的变化问题 x 求方程求方程的根的时候 转化为 0 的形式 xgxf xgxfxF 当已知两端点的值 求中间存在一根时 注意函数的形式 采取相加或相减消元当已知两端点的值 求中间存在一根时 注意函数的形式 采取相加或相减消元 当单调下降 则单调上升 xf xff 难题难题 当 0 时 1 当不等于 0 时 等于 0 arctancoslim 2 x n n x arctancoslim 2 x n n x 2 1 ln 1 1 1lim x e xx x x x n 2 1 ln 1 x x x 2 2 sin 2 sin1ln 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 limlimlimcoslimcoslim eeee nn n n n n n n n n n n n n n 0 1 lim 21 lim 12121 lim 0 lim 1 nk M n M k MMM n M n M k M k M k MMM M n M k nnn n n 为常数 2 2 02 2 020 1ln 1ln lim 1ln 1ln 1ln 1ln lim 1ln 1 1ln 1 lim x xxx xxx xxx x xx xxx 2 2 0 2 2 2 0 0 2 2 0 0 0 0 2 0 2 lim 2 2 lim 2 2 lim lim 2 x xf x xf x xf x xf x xf x dttf xxf xfxdttfx dttf dttfx x x x x x x x x 2 lim 2 lim lim lim 0 0 0 0 0 0 1 0 2 0 2 0 22 xxgxg xxf xxgduug xxf duugx duuf dtxtgx dttxf x x x x x x x x 2 11 lim 1ln lim2 1ln lim 0 2 0 2 0 x xf x xxxxxf x xxxf xxx 1 1 lim 1 1 lim 1 x x x x x x x e x ee x x x 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 sin lim2 1 lim 2cos lim x x x x x x dt t t dt t dt t t 1 2 coslim 1 1 2 cos lim 2cos1 lim 1 1 222 xx x x dt t t x x x xx 已知 求常数 求常数与与的值 分类讨论 思路清晰 的值 分类讨论 思路清晰 1 1ln 1 lim 02 3 22 0 x x dt ta t xbx w0 ab 解设解设 当 当大于大于 0 时 时 在上连续 当等于等于 0 时 时 在有定义 且 2 3 xa x xf a xf a xf0 x xf 补充定义 连续 从而当时时可导xx0 0 f xf0 a x dttf 0 当 0 a 10 1 1 1 lim 2 1 1ln 1 lim 2 2 002 3 22 0 b b bxb xx dt ta t xbx w x x x 当当 a0 a 1 2 1 10 1 lim 2 1 1ln 1 lim 2 2 002 3 22 0 b a b bxb x a dt ta t xbx w x x x 已知数列 25 证明它有极限 并求其极限 n x 0 x n x 1 arctan n x 设 则 小于 0 单调递减 数列单调递减 对于每个 都有大于 0 因xxxf arctan 0 0 f xfn n x 此极限存在 0axn n limaaarctan a 设数列由递推式 其中大于 0 为常数 是任意正数 试证 n x 2 1 1 1 n nn x a xx 3 2 1 na 0 x 存在 并求此极限 因为 因此 因此有极限 n n x lim 2 1 1 1 n nn x a xx n xa 1 1 2 1 2 11 nn n x a x x axn n lim 设函数在连续 且对任何总存在 使得试证明存在 xf ba bax bay 2 1 xfyf ba 使得 反证法 相矛盾 反证法 相矛盾 0 f 若存在上处处不为零 则在上恒正或恒负 不失一般性 可设在恒正 于是 ba xf xf ba xf ba 存在使得 由题设条件 对此存在使得 bax 0 0 min 0 xfxf ba 0 x bay 与是最小值矛盾 因此存在使得 2 1 2 1 0 xfxfyfyf 0 xf ba 0 f 设函数在连续 则以为周期的周期函数 求证方程在任何长度为的闭 xf T0 2 T xfxf 2 T 区间至少有一个实根 考虑闭区间 做辅助函数 则 a 2 T aa 2 T xfxfxF 2 T afafaF 由于的周期性 有 因此方 xf 2 2 2 aFaf T afaf T af T aF 0 2 aF T aF 程在任何长度的闭区间至少有一个实根0 2 T xfxf 2 T 4 4 42 20 2 4 2lim 13lim 3 4 1 48