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文档简介

复变函数复习,2005.4.13,一、内容,复数的定义和代数；,复函数的定义和代数；,复函数的分析理论：微分和积分；,中心：解析性可导性,解析函数：定义域中可导函数,必要条件：满足柯西黎曼方程,积分：柯西定理（积分路径只要不经过奇点， 可以连续变形）,复函数的泰勒展开（在解析点的展开）,复函数的洛朗展开（奇点邻域的展开） 技巧：利用泰勒展开,留数定理；,留数的求法，留数定理求实函数的积分；,傅立叶级数；,傅立叶积分变换；,拉普拉斯变换；,复数项级数、复变项级数、幂级数,复数的定义和代数,复函数的定义和代数,复函数的分析理论：微分和积分；,解析函数,柯西定理,泰勒展开,洛朗展开,留数定理,留数的求法,求实函数的积分,傅立叶变换,拉普拉斯变换,相互关系,柯西公式,级数,幂级数,二、细节,1. 复数的定义和代数,复平面,2.复函数的定义和代数,E ：定义域（复平面上）,复函数,有关概念,邻域,内点,外点,境界点,境界线,区域,闭区域,E:,3. 分析理论,导数,可能有方向性！,在一点的可导性：导数与方向无关,柯西黎曼方程,柯西黎曼方程,调和函数,相互共轭：已知一个，可以求出另一个,例：,求 u,选坐标系：,直角坐标,？,极坐标,全微分,4. 柯西定理,在某闭区域解析的函数，它沿此区域边界的积分为零,积分路径只要不经过奇点， 可以连续变形,公式：,柯西公式,例：求积分,圆心在0的圆，-i 在其中,路径的正方向,5. 级数,复数项级数,收敛、绝对收敛、级数的运算与收敛性有关,两个绝对收敛的和，积，仍绝对收敛,例：正误：,方法1,方法2,5. 级数,复变项级数,此级数并不绝对收敛，上述运算无意义！,收敛、一致收敛、绝对一致收敛,例,解,绝对一致收敛,幂级数,收敛的达朗贝尔判据,绝对收敛,收敛圆,例,若,收敛,证,与它有同样收敛半径,证：,：,：,泰勒展开（在解析点）：,与实函数展开无技术上区别,例：在z=0展开,在z=0解析,待定系数法,待定系数法：设,又,为待定系数,则,洛朗展开（奇点邻域的展开）,技巧：利用泰勒展开,例：,在,的洛朗级数,6. 留数定理,留数的计算,单极点,m 阶极点,留数,例,的奇点的类型,令,无穷负幂本性奇点,例,的留数,实函数积分,类型一,类型二,类型三,6. 积分变换,傅里叶级数,基础：周期函数的傅里叶展开,扩展,奇函数和偶函数,有限区间中的函数,复数形式,奇、偶延拓,展开系数,三角函
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