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第二章 复变函数的积分,定义沿曲线 的积分为极限,2.1 积分,性质：,常数因子可以移到积分号外。函数的和的积分等于各函数积分之和，反转积分路径，积分反号，全路径上的积分等于各段上积分之和。,或,可看作实矢量场的积分,沿 y=x,沿,柯西定理,由于复变函数可以看作平面上的实矢量场，它的积分可以应用实矢量场的积分来研究闭路 l 上的积分,连续，且,同理,连续，且,在 S,这两个条件就是柯西黎曼公式。因此,柯西定理：在某闭区域解析的函数，它沿此区域边界的积分为零。,奇点,复变函数不可导的点。,孤立奇点,复变函数在其有限小邻域可导的奇点。,含孤立奇点的区域，可将其每个奇点的有限小邻域挖掉，使原区域变为复通区域,在 A 围成的区域中含 的孤立奇点 ，引入曲线 将此奇点挖掉， 余下的区域（复连通区域）中解析。,由柯西定理,或,又,与 方向相反，但与 方向相同。,2.2. 柯西定理,闭单通区域上的解析函数沿境界线的积分为零。闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方向的积分和为零。闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时钟方向的积分等于沿所有内境界线逆时钟方向的积分的和。,固定起点和终点，积分路径的连续形变不改变积分,并且,整数,一个公式,全平面解析，积分,只与起、终点有关。改沿实轴,2.3 不定积分,由柯西定理，在单通区域，解析函数沿任意路径的积分只与起点与终点有关。于是在这样的区域中，任意选取两点作起点和终点，唯一确定了复变函数的一个积分值。或者说，对于固定起点 ，积分,是积分上限 的单值函数。并且可以证明这是解析函数，有 。即它是原函数。并且，,例,计算,a. 在回路之外，无论何 n 此积分为零。,b. 在回路之内， ，被积函数解析，积分为零。,c. 在回路之内， ， 将回路变形为以 为圆心的半径为 的圆。积分变为,故,1.,在 C 外,2.,3.,4.,0,0,2i,2.4 柯西公式,1.若 在闭单通区域 上解析， 为 的境界线， 为 内任一点，则有柯西公式,证明,由,有,为函数 的奇点。以 为圆心
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