概率与数理统计-4-3

第四章 随机变量的数字特征,4.4 协方差和相关系数 矩、协方差矩阵,对于二维r.v.(X ,Y )。我们除了要讨论X 与Y 的均值和方差，还要讨论 X 与 Y 之间的相互关系的数字特征。,说明 X 与Y 存在一定的关系。,回忆在第二节中证明方差的性质,意味着X 与Y 不独立,已看到如果 X 与Y 相互独立，则,所以我们用上式给出刻划两个r.v.间相互关系的一个重要数字特征：协方差，相关系数.,4.3 协方差和相关系数,称,为 X ,Y 的协方差. 记为,1.定义,2. 计算,(1)当（X,Y）是离散型随机变量时，分布律P(X=xi,Y=yj)=pij,(2)当（X,Y）是连续型随机变量时，密度函数f(x,y),(3) Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y),证明,Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y) ,=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y),=E(XY)-E(X)E(Y),=EXY-XE(Y)-YE(X)+E(X)E(Y) ,可见，若X与Y独立， Cov(X,Y)= 0 .,3.协方差的性质,随机变量和的方差与协方差的关系,D(X+Y)= D(X)+D(Y)+ 2Cov(X,Y),协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位的影响. 例如：,Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y),为了消除量纲对协方差值的影响，我们把X,Y标准化后再求协方差，这就引入了相关系数 .,X和Y之间若有一定关系，则kX和kY之间应具有同样关系，,协方差取值的大小要受到量纲的影响, 为了消除量纲对协方差值的影响,我们把X,Y标准化后再求协方差,4、相关系数,为随机变量X和Y的相关系数 .或称X与Y的标准协方差。,在不致引起混淆时，记 为 .,XY是一个无量纲的量。,5、相关系数的意义,解得,解得,6. 相关系数的性质,证明,由方差性质知,故有,注1：,完全正相关,完全负相关,相关,注2 不相关的充要条件,7 不相关与独立,例1：已知 (X, Y ) 的联合分布律为,求COV (X, Y )。,解：用公式计算COV (X, Y )=E(XY) E(X )E(Y ),先求出X, Y 的边缘分布，填入上表中，,求得,例2,解,例3：设Z是服从 上的均匀分布，又 试求相关系数。,解：,因而,相关系数 随机变量X与Y不相关，但有 ，从而X与Y不独立。,例4 设 ( X ,Y ) N ( 1, 12,2,22,), 求 XY,解,若 ( X ,Y ) N ( 1, 12, 2, 22, ),则X ,Y 相互独立,X ,Y 不相关,例5,解,例6 设 ( X ,Y ) N ( 1,4; 1,4; 0.5 ), Z = X + Y , 求 XZ,解,1.定义,4.4 矩、协方差矩阵,2. 说明,3. 协方差矩阵,协方差矩阵的应用,协方差矩阵可用来表示多维随机变量的概率密度，从而可通过协方差矩阵达到对多维随机变量的研究,4、n 维正态变量的性质,线性变换不变