物理光学-第四章3.26

1,光的衍射,第四章,2,第一节 光衍射基本理论第二节 夫琅和费衍射 第三节 菲涅耳衍射 第四节 衍射光栅,3,什么是光的衍射,光的衍射：光波在传播过程中遇到障碍物时，会偏离原来的传播方向进入障碍物的几何阴影区内，并在几何阴影区内和几何照明区内形成光强的不稳定分布的现象。,波长与障碍物相当，衍射现象最明显。,4,第一节 光衍射基本理论,惠更斯原理：波前（波阵面）上每一点都可以看作为一个次级扰动中心，发出球面子波，在后一时刻这些子波的包络面就是新的波前。,一惠更斯-菲涅耳原理,菲涅耳的补充：次波既然来自同一光源，应该是相干的。因此衍射场上某点的光强度是次波在该店的相干叠加的结果。,概括为：次波次波相干光的衍射现象,5,惠更斯菲涅耳原理的数学表达式,光源S在P点产生的光振动，应等于其波面上各点发出次波在P点的光振动的叠加 。,单色点光源S在波面上Q点的复振幅,Q点处的元波面d 发出的子波在P点产生的复振幅,A：离点光源单位距离处的振幅; C：比例系数为一常数; r=QP; R：波面的半径 ; 倾斜因子，表示子波的振幅随面元法线与QP的夹角的变化,6,此式在一般情况下计算起来是很复杂的，只有在某些简单的情况下方能精确求解,只有未被挡住的波面对P点的振动有贡献。设此波面为 , 于是：波面在P点产生的复振幅为：,（1）人为假设了 未给出 和C的具体形式,（2）假设当 时， ，事实证明，该假设不正确,惠更斯菲涅耳原理的缺陷,7,如果令,则上式与惠更斯菲涅尔原理的数学表达式一样,是S到 上任意一点的距离，r是Q点到P点的距离,和（n,r）分别是开孔平面法线与 和r的夹角,其中：,二菲涅耳-基尔霍夫衍射公式,基尔霍夫指出可以由波动方程出发，利用格林函数方法和一些边界条件直接推导出来，给出比较严格的衍射公式：,8,（1）P点的复振幅是波面上无穷多个次波面在该点的复振幅 的叠加,（3）给出K()表达式，表明次波的振幅与K()即衍射方向有关,当光源置于无穷远时，相当于平行光入射，有,菲涅耳-基尔霍夫衍射公式：,分析：,（2）次波源的相位超前于入射波/2，,9,三菲涅耳-基尔霍夫衍射公式的近似,（一）傍轴近似（初步近似）,当孔径范围及观察范围远小于两者之间距的情况,单色平面波垂直入射时：,（1）cos(n,r)=cos（）1,因此倾斜因子,即近似地把倾斜因子看作常量，不考虑它对衍射的影响,（2）同时取rz1，认为r变化对振幅影响可略，但r对相位的影响 不可略,取上面两个近似后有：,10,（二）菲涅耳近似和夫琅和费近似,要对相位因子指数中的r进行积分是比较困难，因此必须做更精确的近似来进行简化,如右图在衍射开孔平面和观察屏平面建立坐标系，有：,应用二项式展开 ，得,11,当z1大到使第四项以后各项对位相kr的作用远小于时，忽略第四项以后的高次项：,这一近似即为菲涅耳近似。观察屏位于这一近似区域内所观察到的衍射现象即为菲涅耳衍射，此时观察屏所处的区域为菲涅耳衍射区。近似后菲涅耳-基尔霍夫衍射公式为：,在孔径外的复振幅为0则上式可写为：,菲涅耳衍射公式,12,如进一步增大z1，将观察屏移到离衍射开孔更远的地方，第四项对位相的贡献远小于时,忽略第四项，则有,这一近似称为夫琅和费近似，在此条件下看到的衍射现象称为夫琅和费衍射，观察屏所处的区域称为夫琅和费衍射区,夫琅和费衍射公式,夫琅和费衍射公式要比菲涅耳衍射公式简单。实际应用中，对夫琅和费衍射可直接由以上公式进行计算,13,三菲涅尔衍射和夫琅禾费衍射,14,第二节 夫琅和费衍射,观察屏离衍射开孔很远，z1很大而使 时，产生夫琅和费衍射,夫琅和费衍射实验装置,S：单色点光源L1 、 L2：透镜,S放置在透镜L1的物方焦平面上，产生的平行光垂直入射到衍射开孔上，由于开孔的衍射，在透镜的象方焦平面上就可以观察到开孔的夫琅和费衍射图样.,15,分别在孔径平面和透镜L2的象方焦平面上建立坐标系x1cy1和xp0y,L2后焦平面上某点P的复振幅为：,衍射开孔平面上光的分布均匀，透镜紧贴孔径，令,L2象方焦平面上光场的复振幅可写为,式中：,16,称为二维衍射角,由此，只要知道P点的方向余弦l,m，就能求出P点的复振幅。,P点的复振幅可写为,17,设矩孔沿x1,y1轴方向的宽度分别是a、b，矩孔以坐标原点为对称，选矩孔中心作为坐标原点C，透镜L2象方焦平面上任一点P的复振幅为,夫琅禾费衍射光路图,18,是观察屏中心点P0处的光场复振幅,P点的光强为：,若令 ：,光强可表示为：,式中I0是P0点的光强度：,19,1.沿x轴上点的光强度分布，此时y=0，光强度公式变为,分别讨论x轴和y轴上得光强分布,光强可表示为：,当 时， ， 中央明条纹中心P0处的光强：,则屏幕上任意P的光强为：,给出单缝衍射图样相对光强分布情况,20,即：,暗点中心位置满足：,所以暗点的位置为：,则屏幕上任意P的光强为：,因为：,相邻两暗点之间的距离为,中央亮斑半角宽度（近轴近似）：,21,光强极大的地方应满足：,即：,各级明条纹的光强比为：,表明：光强集中在中央零级明条纹处。,22,1. 沿y轴上光强分布讨论方法相同,2. x、y轴以外的光强度由 计算,3. 能量主要分布于中心衍射斑，随距中心点距离增大而迅速减小；,23,方孔夫琅禾费衍射图样,24,（二）单缝衍射,矩孔的一个方向的尺寸比另一个方向大很多如ba,只在x方向有亮暗变化的衍射图样,衍射强度分布,单缝衍射因子：,时，有主极大：,1.当,处有极小值：,2.当,对应,25,3.角宽度,取 ，即可得相邻暗条纹的角宽度,由光强极小值的表达式微分得：,中央亮纹的角半宽度与相邻暗纹角宽度相等,单缝衍射实验中，常采用与单缝平行的线光源来代替点光源，这时，在观察屏上将得到一些与单缝平行的直线衍射条纹,26,假定狭缝很长，只要透镜足够大，可以认为入射光在y1方向上不发生衍射，因而在透镜L2焦平面（xy面）上衍射光强分布是沿x方向变化的。,二 夫琅和费双缝衍射,a：缝宽d：两个狭缝的中心距,屏上复振幅分布：,分别是两个狭缝露出的波面,27,屏上复振幅分布,沿y1方向的衍射效应可忽略，故上式中有,观察屏上任一点P的复振幅为,28,若令,则P点的光强为：,式中I0是单缝衍射在轴上P0点的光强度。在x1方向上两相距d的平行狭缝在P点的复振幅有一位相差,光强表达式可以变为：,29,分析：,1.夫琅和费双缝衍射的光强分布由两个因子决定：,单缝衍射因子,即宽度为a的单缝衍射的光强分布,双缝干涉因子,强度为I0位相差为的两束光的干涉,衍射和干涉两个因素共同作用的结果,2.由于da,故衍射条纹较宽，而干涉条纹甚窄，因此在观察屏上看到的是明暗相间的干涉条纹，因而在提到双缝衍射的条纹级数时，一般即是指的干涉条纹级数。,30,3.分析上述两个因子的极大和极小条件，可得到双缝衍射图样中亮纹和暗纹的位置,（1）双缝干涉光强极大值的条件是,即,（2）双缝干涉光强极小值的条件是,即,（3）单缝衍射光强极小值的条件是,干涉因子和衍射因子相乘就得双缝衍射强度，乘上单缝衍射因子后的各级干涉的极大值的大小是不同的，此表明衍射因子对干涉条纹的强度起调制作用。,31,当由 确定的干涉极大和由 确定的衍射极小的位置重合时，这些级次极大值被调制为零，使得本应出现干涉亮纹的地方成为暗纹的现象称为缺级,为整数时，m就是缺级的级数,例： 时，对应,缺级,32,33,三夫琅和费多缝衍射,多缝就是在一块不透光的屏上刻有很多条等间距、等宽度的通光狭缝,S：与图面垂直的线光源L1 ：透镜G：开有N个等宽等间距狭缝 （缝距为d）的衍射屏,S位于L1的物方焦平面上，G受到平面波的垂直照射，多缝的方向与线光源平行。假定多缝的方向是y1方向，那么很显然多缝衍射图样的强度分布只沿x方向变化。因此可只计x方向的衍射，对y方向的衍射可忽略,34,观察屏上任一点P的复振幅为,因此P点的光强度为：,表示在x1方向上相邻的两个间距为d的平行等宽狭缝在P点产生的相位差。,35,1.与双缝衍射的情形一样，多缝衍射的光强也由两个因子决定,分析：,是单缝衍射因子,多光束干涉因子,多缝衍射图样是单缝衍射图样与N条缝多光束干涉图样的组合，也即多缝衍射是衍射和干涉两种效应共同作用的结果。,2.狭窄的干涉条纹位置由多光束干涉因子决定，各级干涉条纹的强度则由单缝衍射因子决定,多缝衍射光强分布是多光束干涉光强分布受单缝衍射光强分布调制的结果,36,（一）多缝衍射强度极值,1多缝衍射主极大,或者,这些极大值称为主极大,m为主极大的级次，零级主极大强度最大,2多缝衍射极小,等于的整数倍而 不是的整数倍时,或,37,在两个相邻主极大之间有N-1个极小，而在相邻两个极小之间又有一个次极大，故在相邻两个主极大之间有N-2个次极大,相邻两个极小之间的角距离为：,3多缝衍射次极大,在两个主极大之间，有N-2个次极大，次极大的位置可以通过对光强表达式求极值定出,例如在m=0到m=1级主极大之间次极大出现在：,共N-2个次极大。次极大的强度要比主极大要弱得多,38,（二）多缝衍射主极大的角宽度,第m级主极大峰值的角位置满足：,第m级主极大旁第一个极小值的位置满足：,一般很小，所以,主极大角宽度为,39,（三）缺级,如果 确定的主极大恰好与由 确定的 衍射极小位置重合，那么第 m级干涉主极大将不会出现 ，称为缺级。,缺级的条件为：,40,41,a:圆孔的半径圆孔中心O1位于光轴上，圆孔上任一点Q的直角坐标为x1,y1,极坐标为,观察屏：,波面元为,四 夫琅和费圆孔衍射,意义：由于光学仪器的光瞳通常是圆形的，所以讨论圆孔衍射对于分析光学仪器的衍射现象具有特别重要意义,采用极坐标,且有：,42,园孔是轴对称的，积分结果与方位角 无关，令,P点的光强度为,式中 是轴上点P0的光强度,得P点的复振幅：,43,圆孔夫琅和费衍射图样有以下特点,（1）光强度的分布仅与衍射角有关，由于 也可以说强度与有关， 相等处光强相同，衍射图样是圆环条纹,（2）一阶贝塞尔函数可用级数表示,在z=0处（对应于轴上P0点），I=I0，有极大值（主极大）。当z满足J1(z)=0时I=0，有极小值，这些z值决定衍射暗环的位置,相邻两个暗环之间有一个次极大，其位置由满足下式的z值决定,44,些z值决定衍射亮环位置，上式J2（z）为二阶贝塞尔函数。两相邻暗环的间距并不相等,（3）圆孔衍射图样中，光能也是绝大部分集中在中央亮斑内，这一亮斑通常称为爱里斑,爱里斑的半径由对应于第一个光强度极小值处的z值决定,爱里斑的角半径：,45,圆孔的夫琅禾费衍射,夫琅禾费圆孔衍射图样,46,由第一暗环围成的光斑,称为爱里斑,占整个入射光束总光强的84%,47,（二）光学系统的分辨本领,1.瑞利判据,一个透镜成像的光路可用两个透镜的作用来等效，如图所示：,点物就相当于在透镜L1物方焦点处，经通光孔径 A，进行夫琅和费衍射，在透镜L2的象方焦点处形成的中央零级明斑中心。,仅当通光孔径足够大时， 爱里斑才可能很小。,48,问：当两个物点距离足够小时能否分辨?,仪器分辨两个物点的像的能力,成像仪器分辨本领,S1,S,S1,S,L2,L1,A,f1,f2,O,S1,S,S,S1,L,O,点物S和S1 对透镜中心O 张的角 等于它们分别相应的中央零级衍射中心S、S1 对 O所张的角。,49,瑞利给出恰可分辨两个物点的判据：,点物S1形成的的爱里斑中心恰好与另一个点物S2的爱里斑边缘（第一衍射极小）相重合时，恰可分辨两物点。,50,光学仪器中将最小分辨角的倒数称为仪器的分辨本领。,2.人眼、显微镜、照相物镜的分辨本领,人眼,设人眼瞳孔直径为d，玻璃体折射率为n，可把人眼看成一枚焦距只有20毫米的凸透镜,满足瑞利判据的两物点间的距离，就是光学仪器所能分辨的最小距离。对透镜中心所张的角 称为最小分辨角。,当用人眼观察远处的物体时，视网膜上的象即为由物体发出的光通过瞳孔产生的夫琅和费衍射图样,51,瞳孔的直径为2mm人眼最灵敏的波长,此时人眼的最小分辨角为,望远镜的分辨本领,物镜边框D入瞳决定入射光束的口径,物镜分辨本领望远镜分辨本领,分辨本领是用两个恰能分辨的点物对物镜的张角表示,望远镜的物镜最小分辨角：,52,结论：（1）望远镜物镜直径D愈大，分辨本领愈高。天文望远镜物镜的直径做得很大，原因之一就是为了提高分辨本领。 （2）设计望远镜的视角放大率与分辨本领相适应的有效放大率使仪器的最小分辨角刚好放大到人眼所能分辨的最小角度。,望远镜物镜可分辨的最小角径还需要经过其目镜进行放大，至少达到人眼可分辨的最小角直径，所以望远镜有有效放大倍率：,53,例：一对双星的角间隔为0.05，求：至少需要多大口径的望远镜才能分辨它俩？与此口径相匹配的望远镜角放大率应当设计为多少？,例：一对双星的角间隔为0.05，求：至少需要多大口径的望远镜才能分辨它俩？与此口径相匹配的望远镜角放大率应当设计为多少？,例：一对双星的角间隔为0.05，求：至少需要多大口径的望远镜才能分辨它俩？与此口径相匹配的望远镜角放大率应当设计为多少？,54,照相物镜的分辨本领,一般对远近不同物体拍摄时，其象距总是和镜头焦距 f 很接近,称为物镜的相对孔径。,照相物镜的分辨本领用像面上每毫米能分辨的直线数N来表示,若照相物镜的孔径为D，底片上恰能分辨的两直线之间距离：,单位长度上能够分辨的直线数目为：,可知照相物镜相对孔径愈大，其分辨本领愈高,55,例：高空侦察机离地面2 104m,如果它携带的照相机能分辨地面相距10cm的两点，照相机物镜至少有多大？（设感光波长为500nm），若此照相物镜的焦距为500mm,为充分利用物镜的分辨能力，应选用多大分辨率的底片？,（2）照相物镜的分辨率为,应使用分辨率大于400线mm1的底片,56,显微镜的分辨本领,根据几何光学理论、衍射理论和瑞利判据可以得出显微镜最小可分辨间距为：,式中u 是物镜半径对物点的张角,讨论增大分辨率的方法：（1）增加入射角，（2）物镜与物体间添加高折射率介质（3）使用短波长照明。,被称为物镜的数值孔径简写为：N.A.,油浸显微镜、紫外显微镜和电子显微镜具有更高的分辨本领就是因所用光波波长短或物方折射率高的缘故。,57,例：一台显微镜的数值孔径N.A=0.9，求：（1）它的最小分辨距离。（2）利用油浸使数值孔径增大到1.5且使用紫色滤光片使波长减小为400nm，它的分辨率本领提高多少？（3）为充分（2）中获得的分辨本领，显微镜放大率应为多大？（假设人眼在明视距离处的最小分辨距离为0.067mm）,（2）当 时，最小分辨距离变为：,分辨本领提高的倍数是,58,（3）为了充分利用显微镜的这一分辨本领，显微镜目镜应把最小分辨距离 放大到眼睛在明视距离处能够分辨。所以这台显微镜的放大率至少应为：,（3）为了充分利用显微镜的这一分辨本领，显微镜目镜应把最小分辨距离 放大到眼睛在明视距离处能够分辨。所以这台显微镜的放大率至少应为：,（3）为了充分利用显微镜的这一分辨本领，显微镜目镜应把最小分辨距离 放大到眼睛在明视距离处能够分辨。所以这台显微镜的放大率至少应为：,59,五.多边孔的夫琅禾费衍射,振幅型夫琅禾费衍射, 零级衍射斑为点光源的几何光学亮点 不论衍射屏形状如何,衍射图样均有对称中心 衍射图样绕中心旋转180图样不变 衍射图样总在屏对光线的限制方向扩展,60,61,第三节 菲涅耳衍射,一圆孔和圆屏菲涅耳衍射,实验装置:把一束光射在一通光小圆孔上，在孔后任一距离处的观察屏上就可以看到衍射图样,62,(一)菲涅耳半波带法,以P0点为球心，分别以下值为半径,因相邻两个环带上的相应两点到P0点的光程差为半个波长，所以这样的环带叫菲涅耳半波带,目的是近似求解菲涅尔-基尔霍夫积分公式；将积分公式化为求和,63,菲涅耳-基尔霍夫衍射公式,用有限大小的面积来代替面积元从而把菲涅尔-基尔霍夫积分公式近似为求和。,64,依据菲涅耳-基尔霍夫积分，各半波带在P0点产生振幅大小正比于该带的面积，反比于该带到P0点的距离，并且与倾斜因子有关,所有半波带在P0点引起的合振幅：,衍射屏上任一点P0的复振幅，应是衍射屏波面上所有面元发出的惠更斯子波在P0点叠加的结果。因为相邻两带的子波到达P0点的光程差均为 ，相位差为 ,假如波面在圆孔范围内露出j个半波带，各半波带在P0点引起的振动振幅分别为,65,设圆孔对P0点共露出j个波带，第j个半波带的半径为 ，这j个波带相应的波面总面积是：,半波带面积,66,j-1个半波带所对应的波面面积为：,第j个半波带的面积为：,任一半波带的面积和它到P点的距离之比是与j无关的常数,各半波带在P点的振幅是一个单调下降的收敛数列,倾斜因子,由于这种变化缓慢，近似有：,67,j为奇数时，有,在j为偶数时,其中j为奇数时，取+号，j为偶数时，取-号,68,1只要知道圆孔露出的半波带数目，就可确定P0点的振幅和光强,（二）圆孔菲涅耳衍射,当露出半波带j为奇数时,在P0点有极大光强,当j为偶数时， P0点有极小光强,圆孔衍射的现象：（1）若逐渐开大或缩小圆孔，在P0点将可以看到明暗交替的变化。（2）若圆孔大小和光波波长一定，只将观察屏沿SP0连线移动，都会使圆孔所含半波带数j连续变化，从而在P0点产生明暗交替的变化，即有时中心为亮点（j为奇数），有时又为暗点（j为偶数）,69,2在R和r0一定时，露出的波带数与圆孔的半径有关，即孔大露出的波带数多，衍射效应不显著；孔小，露出的波带数少，衍射效应显著。,当圆孔趋于无限大时，设所分的半波带数为j，则第j个波带必对应于 ，所以,此时P0点的振幅为：,当孔很大时，P0点光强不变，这正是光的直线传播规律所预期的结果，所以光的直线传播规律只是透光孔径较大情况下的一种近似,球面波自由传播时整个波面上各次波源在 P 点产生的合振动振幅等于第一半波带在该点产生振幅之半，强度为1/4,70,3.将半波带进一步细分成面积更小的环状波带元，则可利用振动的矢量合成法来分析园孔的菲涅耳衍射,第一半波带分成N个子带,将每一个半波带分为更小的波带元，各波带元传到P0点的振幅可认为是相等的,第一半波带中心到边缘各相邻子带对应相同的光程差 和相同的相位差,71,将第二个半波带也细分成无穷多个环状波带元，可得到另一园弧 ，考虑倾斜因子，可知第二个半波带的合振幅a2hj,可略去hj2,平行光入射在 处形成亮点-焦点P0,对应的焦距：,78,变形得,这个式子与透镜成像公式很相似，式中R是光源到波面的距离，相当于透镜的物距，r0是波面到观察点P0的距离，相当于透镜的象距，而波带片的焦距为：,波带片和普通透镜之间的不同点：,波带片不仅有上面指出的一个焦点P0（也称主焦点），还有一系列光强较小的次焦点P1，P2，P3,它们距离波带片分别为,79,另外，波带片除有上述实焦点外，还有一系列与实焦点位置对称的虚焦点，,其次，波带片的焦距和波长成反比，这就使得波带片的色差比普通透镜大得多，这是波带片的主要缺点,波带片的实际应用只是在单色性很好的激光出现之后,80,例不透明的屏上有一个直径为2mm的圆孔，用波长为500nm的单色平行光垂直入射到小孔上。沿其中心轴线移动一小探头可测光强。试计算前三个光强极大值和极小值的位置。,解：平行