2008年全国高中数学联合竞赛加试.doc

学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网2008年全国高中数学联合竞赛加试（A卷）试题参考答案及评分标准说明：1评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分；2如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次一、（本题满分50分）如题一图，给定凸四边形，是平面上的动点，令（）求证：当达到最小值时，四点共圆；答一图1（）设是外接圆的上一点，满足：，又是的切线，求的最小值解法一 （）如答一图1，由托勒密不等式，对平面上的任意点，有 因此 因为上面不等式当且仅当顺次共圆时取等号，因此当且仅当在的外接圆且在上时， 10分又因，此不等式当且仅当共线且在上时取等号因此当且仅当为的外接圆与的交点时，取最小值故当达最小值时，四点共圆 20分（）记，则，由正弦定理有，从而，即，所以，整理得， 30分解得或（舍去），故， 由已知=,有，即，整理得，故，可得， 40分从而，为等腰直角三角形因，则又也是等腰直角三角形，故，故 50分答一图2解法二 （）如答一图2，连接交的外接圆于点（因为在外，故在上）过分别作的垂线，两两相交得，易知在内，从而在内，记之三内角分别为，则，又因，得，同理有，所以 10分设，则对平面上任意点，有 ，从而 由点的任意性，知点是使达最小值的点由点在上，故四点共圆 20分（）由（），的最小值 ，记，则，由正弦定理有，从而，即，所以，整理得， 30分解得或（舍去），故， 由已知=,有，即，整理得，故，可得， 40分所以，为等腰直角三角形，因为，点在上，所以为矩形，故，所以 50分解法三 （）引进复平面，仍用等代表所对应的复数由三角形不等式，对于复数，有 ，当且仅当与（复向量）同向时取等号有 ，所以 （1） ，从而 （2） 10分（1）式取等号的条件是 复数 与同向，故存在实数，使得 ， ，所以 ，向量旋转到所成的角等于旋转到所成的角，从而四点共圆（2）式取等号的条件显然为共线且在上故当达最小值时点在之外接圆上，四点共圆 20分（）由（）知以下同解法一二、（本题满分50分）设是周期函数，和1是的周期且证明：（）若为有理数，则存在素数，使是的周期；（）若为无理数，则存在各项均为无理数的数列满足 ，且每个都是的周期证（）若是有理数，则存在正整数使得且，从而存在整数，使得 于是是的周期10分又因，从而设是的素因子，则，从而 是的周期 20分（）若是无理数，令 ，则，且是无理数，令 ， ， 30分由数学归纳法易知均为无理数且又，故，即因此是递减数列 40分最后证：每个是的周期事实上，因1和是的周期，故亦是的周期假设是的周期，则也是的周期由数学归纳法，已证得均是的周期 50分三、（本题满分50分）设，证明：当且仅当时，存在数列满足以下条件：（），；（）存在；（）， 证 必要性：假设存在满足（），（），（iii）注意到（）中式子可化为 ， 其中将上式从第1项加到第项，并注意到得 10分由（）可设，将上式取极限得 ，因此 20分充分性：假设定义多项式函数如下： ，则在0,1上是递增函数，且，因此方程在0,1内有唯一的根，且，即 30分下取数列为，则明显地