Pi值的计算(mathematica数学实验报告)

姓名 学院 班级 学号 实验题目值的计算 评分 实验目的 1 用多种方法计算圆周率的值 2 通过实验来体会各种方法的区别 比较各种方法的优劣 3 尝试自己提出新的方法来计算圆周率的值 实验环境 学校机房 Mathematica4 0 软件 实验基本理论和方法 1 Mathematica中常用绘图函数Plot在绘制高次函数时的方法 2 计算圆周率的数值积分法 泰勒级数法 蒙特卡罗法 并且利用特定的公式 来计算圆周率 实验内容和步骤 1 数值积分法计算 半径为 1 的圆称为单位圆 它的面积等于 只要计算出单位圆的面积 就算出了 在坐标轴上画出以圆点为圆心 以 1 为半径的单位圆 如下图 则这个单位圆在 第一象限的部分是一个扇形 而且面积是单位圆的 1 4 于是 我们只要算出此扇形的 面积 便可以计算出 在计算扇形面积时 很容易想到使用数学分析中积分的方法 第一象限中的扇形 由曲线及两条坐标轴围成 实际操作中 我们不能准确地计算它的 1 0 1 2 xxy 面积 于是就通过分割的方法 将其划分为许多小的梯形 通过利用梯形的面积近似 于扇形面积来计算 4 1 1 0 2 dxxS 利用 Mathematics 编程计算上式 过程如下 从而得到的近似值为 3 14159265358979323846264338328 可以看出 用这种方 法计算所得到的值是相当精确的 n 越大 计算出来的扇形面积的近似值就越接近 的准确值 2 泰勒级数法计算 利用反正切函数的泰勒级数 12 1 53 arctan 12 1 53 k xxx xx k k 来计算 从反正切函数的泰勒级数 进行如下编程来计算 实验运行如下 从实验过程可以看出 这种方法花费的时间很长 原因是当 x 1 时得到的 的展开式收敛太慢 要使泰勒级数收敛得快 容易想到 应当使 x 的绝对值小arctan1 于 1 最好是远比 1 小 例如 因为 所以我们可以计算出 11 arctan1arctanarctan 23 的值 从而得到的值 这样 就使得收敛速度加快 改进后可 11 arctan arctan 23 arctan1 以看出 泰勒级数法得到的结果比数值分析法精确到小数点后更多位 3 蒙特卡罗法计算 在数值分析法中 我们利用求单位圆的 1 4 面积来得到 从而得到 单位 4 圆的 1 4 是一个扇形 它是边长为 1 的单位正方形的一部分 单位正方形的面积 1 1S 只要能够求出扇形的面积在正方形的面积中所占的比例 就能立即得到 S 1 kS S S 从而得到的值 下面的问题归结为如何求的值 这就用到了一种利用随机数来解决 k 此种问题的蒙特卡罗法 其原理就是在正方形中随机的投入很多点 是所投的每个点 落在正方形中每一个位置的机会均等 看其中有多少个点落在扇形内 降落在扇形内 的点的个数与所投店的总数的比可以近似的作为的近似值 利用 Mathetics 编程mnk 如下 从运行结果来看 蒙特卡罗法的计算结果为 虽然精确度不太高 但运行3 136 时间短 在很多场合下 特别是在对精确度要求不高的情况下很有用的 4 利用麦琴给出 推出 4 对比 239 1 arctan 5 1 arctan4 4 239 1 arctan 5 1 arctan4 以上方法 这种简单的直接用公式求的 的方法要简单得多 所以用处更广 实验结果和结果分析 虽然在实验过程中存