411圆的标准方程

4.1.1 圆的标准方程通过上一章的学习，我们知道在直角坐标系中，直线可以用方程表示，那么圆也可以用方程表示吗？圆的方程怎样来求呢？初中圆是怎样定义的？阅读教材118页并回答下面问题：（1）在直角坐标系中，确定圆的基本要素是什么？（2）如果已知圆的圆心坐标为A(a，b)，半径为r，我们如何写出圆的方程？圆的定义：平面内与定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆。定点就是圆心，定长就是半径。由定义求：圆心是A(a ,b)，半径是r的圆的方程 .xAOy解： 设M(x,y)是圆上任意一点， 根据定义，点M到圆心A的 距离等于r，所以圆A就是集合 P = M | |MA|=r 由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为： 把上式两边平方得： 若点M在圆上，由上述讨论可知，点M的坐标满足方程 ，反之，若点M的坐标满足方程 ，这就说明点M与圆心A的距离为r，即M在圆心为A的圆上.方程就是圆心为A(a，b)半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程.特点: 1.是关于x、y的二元二次方程; 2. 明确给出了圆心坐标和半径.3. 确定圆的方程必须具备三个独立条件,即 a、b、r .4.若圆心在坐标原点，则圆方程为 举例说明例1.写出下列各圆的方程：(1) 圆心在原点，半径是3； (2) 经过点P(5, 1)，圆心在点C(8, 3). 解：(1)由已知得圆的方程为： (2)由已知得半径： 故所求圆的方程为： 例2.已知两点P1(4, 9)和P2(6, 3)，求以P1P2为直径的圆的方程，试判断点M(6, 9)、N(3，3)、Q(5, 3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？ 解：由题意得圆心: 半径:故所求圆的方程为：M在圆上，N在圆外，Q在圆内.结论:一般地，1.点M(x0, y0)与圆(xa)2(yb)2r2有三种关系：练习：已知一个圆的直径端点是M(x1, y1)、 N(x2, y2)，证明：圆的方程是 (xx1)(xx2)(yy1)(yy2)=0证明：设P(x, y)是圆上任意一P则由M,N是直径的端点知即即为所求圆的方程. 例3.ABC的三个顶点的坐标分别是A(5, 1)， B(7, 3)，C(2, 8)，求它的外接圆的方程.解：设所求圆的方程为：则由A(5, 1)，B(7, 3)，C(2, 8)都在圆上得，xyOABC解得故ABC的外接圆的方程是：D幻灯片10 例3.ABC的三个顶点的坐标分别是A(5, 1)， B(7, 3)，C(2, 8)，求它的外接圆的方程.xyOABC解2：AB边中点：AB边斜率：AB边中垂线方程：D即同样可求得AC边中垂线方程：圆心:得解方程组半径:故ABC的外接圆的方程是： 变式.ABC的三个顶点的坐标分别是A(5, 1)， B(7, 3)，C(2, 8)，求它的内切圆的方程.xyOABC法一：三角形的内切圆圆心是三条边角平方线交点，写出两条角平分线方程，联立求解得到内心坐标，算出半径，得到圆的标准方程法二：三角形的内切圆圆心到三边距离相等，设圆心（a,b),又距离相等建立方程组，求出圆心坐标，算出半径.幻灯片12 例4.已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2,2 )，圆心C