06第六讲数学思想的现代语言——集合论

第六讲第六讲 数学思想的现代语言 集合论 本讲内容本讲内容 集合论的思想发展 集合论的基础地位 集合论作为语言工具 集合论的思想发展 集合论是关于集合的数学理论 现已发展成为 数学基础的一个分支 集合论被称为是 数学的基础结构 布尔巴基 学派 它在现代数学中扮演着中心和基础的 角色 今天 数学家眼中的 集合论 有不同的含义 数学的一个分支 公理化集合论 一种基本的应用工具和方法 朴素集合论 集合论最初是用 朴素 或者 直觉 的方法来进行研究 的 这被称为 朴素集合论 naive set theory or intuitive set theory 由于朴素集合论允许我们不加限制地对集合施加任意 的操作 这导致集合悖论被发现 如 罗素悖论 Russell s paradox 为了解决这个问题 集合论不得不重新建构 其中最 重要的解决方法是把集合论建立在公理化的基础上 这被称为 公理化集合论 Axiomatic set theory 朴素集合论 集合论发轫于分析的严密化运动 十九世纪后期 因追寻实数 的坚实基础及突变函数性质研究的需要 孤立地研究实数轴上 某个点或某个数的方式被代之以将各点联系在一起作为整体研 究 这就形成了能把握实数的精确结构及性质的 点集论 德国数学家康托尔 Georg Cantor 是集合论的创立者 1872 年 他在 数学年鉴 上发表的论文引进极限点 导集等概念 从而奠定了 点集论 的基础 1874年 他在 数学杂志 上又 发表了关于无穷集合理论的论文 此后发表的一系列论著进一 步阐明了他的集合论思想 康托尔在集合论上的主要贡献有 明确给出了集合的定义 以 及集合的并 交等运算 提出无穷集的势等概念 通过一一对 应关系建立了集合大小的比较原则 给出了无穷集的分类法 建立了基数和序数的理论 证明了超越数的存在 他所提出的 连续统假设 至今未能获得圆满解决 等 集合论的建立开辟了数学研究的一个全新领域 是数学发展的 一个里程碑 它不仅回答了 什么是数 什么是无限 这两个 哲学家和数学家都迫切需要解决的问题 而且为数学奠定了坚 实的基础 对整个现代数学结构产生了重大和深远的影响 康托尔的集合论为数学分析建立了基础 据此 严格的实数理论建立起 来了 集合论第一次把哲学中的无穷概念变成为精确数学研究的对象 把数学 从潜无穷的观点转到实无穷的观点上来 树立了一种全新的数学传统 集合论的创立标志着一个数学新时代的开始 在集合论刚建立的时候 集合论的重要性仅仅为少数几个数学家所赏识 然而在其进一步发展中 集合论渗透到了几乎所有的数学分支 对这些数学分支的发展有着深远 的影响 还改变那些已经确立的理论的面貌 集合论的思想导致了对数学基础更为深刻的分析 对数学概念之间的相 互关系以及各种理论结构的探讨 对数学证明和数学理论证明方式的审 查 About CantorAbout Cantor Cantor was a German mathematician who is best known as the creator of modern set theory He is recognized by mathematicians for having extended set theory to the concept of transfinite numbers including the cardinal and ordinal number classes Cantor is also known for his work on the unique representations of functions by means of trigonometric series a generalized version of a Fourier series Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor 1845 1918 Germany 集合论的抽象思想 集合是抽象思维的产物 在集合论中 集合被用来表 示抽象事物的聚集 而从认识论角度上看 集合本质 上又可视为描述人脑对客观事物进行识别和分类的一 种抽象方法 正是由于这种方法的普遍性普遍性 使得集合 成为数学抽象最有力的工具 康托尔的集合定义 Cantor 1874 吾人直观或思维之对象 如为相异而确定之物 其总括之 全体即谓之集合 其组成此集合之物谓之集合之元素 肖文灿 集合论初步 我国第一本集合论著作 从集合的定义来看 集合 元素都是泛指 或说是抽象的 因此 不仅数 点 形 世界的各种事物无不可以按某种属 性或关系的比较加以类聚 数学可以舍弃这些类聚事物的质 的规定性 而使用各元素的集合对不同事物群的结构共性给 予抽象 概括 从集合观点看 数学概念都可以看成集合 因此 数学概念 都可以用集合来表述 用揭示概念外延的方式定义概念实际 上就是给出集合的元素 用揭示概念内涵的方式定义概念实 际上就是给出集合中元素所满足的性质 不论哪一门数学 开宗明义 总得有自己的研究对象 这些 研究对象就形成一个集合或一些集合 因此 每门数学都用 得上集合论 集合概念是对数学所研究的各种对象的抽象概括 把 一般的集合作为现代数学的研究对象 就能将数学的 各个不同领域统一统一起来 成为各个数学分支的基础 同时也极大地扩大了数学的范围 因此 在现代数学里 研究对象就不再是数和形这两 大传统 经典的研究领域 而是一般的集合 各种空 间和流形 它们都能用集合和映射的概念统一起来 已很难区分哪些属于数的范畴 哪些属于形的范畴 同样地 超穷数也是抽象思维的产物 跟有穷 数一样 超穷数也是从真实的集合中抽象出来 的 康托尔指出 集合的基数是两次抽象的结果 一次是从对象中抽去它们所具有的质的特性 另一次则是抽去在对象之间所存在的次序关系 良序 集合的序数则是一次抽象的结果 即 是从对象中抽去了它们所具有的质的特性 集合论的实无穷思想 集合论是实无穷观的产物 cantor 的实无穷思想是他创立集合 论的关键 无穷的问题自古以来在数学和哲学中占有特别重要的位置 The infinite No other question has ever moved so profoundly the spirit of man Quoted in J R Newman The World of Mathematics New York 1956 無限 再沒有其他問題如此深 刻地打動過人類的心靈 从来沒有任何问題能象无限那样 深深地触动人们的情感 沒 有任何观念能象无限那样 曾如此卓有成效地激励着人们的理 智 也沒有任何概念能象无限那样 是如此迫切地需要予以澄 清 数学是研究无穷的科学 对于什么是无穷 历来有两种观点 潜无穷 potential infinity 认为无穷是无限延伸 的且永远完成不了的一个过程 它认为 全体自然数 是不存在的 因为自然数是数不完的 即自然数的 产生是个无穷无尽的过程 只有这个过程结束了 才能得到自然数的全体 但这个过程永不结束 因 而无法得到自然数的全体 实无穷 actual infinity 认为无穷是无限延伸或 无限变化过程中可以自我完成的无限实体或无限整 体 它认为 全体自然数 是存在的 因为每个自然 数都是可以数到的 所以每个自然数都存在 既然 每个自然数都存在 全体自然数 当然存在 自亚里士多德直至高斯 多数哲学家和数学家赞成 潜 无穷 观点 特别是19世纪初 法国数学家柯西运用 潜无穷 的观点创造性地提出了极限方法 并用这种 思想方法解决了牛顿微积分中的矛盾 从而使得 潜无 穷 在数学中占了统治地位 高斯 我反对把无穷量当作一个实体 这在数学中是从来不允许 的 无穷只是一种说话的方式 当人们确切地说到极限时 是指某些比值可以任意近地趋近它 而另一些则允许没有界 限地增加 集合论的建立引起了数学中无穷观的一场革命 康托 尔认为 在数学中要完全排斥实无穷的概念是不可能 的 实无穷必须肯定 很多最基本的数学概念 如一切正整数 圆周上的一切点等 等 事实上都是实无穷的概念 关于极限理论 康托尔指出 它是建立在实数理论之上的 而实数理论的建立 无理数的引进 又必须以这样或那样的 实无穷的概念为基础 例如 戴德金分割和康托尔的基本序 列都是一种实无穷的概念 极限理论事实上也是建立在实无 穷的概念之上 因此 承认作为变量的潜无穷 就必须承认实无穷 变量如 能取无穷多个值 就必须有一个预先给定的 不能再变的取 值域 而这个域就是一个实无穷 康托尔的实无穷观点 肯定了无穷是某种完成了的确定的东西 是某种不但能有数学表示而且可用数来定义的东西 把无穷看成完成了的确定东西的整体 从而构成集合 康托尔在集合论中 对无穷概念作了精确的数学表述 揭示了无穷集合 的本质特征 无穷集合的部分等势于整体 势 的概念的引入 使康托尔有了确定同一等级或者同一层次的无穷集 合的尺度 实数不可数的证明揭示了实数连续统和有理数集之间实质性 的差别 即实数集与有理数集是两个不同层次的无穷集 不同等级的无 穷集合的发现 使康托尔对无穷的认识大大地加深 以往人们总认为只 有有限才是可把握的 有层次的 而无限至多只是一个模糊的记号 现 在康托尔却把无限象有限那样地分出了层次 使得它容易把握 他特别是将超穷数定义为具有某种特征的无穷集合 对这些超穷数象自 然数那样建立了它们的理论体系 使得无穷作为一个实体能比较大小和 参与运算 从而成为数学的研究对象 康托尔的无穷观集中反映了他的数学观 数学的本质 不在于它与经验世界的联系 而在于数学思维的自由 性 他引进了两种真实性的概念 内在真实性 指数学对象在逻辑上的相容性 外部真实性 指数学对象所具有的客观实在性 他认为 数学对象的两种真实性事实上是一致的 一个概念 如果具有 内在真实性 就必然具有 外部真实性 因此 对数学家来说 就只须考虑数学对象的 内在真实性 即逻辑上的相容性 而无须考虑它们的客观内容 从而在数 学对象的创造中 数学家具有充分的自由 这正是现代数学 的一个特征 集合论的褒贬与罗素悖论 集合论向传统数学观念提出了直接挑战 引起了数学史上最重要 最深刻的一场争 论 集合论处理了数学史最棘手的对象 无限 不可避免地遭到了传统思想的反对 康托尔抛弃了一切经验和直观 用彻底的理 性来论证 数学史上没有比康托尔更大胆的 设想和步骤 要是它不遭到反对 那倒是个奇迹 美 M Kline克莱因 这种无限的概念是和我所珍视的传统相违背的 我 是经过多年科学上的努力 几乎违背我的意愿 逻辑地被迫承认的 Cantor 除非我从你这位老朋友 指戴德金 口中得悉证明 是对或错 否则我的心情难以平静下来 在你未曾 证实这回事之前 我只能说 我看到 但我不相信 Cantor 贬 克罗内克 Kronecker 骗子 叛徒 庞加莱 Poincare set theory is a disease from which mathematics will one day recover 布劳威尔 Brouwer 褒 希尔伯特 David Hilbert No one shall expel us from the Paradise that Cantor has created 没有 人能把我们从康托尔为我们所创造的乐园中赶出 数学思想最惊人的产物 在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之 一 数学精神最令人惊羡的花朵 人类理智活动最漂亮的成果 罗素 Russell 可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作 十九世纪末提出的集合概念 后来被证明为数学中最基本 最有 用的观点之一 集合论成为现代数学的理论基础 借助集合论 严格的实数理论和极限理论都可以建立起来 数学已被算术 化了 现在我们可以说 完全的严格性已经达到了 庞加莱 Poincare 1900年巴黎国际数学大会 数学家们为一切数学成果都可建立在集合论基础上的前景而陶醉 了 他们乐观地认为从算术公理系统出发 借助集合论的概念 便可以建造起整个数学的大厦 但不久人们就发现 从Cantor的朴素集合论中可引出一系列悖论 由于集合论在整个数学理论中的基础地位 集合论悖论的发现使 人们对整个数学理论的正确性产生了怀疑 更重要的是 由于引 出悖论的方式又与集合论中以至一般数学中一些最常用的论证模 式并无不同 数学推理的严密可靠性也被怀疑了 从而触发了数 学史上的第三次危机 由于悖论的出现而造成的形势是难以忍受的 只要设想一下 每个人曾学过 教过并在数学 中加以应用的定义和演绎的方法 从来都被认 为是真理和必然的典范 而现在却导致了荒谬 如果连数学思维都是不可靠的 那么到哪里还 能找到真理和必然性呢 希尔伯特 David Hilbert 集合论悖论在数学界引起了极大的震动 一时什么是 正确的推理 什么是证明 什么是数学 似乎都成了 问题 这次危机使很多数学家卷入了一场围绕数学基 础问题的大讨论 关于 悖论产生的原因及数学推理的本质是什么 的大 辩论 促使一个新的领域 数学基础于20世纪初形 成发展起来 在这场大论战中 逐渐形成了以为罗素 Russell 代表的逻辑主义 以布劳威尔 Brouwer 为代 表的直觉主义和以希尔伯特 Hilbert 为代表的形式主义 三个学派 罗素悖论 Russell s paradox 广义的悖论 paradox 也叫佯谬 它指的是 它是当从显而易见的前提出发 导致一个矛盾而产生 的 广义地说 当结论并不是一个矛盾 但它与一般 观念或直观知识激烈冲突时 即为悖论 美国大学百科全书 数学悖论 指的是一种导致逻辑矛盾的命题 罗素悖论是集合论悖论中最有名的一个 由罗 素1901年提出 它说明了Cantor的集合论是自 相矛盾的 罗素悖论从集合论的基本概念着手 它如此清 晰 几乎没有辩驳的余地 这样 连同无限集 合是否合法一起 Cantor的方法和演绎是否有 效的问题再次被提出来了 具体地说 根据Cantor集合论 一个集合或者含有自身或者不 含有自身 作为元素 即本身分子集 非常集 和非本身分 子集 正常集 前者如 一切概念组成的集合 它本身也是属于该集合的一个概念 后者如 自然数集 它本身不是一个自然数 罗素把所有不含有自身的集合构造为一个新的集合S 形式地 S A A A 现在问S是否含有自身 即S S S S 若S S 那么根据S的定义 S不是S定义 中的A 即S S 得 到矛盾 若S S 那么根据S的定义 S是S定义 中的A 从而S S 同样 矛盾 即不管是S S 还是S S都会导致矛盾 即出现了悖论 罗素悖论有很多接近现实生活的一些版本 它 们对普通人 non logicians 来讲更容易理解 一些 罗素悖论著名的 通俗版 理发师悖论 Barber paradox 从前有某村有一个理发师 他宣称为村里所有 不为自己刮胡子的人刮胡子 现在问他该不该 给自己刮胡子 关于罗素悖论的一个有趣的逸闻 1902年6月 罗素把他的发现写信告诉了弗雷格 Frege 数理逻辑的奠基 人 当时弗雷格接近完成他的关于算术基础的专著 Grundgesetze der Arithmetik 算术的基本规律 弗雷格意识到罗素悖论严重地威胁到了 他的逻辑主义纲领 他只得在他的书后加上了一个后记 appendix 作为 回应 他不无悲哀地写道 A scientist can hardly meet with anything more undesirable than to have the foundation give way just as the work is finished In this position I was put by a letter from Mr Bertrand Russell as the work was nearly through the press 对于一个科学工作者来说 最不幸的事情莫过于 当他完成他的工作时 发 现他的知识大厦的一块基石突然动摇了 正当本书的印刷接近完成之际 伯 伦特 罗素先生给我的一封信使我陷于这种境地 为了消除悖论 罗素和怀特海 Alfred North Whitehead 在他的名著 数学原理 Principia Mathematica 提出了类型论 type theory 以 此作为整个数学的基础 类型论在数学界并没有得到广泛接受 但它现 在已经成为计算机科学的基础 About RussellAbout Russell He is one of the most important logicians of the 20th Century He became the third Earl伯爵 Russell upon the death of his brother in 1931 He received the Nobel Prize for Literature in 1950 Together with Albert Einstein he released the Russell Einstein Manifesto in 1955 calling for the curtailment of nuclear weapons His best known work was Principia Mathematica He was Educated at first privately and later at Trinity College Cambridge Bertrand Arthur William Russell 1872 1970 Wales 公理化集合论 现在大多数数学家认为 集合论悖论的出现 原因在 于利用概括原则造集的任意性太大 因而立足于修改 概括原则 对集合加以适当限制 只允许那些看来不 大会产生矛盾的类进入集合论 从而防止了过大集合 的产生 由于集合论悖论的出现 人们感到有必要回到建立欧 几里德几何的方法 把 集合 作为原始概念 用一套 适当的公理来规定他们的使用 也就是采用公理化的 方法 以期达到既能消除悖论产生根源 又能尽量保 留朴素集合论巨大成果的目的 1908年 策梅罗 E F F Zermelo 提出了集合论的第一个公理化 系统 这个系统后来经过弗兰克尔 Adolf Fraenkel 和 斯科 伦 Thoralf Skolem 等人的补充和加工 形成了ZF公理体系 Zermelo Fraenkel axiomatic set theory 和ZFC公理体系 Zermelo Fraenkel axiomatic set theory with the axiom of Choice 由于ZFC公理体系含有公理模式 指置换公理 从而它不是一 个有限公理化的系统 1925年 冯 诺伊曼 John von Neumann 给出了另一套不包含公理模式的公理系统 后来经过伯内斯 P Bernays 哥德尔 Kurt Godel 等人的改进和简化 形成了 NBG公理体系 Neumann Bernays Godel axiomatic set theory 或GB公理体系 Godel Bernays axiomatic set theory 这样集合论公理化后 罗素悖论中的集合S 在ZFC公理体系中 就不再是集合 而在NBG公理体系中它成为了一个真类 p ope class 公理化集合论能排除至今已经出现的那些悖论 但尚不能保证在这系统中永不出现新的悖论 因为公理系统的无矛盾性并没有被证明 对此 庞加莱 Poincare 评论说 为了防备狼 羊群已用篱笆围起来 但却 不知道在圈内有没有狼 集合论公理 1908年以来 先后问世的集合论公理体系不下十余家 但以ZF C 公理体系和NGB公理体系最为流行 NBG公理体系采用 集合 类 集集间与集类间的 属于 作为原始概念 集是类 但类未必是集 不是集 的类叫做真类 从而允许某些有一定用处的 怪集 合 真类成为数学的研究对象 又能保证相应的悖 论不会在系统中产生 下面重点介绍ZF C 公理体系中的公理 ZFC公理体系是由 集合 和 属于 这两个原始概念和下 述七条公理所组成 外延公理 置换公理 并集公理 幂集公理 正则公理 基底公理 无限公理 选择公理 对于选择公理 很多数学家对于把它作为一条公理持 反对或保留态度 因此习惯上又用ZF公理体系表示只 包含前六条的公理系统 Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo 1871 1953 Germany Adolf Abraham Halevi Fraenkel 1891 1965 Germany Israel Albert Thoralf Skolem 1887 1963 Norway 集合论的基础地位 集合论是现代数学大厦的基石 集合论作为一 种统一的力量 它给所有数学分支以一个公共 的基础 给它们的概念带来一种新的清晰和准 确性 集合论语言已经成为全世界数学家表达 和领会的公共用语 集合论的基础性地位表现在 1 集合是数学的基本对象 现代数学各分支对象本身是具有某种特定结构的集合 比如 代数中群 环 域 体 代数等等概念的定义都是这样的格式 是这样的集合 其上有运算 这些运算满足 定律 空间 有修饰词 特殊的集合 无修饰词 泛指集合 结构 是指遵从一些公理的集合和映射所组成的系统 序结构 代数结构 拓扑结构三种基本结构 布尔巴基学派 测度结构 系统 指特定的集合 抽象机 如图灵机 2 整个数学建立在集合论基础上 许多现代数学理论的发展是以集合论作为其前 提的 例如 没有集合论 就不会有近代的测度论 也就 不会有实变函数 在代数中 近世代数讨论的是具有某些结合规律的 元素系统的构造 它不仅以集合论概念作为其基础 而且还渗透了集合论的许多思想方法 近代数学的抽象空间理论 也无非都是具有各种特 殊结论的无限集 拓扑学的发展 必不可少地依赖于集合论的方法 集合论提供了现代数学的基本语言 所有数学概念都 可以在集合论的范围内形式地加以定义 也就是说 所有数学概念的精确定义都要建立在集合论的基础之 上 事实上 在数学中 除了以实数认识为背景的集合论及其发 展成的公理集合论是直接研究集合的外 一般都是研究其引 伸概念 或说是加了某种 公理 限制的集合 如中学数学中研究的各种对象都可以看作集合 数 数集 几何图形 点集 大于 小于 等于 平行 垂直等关系 函数 点集 图象 如从集合我们可以构造出所有其他数学概念和对象 数 离散或者连续 顺序 下页 关系 函数 例如 集合本身并没有 顺序 的含义 但用它却可以形式地定义 有 限序列 即能构造得到 顺序 的模型 有序对 内涵 a b c d a c且b d 构造 a b a b a 该方法通过附加一个 注释 说明哪一个元素是首元素 推广 递归定义 a b c a b c a b c d a b c d 许多涉及数学基础的根本性问题都可以归结为 关于集合论的问题 如数学理论的相容性问题 它也被用来论证数学理论中关于数学对象及其 属性的存在性的假设 如自然数公理的存在性 3 集合论树立了现代数学的传统 所谓数学传统 是指关于如何从事数学研究的总的观 念或思想 数学传统中的核心思想和规范性成份是数 学家行动的主要思想准则 集合论是数学发展史上最具有革命性的理论 它改变 了整个数学的面貌 形成了现代数学中的核心思想 集合论的形式和风格也成为现代数学传统中的规范性 成分 现代数学是在形式水平上进行的 所采用的是 集合论语言 集合论为现代数学研究提供了一个合适 的概念框架 从这个意义上讲 集合论的观点占统治 地位是现代数学的特点 集合论作为语言工具 现代数学的特点之一是统一性 它要求语言的 统一与简明 集合是数学抽象出的具有方向性 和统一性的基本概念 集合论语言是数学的基 本语言 集合论语言的重要性表现在 其一 用集合表述数学概念 符号简洁统一 语义准确明了 有助于对概念实质的把握 理解线段整体性 不仅指两个端点 理解圆究