线性代数-第一章2

1.3 n阶行列式的定义,1,用,表示一个n阶行列式,具体的数值如何定义？,先分析二阶与三阶行列式,2,总的来看：都是元素之积的和或者差.,第一步：确定是那些乘积项,第二步：确定这些乘积项的正负号,都是不同行，不同列的元素的乘积，,分别为2!和3!项,行标自然排列后，列标偶排列为正，奇排列为负,即二阶和三阶行列式可以写为,3,定义：用n2个元素aij (i,j=1,2,n)组成的记号,记n阶行列式, 其中横排称为行, 纵排称为列. 它表示所有可能取自不同的行不同的列的n个元素乘积的代数和。 各项符号是当这一项中元素的行标按自然数顺序排列, 对应列标构成的排列是偶排列则取正号, 是奇排列则取负号.,4,故代数和中的一般项可以写为:,其中j1j2jn构成一个n阶排列, 当取遍所有n阶排列时, 则得到n阶行列式表示的代数和：,5,即：,右边的代数和也称为行列式的展开式。,注：,1、行列式有时简记为D=det(aij)或|aij|， 一阶行列式|a11|就是数a11.,2、n阶行列式是 n! 项的代数和; 每项都是位于不 同行、不同列n个元素的乘积;,3、a1j1a2j2anjn的符号为 (-1)(j1j2jn).,6,也就是行标按自然数顺序排列后,考察对应的列标构成的排列的奇偶性,能否列标按自然数顺序排列后,考察对应的行标构成的排列的奇偶性？,7,要说明两种展开式等价，无非分为以下两个步骤：,不计符号，各项一一对应；对应项前的符号也相同,第1步：,数乘可交换，做元素对换使列指标成自然排列,第2步：,由于对换元素时，同时对换行指标和列指标,列：,行：,做相同次数的对换,从而两种展开方式等价。即行列式的两种表示方法,8,定理：任意一个n阶排列都可以经过一系列对换变成自然排列，且所作对换的次数与该排列有相同的奇偶性.,故：,一般习惯用固定行指标的展开式,对应两种不同的选取元素乘积的次序行列式中行和列的地位是对等的,解读：,例如, 四阶行列式,9,四阶行列式共有4!项，即24项每项都是位于不同行不同列的四个元素的乘积如：a11a24a33a44不是D的一项.每项的正负号都取决于位于不同行不同列的四个元素的下标排列，例如, a14a22a31a43项，(4213)=4,取正号。(详细见下表),10,11,从四阶行列式可以看到：一般来讲，根据定义来计算行列式计算量很大，但是对于一些特殊的行列式，我们利用定义也能够迅速算出行列式的值。,12,注意：,如何排的不遗漏或重复，用字典排序法a14a22a31a43项的符号还有另外一种确定方法，交换元素位置，得 a31a22a43a14，(3241)=4，正号。,13,例 用行列式定义计算行列式,解: 第3行只能取第2列, 第1行就只能取第4列, 第4行只能取第3列, 第2行只能取第1列，所以，(4123)=3, 因此行列式取值-1.,例：计算n阶行列式,解：,展开式中项的一般形式是,同理可得,若j1 2 a1j1=0，所以j1只能等于2 ,14,即行列式中不为零的项为,恰好在不同的行和列,n-1,例：计算上三角行列式,15,展开式中项的一般形式是,所以不为零的项只有,解：,从第n行开始考察,同理可得下三角行列式,16,例,17,例: 证明副对角行列式,例 对角行列式,18,解：,若记,则,类似结论记住，在以后行列式计算中可直接应用。,19,注：上(下)三角形行列式及对角形行列式的值, 均等于主对角线上元素的乘积.,例计算对角行列式,思