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文档简介

定义 设有 n 维实向量,称a1 b1 + a2 b2 + + an bn,为向量与 的内积，,内积具有下列性质:,（, ）,注:,=a1 b1 + a2 b2 + + an bn,记为(, ).,1（, ）,= (, )；,2（k, ）,= k(, )；,3,4,实对称矩阵的对角化,1、正交向量组,（1）向量内积的定义和性质,设 , 为 n 维(实)向量，k 为实数，则有,= T =T.,为 n 维向量 的长度或模，记为,向量的长度具有的性质：,向量的长度定义和性质,定义 对任意向量,称,长度为1的向量称为单位向量。,若向量 0 , 则,是单位向量 。（单位化）,向量的夹角：,向量, 的夹角为满足条件,的角度，记为,性质 当且仅当（, ）=0，向量与 正交。,定义 如果 ，则称向量与 垂直或者正交。,零向量与任何向量正交。,（3） 正交向量组,定义 如果非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组,使它满足,得,例 试求一个非零向量与向量,都正交。,解 设所求向量为,取向量为,定理 正交向量组一定是线性无关的向量组.,证明 设向量组 a1 , a2 , , ar 是一个正交向量组,类似可证,于是向量组 a1 , a2 , , ar 线性无关.,注：线性无关的向量组未必是正交向量组.,且有一组数,但不是正交向量组.,例 向量组,线性无关，,分析：设向量组 1 ,2, , s 线性无关。,使,得正交向量组,且与向量组1 ,2等价。,得正交向量组,且与向量组 1 ,2, 3 等价?,20 同理可取,使,等价？,向量组的正交化,且与向量组 1 ,2, ，s 等价。,30 推广到一般情况，得正交向量组,从线性无关向量组 1 ,2, ，s 出发，,求与之,等价的正交向量组 1 ,2, , s 的过程，,称为将向量,将线性无关的向量组正交化的方法,（4） 向量组的正交化,组 1 ,2, ，s 正交化。,则1 , 2, ，n 为标准正交向量组，,且与向量组 1 ,2, ，n 等价。,例,已知向量组1=1, 1, 1,2=1, 2, 3, 3=1, 6, 3 线性无关，,求与其等价的正交向量组 1 ,2, 3 .,解,令,则1
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