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第六章 二次型与二次曲面,本章主要讨论：,1二次型的理论； 2空间曲面与曲线； 3. 二次曲面的分类及化简,1,6.1 二次型及其标准形6.1.1 二次型的定义及矩阵表示,1定义6.1 个变量 的二次齐次多项式 称为 元二次型，简称二次型.,当 为实数时，称 为实二次型， 为复数时 为复二次型,2,3二次型 对称矩阵 注：讨论二次型问题，首要的问题是给定二次型能准确地写出二次型的矩阵，反之，给定一个对称矩阵，会写出以它为矩阵的二次型. 这里的关键概念是二次型的矩阵是一个对称矩阵.,3,例1 设二次型试写出二次型 的矩阵.（ 为三元二次型）,解：观察后直接写出,4,例 将二次型 写成矩阵形式. 解： 是一个四元二次型，先写出二次型的矩阵,5,例 设 ，试写出以 为矩阵的二次型.,解：设,6,线性变换,令 （1）可变为 当 是可逆阵时，（1）式是可逆线性变换（也称为非退化线性替换）.,7,6.1.2 矩阵合同的概念 1定义（合同）二个 阶方阵 和 ，若存在可逆矩阵 ，使得 则称 合同于 . 矩阵合同的定义与矩阵相似的定义很相似，也是 方阵之间的一种等价关系. 即,2合同关系具有以下性质： （1）自反性： . （2）对称性： ，则 . （3）传递性： ，则,8,3（二次型的变换）合同二次型 设二次型 ，经可逆线性变换 ， 其中 ，即 与 合同， 仍是对称矩阵. 所以经可逆线性变换后，二次型的对应矩阵是合同的. 也可以说：合同的矩阵是同一二次型关于不同变量的矩阵,4实对称矩阵 （不但和对角矩阵相似，也与对角矩阵合同）. 由于实对称矩阵可正交相似对角化. 所以存在正交阵 ，使 所以实对称矩阵 都与对角矩阵合同.,9,6.1.3 化实二次型为标准形 1标准形：只含有平方项的二次型 称为 元二次型的一个标准形.,用正交变换化实二次型为标准形 对于实二次型，最实用的方法是正交变换法，即所作的可逆线性变换中可逆矩阵 不只是可逆，还是正交矩阵. 这个正交矩阵的存在是由实对称矩阵的性质决定的，值得注意的是这种方法仅限于实二次型.,定理1.2 对任意 元实二次型 ，存在 一正交线性变换： ，使二次型 化为标准形 是 的特征值.,10,例 用正交线性变换化实二次型为标准形.解：二次型 的矩阵为,由 得 的特征值为 .,对于 ，解 ，,11,所以得同解方程组为 得基础解系为 正交化：,12,13,14,2 用配方法化二次型为标准形,15,16,17,则,18,C为可逆线性变换.,19,所作可逆线性变换为 代入（1）得,20,定理1.3 数域F上的任意二次型都可以经过非退化线性替换化成标准形。,定理1.4 数域F上的任意对称矩阵都合同于一个对角矩阵。,设,其中,显然有,定理1.5 二次型 的矩阵A的秩为r，则化成
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