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第四章 线性方程组,第一节 消元法第二节 n维向量空间第三节 向量组的线性相关性第四节 Rn的基、向量在基下的坐标第五节 向量组的秩第六节 线性方程组解的结构,1,解的集合：方程组解的全体,第一节 消元法,方程组最一般的表达形式：,2,齐次方程组：常数项 bi 全为零,两个方程组同解：,方程组有相同解集合,相容方程组：,方程组有解，或者说解集合不为空集,不相容方程组：,方程组无解，或者说解集合为空集,一些基本概念,问题1：方程组是否有解？问题2：若方程组有解，则解是否唯一？问题3：若方程组有解且不唯一，则如何掌握解的全体？,3,方程组的初等变换：高斯消元法,（1） 互换两个方程的位置（2） 用一个非零数乘某个方程的两边（3） 将一个方程的两边同乘以某常数 加到另一个方程,性质1.1 对线性方程组施行初等变换后，新方程组与原方程组同解。,4,系数矩阵,未知量矩阵,常数项矩阵,方程组的矩阵表达形式：,5,增广矩阵,方程组 Ax=b 与增广矩阵存在一一对应关系：,将方程组与增广矩阵一一对应起来，从而对方程组 的研究转化为对矩阵的研究（行列式，秩，初等变换等）。,6,一一对应,7,消元法实质上是利用一系列方程组的初等变换将其变成同解的阶梯形方程组.,因此消元法也可看作是对其增广矩阵实行一系列初等行变换化为阶梯型矩阵的过程.,8,线性方程组解法讨论,方程组的初等变换对应于增广矩阵的初等行变换,增广矩阵,阶梯型矩阵,定理1.1 由增广矩阵经过一系列初等行变换得到的阶梯型矩阵，它对应的方程组与原先的方程组同解。,9,考虑比较简单的情形，假设增广矩阵可化为如下形式的阶梯矩阵,阶梯型矩阵中可能有全为零的行，对应的均为多余的方程,10,阶梯型矩阵对应于一个新的方程组,方程组有解,11,我们得到方程组解的一般表达式（通解）：,12,通解为,13,线性方程组解的情形,14,齐次线性方程组解的情形（b=0）,15,推论：当A为n阶方阵时，齐次线性方程组只有零解当且仅当det(A)不为零；有非零解当且仅当det(A)等于零。,推论：当A的行数小于列数(即方程组中方程的个数小于未知数的个数)时，齐次线性方程组一定有非零解。,因为,例题,解,16,17,考虑: 1.有无解
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