定点线与抛物线相交问题引发的探究与思考

定点线与抛物线相交问题引发的探究与思考浙江省永嘉中学 (325100) 赵 万 双 【背景】2013年浙江省学业水平考试已结束，数学试卷第41题留给我们的思考却远未停止，研究该题可以指导我们今后的复习工作。考后本人对两个班级的学生成绩作了统计，该题得分率只有0.45，针对原题结论结合学生解题情况，本文从不同视角、一般化归、类比推导、原因分析、引申拓展等几个方面对该题进行探究，得出了定点线与圆锥曲线相交时的定值结论。1原题呈现如图，过点的直线交抛物线于点、，（1）求的值；（2）动直线及抛物线上动点（不同于点、），设直线与直线相交直线分别于点、，问：是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，说明理由.x（1）分析：根据已知条件，设过点的直线的斜率为（存在），则直线方程为，联立方程组得：，整理得：，所以的值为，视角1：设点的坐标为，则斜率，直线的方程是，与直线联立方程组得到：，所以，所以所以=，当，得到时，使得.视角2：向量法设点的坐标为，=，由方法1可知：，所以=+=+=，当时，解得，使得.视角3：共线法设点的坐标为，点共线，所以，=，=，所以=，当，得到时，使得.思考:在不同视角下为何只存在一个值, 使得. 的取值是否与点P的坐标有关系呢?2结论的一般化如图，过点的直线交抛物线于点、，（1）求的值；（2）动直线及抛物线上动点（不同于点、），设直线与直线相交直线分别于点、，问：是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，说明理由.分析:根据已知条件，设过点的直线的斜率为（存在），则直线方程为，联立方程组得：，整理得：，所以的值为，（2）设点的坐标为，则斜率，直线的方程是，与直线联立方程组得到：，所以，所以所以=，当，得到时，使得.点评:本题主要考查抛物线的标准方程及几何性质、直线与抛物线的位置关系等,旨在考查考生综合应用知识的能力.结论中为什么存在常数（与的取值无关），与定点有一定关系，的取值与定点中的值有着怎么样的关系呢？,为了得出科学的结论,大胆做出更一般化推导3类比推导如图，过点的直线交抛物线于点、，（1）求的值；（2）动直线及抛物线上动点（不同于点、），设直线与直线相交直线分别于点、，问：是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，说明理由.分析:根据已知条件，设过点的直线的斜率为（存在），则直线方程为，联立方程组得：，整理得：，所以，的值为（定值）（2）设点的坐标为，则斜率，直线的方程是，与直线联立方程组得到：，所以，所以所以，当，得到时，存在直线（仅与定点有关），使得.结论：常数的值与离心率的取值无关，为什么仅与定点P的坐标有关系呢？把结论更一般化分析。4定值原因分析如图，过点的直线交抛物线于点、，（1）求的值；（2）动直线及抛物线上动点（不同于点、），设直线与直线相交直线分别于点、，问：是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，说明理由.分析：1、设点，抛物线的顶点的坐标是，连接直线，则斜率之积，经过定点的直线交抛物线于点、，点、在抛物线上任意移动及抛物线上任意动点（不同于点、），斜率之积始终是一个定值.所以才有的值是一个定值.存在一个,存在直线（仅与定点有关），使得.2、 点关于原点对称点是，点关于原点对称点是，所以，y轴，根据已知条件，设过点的直线的斜率为（存在），则直线方程为，与相似，所以，只需，存在直线（仅与定点有关），使得.5原题引申在椭圆中,点是它的左右顶点,点(不同于点)是椭圆上的任意一点,连接直线,不难发现斜率之积(定值),如果直线与直线分别相交于点M,N,是否存在常数的值，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，说明理由.分析：设点,(),所以，直线的方程是，与直线联立方程组得：，化简得：，同理，所以，又点在椭圆上，所以有，所以，显然有时，（定值）6结论拓展在双曲线中,点是它的左右顶点,点(不同于点)是双曲线上的任意一点,连接直线,不难发现斜率之积(定值),如果直线与直线分别相交于点M,N, 显然有时，（定值）.这里不再熬诉.7统一结论结论1: 过点的直线交抛物线于点、，动直线及抛物线上动点（不同于点、），设直线与直线相交直线分别于点、，存在一个,存在直线（仅与定点有关），使得.结论2: 在圆锥曲线中,点是它的左右顶点,点(不同于点)是圆锥曲线上的任意一点,连接直线,不难发现斜率之积为定值,如果直线与直线分别相交于点M,N, 存在时，使得（定值）.8思考1、 在全国各高校放开自主招生和三位一体招生的背景下，数学学业水平考试越来越受重视，数学老师重视对学科水平考试的试题尤其是定点线与圆锥曲线相交的有关问题的研究具有极大的现实意义。2、 用类似科学研究的方法去解决问题的方式，提出结论，并进一步推理、论证解决问题，通过过定点直线与圆锥曲线相交结论相关性的分析，得出圆锥曲线中的统一结论。通过这种积极探究的方式，教师可以获得数学发现和创造的成功体验。3、 对定点线与抛物线相交问题进一步探究，通过观察、类比、归纳，体现了数学的思考是自然的过程，对几个新的结论的推理、论证，有利于激发一线教师的教学热情，在“一题多解，一题多变，多题归一”的探究过程中领悟数学思想方法，把握数学本质。参考文献：1、马洪炎.运用焦半径公式 速解焦点弦问题.中学教研（数学）2013.72、蔡小雄,陈发志.云来山更佳 云去山如