结构振动理论-第二讲

12:33,自由度数：用来描述振动系统运动状态的最少位移(坐标)数目。自由振动：系统受初始扰动后，仅靠弹性恢复力维持的振动。,若不计阻尼，系统的自由振动是等幅的简谐振动，它是振动的一种最基本的形态，简称谐振动。,第二章 单自由度系统自由振动,若考虑阻尼时，振动系统的运动可能呈现两种形式，振动或非振动;只有阻尼低于临界阻尼时，系统才会发生自由振动;有阻尼自由振动的振幅是按指数规律衰减。,单自由度系统自由振动,12:33,单自由度系统自由振动,2.1 无阻尼单自由度系统自由振动,通解 x=Bsinpt+Dcospt,振动方程：（建立坐标系，受力分析，牛顿第二定律建立平衡方程）,二阶常系数线性齐次常微分方程,假定初始条件：,可得自由振动响应公式：,记：,简谐振动的三要素：振幅、频率、初相角,12:33,自由振动的特征方程,单自由度无阻尼系统的自由振动微分方程为:,该方程的解结构为, 代入上式有,这个以s为变量的 代数方程,称为原微分方程的特征方程。,显然该特征方程的解为,即为系统的固有圆频率，固有频率为,单自由度系统自由振动,12:33,根据以上特征根，就可以得到原方程的2个特征解,及,由此可以构造微分方程的通解为,利用欧拉公式：,同样可以得到如下结构的通解：,同理，利用初始条件可以得到用三角正弦函数表示的解：,单自由度系统自由振动,因x为实数,故X1, X2必为共轭复数,12:33,称为固有振动圆频率 (单位：弧度/秒 rad/s),自由振动响应：,振幅 初相角,谐振动重复一次所需的时间，称为固有周期 (单位：秒 s),固有频率：单位时间内振动重复的次数 (单位：赫兹 Hz),单自由度系统自由振动,12:33,单自由度系统自由振动,简谐振动的三个重要特征量：振幅、频率、初相角,固有频率：自由振动的频率取决于系统质量与刚度，是系统的固有振动特性。,常力对振动系统的影响,静变形,当以外力作用的静平衡位置为原点时，可以不考虑常力和由其产生的弹簧静变形的影响。常力对系统的固有特性没有影响。,以静平衡位置为坐标原点,12:33,单自由度系统自由振动,2.2 能量法,无阻尼系统自由振动中任一时刻的机械能为常值,机械能守恒。,无阻尼振动系统的机械能,说明无阻尼系统的机械能在振动过程中不耗散，为一常数。,12:33,机械能守恒，有如下两个应用：,由,1、求出运动方程：,由,2、求固有频率,单自由度系统自由振动,假设,则,因此有,有常力作用的机械能：,得,由,12:33,单自由度系统自由振动,例题:,下图所示的是用于测定低频振动振幅的传感器中的一个元件(无定向摆)。刚杆OA长为l,铰支在O点, A端固定一小球，重为W。靠刚度系数为k的弹簧支撑在铅垂面内，弹簧离O点的距离是a。求摆在铅垂面内维持稳定的微幅振动的条件和它的固有频率。略去刚杆和弹簧的质量。,12:33,解： 这是一个单自由度系统，取摆振角,来描述系统振动。,小球的速度是,则系统的动能是：,小球下降的距离是,由微幅振动假设，弹簧伸长量是,则系统的势能是,总机械能是,有振动微分方程 :,于是系统的固有频率是,系统的固有频率才是实数，这就是稳定振动的条件。,单自由度系统自由振动,12:33,2.3 单自由度系统的等效处理,(1)单自由度扭摆系统,假定盘和轴都为均质体，扭盘为刚性，求系统的自由扭摆振动的固有频率。a)刚度的等效处理（按振动的变形模式进行等效） 设扭矩T作用在盘面，此时圆盘产生一角位移，根据材料力学可知,式中G为剪切模量；I为截面极惯性矩，,定义轴的扭转刚度为,d为轴的直径。,单自由度系统自由振动,b)惯性项的等效处理（按动能等效进行折算）,刚性圆盘的转动惯量为J;单位长度轴的转动惯量为u,总J1=ul,取轴的扭转变形模式作为假设振动模式，则轴上任意一个微元的动能为 ,轴的总动能为,因此系统的总动能,12:33,(2) 简支梁横向振动,假设系统的质量全部等效集中在梁的中部,且假定为me,取梁的中部挠度,为系统的位移,则,为梁截面的抗弯刚度,定义简支梁等效刚度,则系统的自由振动方程为:,固有频率为:,需要注意的是，me不是梁的总质量，它可以通过梁上各点位移关系和动能等效的原则求得。,单自由度系统自由振动,12:33,单自由度系统自由振动,12:33,单自由度系统自由振动,例 铰接式直升机旋翼挥舞振动分析,简化假设：1 旋翼简化成长L的刚性细杆，铰支于挥舞铰；2 转子转速为常数；3 重力对旋翼的作用略去不计 以固连于转子的旋转坐标系为基准来考察旋翼相对运动，以挥舞角描述,取微元做受力分析，微元离心力对铰链轴o的力矩为,离心力矩总合为：,均匀细杆绕o轴的转动惯量J=L3/3，由动量矩定理可得：,挥舞共振的固有频率为：,12:33,如果系统内有多个弹性元件，为简化振动分析，可用其总刚度(又称等效刚度)表示其弹性特征。,并联,串联,外力f的作用下，两个弹簧变形均为,各自受的力为:,合力关系,总等效刚度系数为,串联弹簧的变形分别为,总变形,等效刚度,由此可见，弹性元件并联将提高总刚度，串联将降低总刚度。这与电学中电阻的并联、串联结论是相反的。阻尼器串联或并联后，总阻尼系数类似于总刚度系数的情形。,2.4 弹簧的串联与并联等效,单自由度系统自