牛顿法求根的近似值

以牛頓法求整數開平方根的近似值張海潮教授臺灣大學數學系朱啟台助理數學學科中心面對95學年度正式實施的數學新課程，撇開刪去的和教學次序調整的不談，老師們最關心的還是新增了哪些題材。除了統計單元之外，或許有些老師覺得微積分的內容也作了不少改變，但基本上95年版的微積分課程只是將73年版的內容作了一定程度的回復，應該不致於增加老師的負擔。關於微積分課程的設計理念，翁秉仁教授在談數學（II）課程綱要已有完整說明，本文焦點將放在微積分課程的一個小角落，也就是選修數學(II)的附錄二以牛頓法求整數開平方根的近似值。學完多項式之後，高中生解得出的多項方程式仍然很有限，除了一次與二次可以運用公式解以外，三次以上的方程式只能用勘根定理碰碰運氣。如果我們願意面對真相，其實高中生對二次方程式的掌握也是有限的，一元二次方程式的兩根為，通常要在係數經過特別設計的情況下，方程式的根才會是有理數，才能真的用我們熟悉的分數表達。就實用的觀點來看，無理數其實並不常見。舉個例子來說，工廠無法保證生產一批半徑全部都是根號2公分的螺絲，事實上也不需要，客戶可能只要求整批螺絲的半徑介於1.40.1公分之間，換句話說，在日常生活中，近似比完美更實用。因此，我們希望高中生學會欣賞近似的概念，並學會一些有效率的近似方法，牛頓求根法剛好是達成這種學習目標的好途徑。假設我們想計算的近似值，我們可以考慮這個方程式，如圖，方程式的兩根為。在進入牛頓法之前，我們先回憶一下如何用十分逼近法來估計。一開始先估計整數位，因為，所以的整數部分是1。接下來，因為，所以。換句話說，求近似值是一個動態的過程，每走一步，就離精確值更近一點，事實上，不論我們希望多麼靠近都辦得到，只要多走幾步就行了。當我們比較不同的近似方法孰優孰劣時，就是在比較逼近速度，也就是說，誰可以用比較少的腳步或比較少的時間達到相同的準確度。現在，我們就來看看牛頓法怎麼估計。如圖，先在的右方隨便挑一個數a當成的近似值，第1步取多少並不是太重要，重要的是如何從第1步得到第2步，再從第2步得到第3步，然後以此類推。挑出的第1個近似值a之後，我們從作一切線，這個切線和x軸的交點b就是的第2個近似值。像這樣子，從每一個近似值可以引出一條切線，這條切線和x軸的交點就是下一個近似值。直觀上我們可以看出，這個近似的程序確實會越來越接近，但這並不稀奇，這是所有近似方法的必要條件，即使是十分逼近法這種沒有效率的方法也有這個性質，我們想知道牛頓法的效率如何？首先注意到因此，近似值b和真值的誤差為我們發現，第2步的誤差可直接從第1步的誤差看出來，粗略地說，如果第1步的誤差是0.1，則第2步的誤差大約是0.1的平方0.01；如果第1步的誤差是0.01，則第2步的誤差大約為0.01的平方0.0001。可以這樣說，十分逼近法每走一步，其精確程度只能增加1個小數位，是個等速運動。但牛頓法每走一步，其精確位數的增加幅度會越來越大，下一步的精確位數是前一步的2倍，精確位數呈指數型態成長。最後就讓我們以（=1.）作為例子來體會一下牛頓法的威力。，取的第1個近似值為1.5（在的右方），於是我們不妨將上述程序稍微修改一下，一方面可以減少計算負擔，一方面也更容易看出精確度的成長狀況：這個例子的計算量雖然很大，但計算公式卻很簡單，若配合電腦軟體進行操作，可以讓