第三章教学分析打印稿

第三章函数的应用教材分析及建议兰州二中 李 廷 雄第一 部分：本章总体设计 一 .课程目标：通过本章的学习，使学生学用“二分法”求方程近似解的方法，体会函数的零点与方程根之间的联系；通过一些实例让学习感受建立函数模型的过程和方法，体会函数在数学及其他学科中的应用，认识到函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，并能初步应用函数思想解决现实生活中的简单问题二 .本章内容及知识结构函数的应用函数与方程函数模型及其应用函数零点与方程根的关系用二分法求方程的近似解几种不同增长的函数模型用已知函数模型解决问题建立实际问题的函数模型解决具体问题三.本章在课标与大纲内容与目标的对比 内容目标的表述大纲目标的概述函数与 方程(1) 根据二次函数的图像判断一元方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的零点与方程根的联系.(2) 根据具体函数图像,能借助计算器用二分法求相应方程的近似解,了解这种方法是求方程近似解的常用方法.无具体内容函数模型及其应用(1) 利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。(2) 收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用。能够用运函数的性质、指数函数对数函数解决某些简单的实际问题。实习作业（数学文化）根据某个主题，收集17世纪前后发生的一些对数学发展起重大作用的历史事件和人物（开普勒、伽利略、笛卡儿、牛顿。莱布尼次茨、欧拉等）的有关资料或现实生活中的函数实例，采取小组合作的方式写一篇有关函数概念的形成、发展或应用的文章，在班级中进行交流，具体要求参见数学文化的要求。四. 本章内容在教材中的定位特点及教学设想一 循序渐进、加深对函数概念本质的理解 对函数概念的理解是贯穿必修1的一个重要任务很难一次实现，它需要一个螺旋上升循序渐进的过程.在解决具体问题的过程中，逐步加深对函数概念本质的理解，实现由具体到抽象再到具体的认识过程。(二）突出主线、明确函数是刻画现实世界变化规律的基本数学模型 突出函数是刻画现实世界变化规律的基本数学模型（本章的前两章已经渗透了这种想法，在本章的教学中要结合教科书的实际从用函数观点求近似解问题，到比较不同函数的增长差异，以及应用函数模型和建立函数模型解决问题不断提供机会引导学生体验函数是描述客观世界变化规律的基本模型（三）强调背景、以问题为中心展现过程引导积极的学习 教学时要以问题为中心，强调背景，让学生体会到所研究的函数来源于实际，这些函数模型在现实世界中应用极为广泛，他们分别刻画了现实世界中的变化规律.教学中要恰当的设计问题引导学生经历观察、归纳、概括、交流、反思的思维过程，经历知识发生发展的过程，利用教科书的白、留空鼓鼓励学生积极参与这个过程主动思考自主探索 进而达到积极的学习(四）注重联系、构建知识网络本章教学中要充分关注知识内容之间的关系，不仅要注重函数知识与实际的联系，更要注重不同函数知识间的联系，以及函数知识与其它相关知识间的联系，通过综合运用不同知识解决实际问题。教学中应结合教科书的内容突出知识间的联系.（五）抓住时机，培养学生问题解决的意识本章教学中要抓住知识应用的契机，培养问题解决的意识，知识的应用就是运用所学知识解决问题。本章内容主要体现了函数知识与实际的联系、函数知识的广泛应用，教学应以此为契机，有意识地引导学生在运用函数知识解决相关问题的过程中，养成提出问题、分析问题、解决问题、回答问题的习惯，培养他们问题解决的意识，并提高他们的数学创造力。）（六）突出重点、以思想方法为核心关注数学文化 本章蕴涵了丰富的思想方法，并以思想方法为核心统领整章的内容。在教学中，我们希望通过教学不仅要让学生在数学概念上有所收获，在研究数学对象的研究方法上得到启发，而且要让他们感受到思想方法的力量和作用，使教学成为以思想方法为核心，用函数观点研究问题的思想方法在本模块中的应用都非常普遍，是本模块蕴涵的重要思想方法，不仅需要频繁地使用数形结合的思想方法，而且对数形结合的思想方法还有较高层次的要求。像数学建模的思想方法，在本章之前学生只有初步认识，尚无系统学习，本章的教学也不必一次到位提出较高的要求。只需让学生通过利用函数知识解决实际问题体会建立函数模型的过程，从而向学生渗透数学建模的思想。教学应抓住这些机会，不仅让学生进一步理解函数的概念和性质，更要突出数学思想方法，将以思想方法为核心的教学落到实处。 本章的例题、练习、习题和阅读与思考栏目都汲取了不少数学文化的素材，教学应对此给予关注，以使学生不仅在知识和能力方面得到提高，而且能够受到数学文化的熏陶，提高科学文化素养。 （七）转变方式、恰当合理的使用信息技术 本章内容普遍涉及求函数值、作函数图象、研究函数性质、拟合函数等，这些内容的教学都需要使用信息技术。信息技术是一种有效的认知工具，能够为学生进行自主探究提供强有力的平台。通过使用信息技术，可以避免繁琐的计算，呈现其他教学手段难以呈现的内容，并使数学对象得以多元联系地表示，使教师的教学方式和学生的学习方式得到改进，帮助学生更好地理解数学本质，从而主动地探索和研究数学，使学习得到加强。所以，注重信息技术的使用，并通过使用信息技术改进教学方式与学习方式，是本章教学比其他章节教学更迫切的任务。五 总体建议1、注意由浅入深、秩序渐进地建立函数与方程的关系2、注意函数与实际问题的联系，体现数学建模的思想3、注意以函数模型的应用为主线，带动相关知识的展开4、恰当使用信息技术第二部分：具体内容的教学分析及建议一.“函数与方程”本节主要内容 ：（1)将求方程近似解的问题转化为求函数零点的问题 (2)要明确函数零点存在性的问题 (3)如何求函数的零点（二分法）。 本节重点是通过“二分法）求方程近似解使学生体会函数的零点与方程之间的联系，初步形成用函数处理问题的意识。在利用二分法求方程近似解的过程中，由于数值计算较复杂因此对获得给定近似解增加了困难要解决这一困难需要恰当的使用信息技术工具。3.1. 1方程的根与函数的零点教学目标：就是要让学生了解函数的零点与方程根的联系。为了达到目标需处理好以下几个问题：(1)研究函数零点的必要性(2)为什么要以二次函数和相应的一元二次方程为例来建立函数的零点与方程根的联系 (3)怎样建立函数零点与方程根的联系(4) 在求已知函数的零点个数时需要注意以下问题： 对于有的函数，只能利用计算器或计算机才能方便地作出其图象，所以教学要尽可能地使用计算器或计算机。教材的例题同时给出了函数图象和表格，这是为了便于在教学中让学生多角度地进行观察，多元联系地将函数的零点表示出来。但学生在做练习和习题时，只需画出函数图象即可)。 对于函数图象与x轴只有一个交点的情况，根据教学要求，教材只介绍了函数的变号零点，而对于函数的不变号零点，教材没有介绍，教学也不必做补充。在给出零点个数的形式化说明时，由于f(a)f(b)0只能说明函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，要说明它只有一个零点还需证明函数yf(x)在区间(a，b)内单调。但目前，这对学生的要求还偏高。所以，在这里要适当控制教学要求，一方面可选择合适的函数要求学生利用函数单调性的定义进行证明；另一方面，对于难以利用函数单调性的定义进行证明的，只要求学生能根据函数图象说明函数的单调性即可。总之，在证明函数单调性方面，应把握一个循序渐进的过程，待今后学习了函数的导数之后再作统一的要求。 教学建议（1）对于零点存在的条件，高中阶段不可能也不必要加以证明。（2）要注意高中学生的思维特点,既不要低估学生的能力，也不必过高地估计，正确把握学生能力的“最近发展区”提出问题是教学成功的关键。（3）数学教学是数学活动的过程，数学活动是数学的思维活动。通过提出有思维价值的问题让学生活动起来，培养学生主动思考的习惯。3.1. 2用二分法求方程的近似解 本节的主要教学目标是，根据具体函数的图象，能够借助计算器等信息技术工具用二分法求相应方程的近似解。要达到这一教学目标，关键是处理好以下几个教学问题：(1)如何引入教学使学生学生就能认识到学习二分法的必要性（二分法是一种常用的求方程近似解的方法）。 (2)如何向学生介绍二分法 首先，引导学生去思考将零点所在区间缩小的方法。要让学生对他们所提出的方法进行比较，然后提出二分区间的方法。这里，教师可以通过一些形象的例子让学生体会到二分法的思想。 其次，让学生利用二分区间的方法，根据函数零点存在的条件，通过计算函数f(x)1nx+2x-6的零点在所得区间端点函数值的乘积，来具体寻找该函数零点的近似值。最后，归纳出求函数零点近似值的步骤。) (3)如何引导学生认识二分法的本质 二分法的本质就是根据函数零点存在的条件不断地把函数零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点。要引导学生认识二分法的本质，关键是解决好以下几个问题 帮助学生理解二分法的步骤（P90）重视信息技术的使用 进行适当的训练,二分法具有较强的程序性，对于这种方法的掌握，是需要通过具体操作来内化实现的。所以，在课堂教学内外，都需要让学生进行适当的训练。 (4)突出思想方法,二分法就是以函数图象为连结点，将函数与方程有机地联系在一起，然后利用函数的性质，求方程的近似解。二分法是一种常用的求方程近似解的方法，二分法也是一种算法。教学应有意识地通过介绍二分法渗透算法的思想，让学生逐步地认识算法，为后面的算法学习作了定的铺垫。几点建议：1注重基础、避免拓展注重联系，突出本质2不要急于补充一元二次不等式3 避免扩展到二次方程根的分布 4“二分法”教学中应该逐步渗透算法思想二 “函数模型及其应用”本节主要内容是介绍函数模型在解决现实问题方面的应用。在此之前，学生已经学过的函数模型有指数函数、对数函数、幂函数等。当面对实际问题时，教学首先要解决的是如何选择这些函数模型。可从事物的增长或衰减情况人手，研究不同增长函数模型间的差异。然后，教学要研究如何根据不同类函数模型的增长特性，选择合适的函数模型解决现实问题。本节的教学重点是认识指数函数、对数函数、幂函数等的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长，并能应用函数模型解决简单问题。其难点是对几种函数差异的比较及如何选择恰当的函数模型解决问题 3.2 1几类不同增长的函数模型 本节内容的教学目标是利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；并结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。要达到这一教学目标，关键是处理好以下几个教学问题： (1)要从整体上把握本节内容的教学 根据教学目标，教学只需要求学生利用图象或数表，对指数函数、对数函数和幂函数的增长差异作直观了解，不必给出形式化的证明。在教学过程中，按照直观感知具体函数一般化的层次，从具体问题出发，对具体函数进行比较，然后将结论推广到一般的函数，从而完成教学任务。 (2)教学要选择恰当的切入点 教学中要明确以前学生从未接触过不同函数的增长差异问题。从何处下手研究是一难点。教师可考虑从具有明显增长差异的实际问题入手，例如选取教材中的两个例子来创设问题情景。这两个问题情境还有一个共同点就是，如果要做出合理的选择，就需要对刻画不同方案的函数模型的增长情况做出比较。让学生通过利用图象和数表比较有关的函数，自然就会对不同函数的增长差异有一个直观、感性的认识，即意识到不同函数的增长是有差异的。 (3)注意比较函数y2x、y=log2x和yx2的增长差异的方法 教学中选择比较几种函数的方法是教学的关键。针对这三个具体的函数，图象和表格两者缺一不可，即采用数形结合的方法。这里对数形结合的方法有较高的要求，因为仅在某一范围内通过图象和表格是不能全面比较出这三个函数，特别是y2x和yx2的增长差异。所以，教师可引导学生利用信息技术，作出这些函数的图象和表格，采取逐步扩大自变量取值范围的方法，从局部到大范围再到更大范围，将这些函数进行“多元联系表示”，对各个函数在不同范围的增长情况进行比较，最后再将不同范围的结果进行归纳得出结论。 3.2 2函数模型的应用实例 本节内容的教学目标是收集一些社会生活中普遍使用的指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型实例，了解函数模型的广泛应用。在实现这一目标的教学过程中，要着重解决好以下几个问题： (1)正确把握教学目标、了解常见函数模型应用 关于收集函数模型，主要通过介绍教科书中的例题、练习和习题，以及师生收集加工课外的实例来实现。 教学的重点应放在让学生了解函数模型的广泛应用上。而实现这一教学目标的关键在于，突出函数模型应用的广泛，控制问题的难度。所以，教学所选取的实例既要典型，又要涉及广泛的实际面和各种学生所学过的函数。例题选择应该包括三个方面的应用层次：一是利用已知函数模型解决问题，如教材的例3、例4；二是通过建立“确定性”函数模型解决问题，如教材的例5；三是根据已知数据拟合函数解决问题，如教材的例6通过不同的实例，让学生感受到函数的广泛应用，并初步体验下列建立函数模型解决问题的过程与方法。收集数据画散点图不符合实际选择函数模型求函数模型检查用函数模型解释实际问题符合实际 （2）注重发挥例题功能、熟悉各种函数模型的特征 例3所给出的函数模型是一个速度时间图象，要根据它求出路程关于时间的解析式模型，并由所得解析式画出路程时间的图象模型。第一问求阴影部分的面积并说明其实际含义，教学不应只满足回答此问题，应把重点放在引导学生以此了解已知图象的数学本质上，并为今后研究积分奠定基础；第二问是将一种图象模型向另一种图象模型和解析式模型转化，教学要注意突出其具有的现实意义。 例4给出的函数模型是一个解析式，要根据已知数据求出该解析式。这是一个经典的实际模型，熟悉和应用这个模型都具有现实意义。教学应让学生了解，该模型只能大致描述自然状态下的人口增长情况；而对于受到人为影响的人口增长情况，如计划生育，则需要用其他数学模型进行描述。当求出解析式后，还可进一步给出其图象，这样做，一是为了让学生直观地了解所得数学模型与实际情况的吻合情况，二是为了体现数学建模的思想，为之后函数拟合的学习奠定基础。 例5是通过建立“确定性”函数模型解决问题。学生过去曾接触过不少这类问题，但以往很少遇到能体现数学建模过程的问题。而本体无论是题目的立意、解题时变量的选择、函数关系式的建立还是问题的回答，都与问题解决的数学思想较为贴近。教学时要留给学生独立思考的空间，让学生充分经历数学建模的过程，切忌诱导过度，使学