不确定性结构的可靠度分析

不确定性结构的可靠度分析不确定性结构的可靠度分析 摘要摘要 结构可靠度已经在一些结构设计和评价的领域得到应用 而基于目前的理论 依旧 不能对结构的主观不确定性进行准确恰当的进行评估 本文引入不确定性理论来对结构的 主观不确定性进行评估 开发一种特定方程用于测量结构中的并联系统 并给出两个数值 实例 即一个空间桁架结构和一个连续梁结构 关键词 不确定性理论 不确定测度 结构可靠度 1 引言 引言 可靠度通常是用来分析结构模型的不确定因素对分析结果的影响 结构的设计应该使 初始建设成本和预期破坏损失之和达到最小 这个思想很早就已经提出 但那时没有可用 的结构失效概率计算方法 1947 年 弗赖登塔尔奠定了结构可靠度理论的基础 1969 年 康奈尔定义了一个结构可靠度指标 即结构功能的平均值和标准差的比值 并将可靠指标 作为结构的统一标准进行安全评估 他建立了结构的 二阶矩模型 安全度 从那之后 结构可靠度理论步入实用阶段 Hasofer 和 Lind 在 1974 年提出了一种可靠度指标的新的 定义 它被定义为在一个标准正态空间内 原点到极限状态面的最短距离 并将原点到曲 线的垂足设置为检查点 它解决了这样的问题 即不同形式的等效函数将会导致不同的可 靠指标 对概率因素的考虑主要集中于自然灾害和结构可靠度分析的风险分析上 此外 有许多文献都对非概率结构可靠度进行了研究 对于非概率模型数据要求相对 较低 为了解决准确定义概率模型的数据缺乏 对于可靠度计算而言 非概率可靠度方法 是一个更好的选择 有时工程师或设计师只是受主观约束所限 这意味着 为了确定事物 的真实状态以及数据关系 可用的信息是不够的 一些研究人员提出将其当作模糊变量 但在许多 非概率情况下 模糊变量不太适合 到目前为止 依然没有一个合适的方法来评估其效果 工程师们倾向于手动调整数据 或 者相信有经验的专家 基于常态 二元性 次可加性和乘积公理的不确定性理论 在 2007 年由 Liu 创立 并在 2010 年由 Liu 优化 它是模型管理不确定因素数学的一个分支 这个理论是专门为了应对主观不确定性而创立的 不确定性理论已经成为处理不完整信息 下的各种问题的一种强大数学工具 例如不确定性控制 不确定性微分方程 以及不确定 性编程 等 作为扩展 Liu 对冗余系统的不确定性可靠寿命分析进行了研究 并且 Zeng Wen 和 Kang 提出了一种产品可靠度指标 本文是研究不确定性理论框架内的一些结构可靠度问题 并对一些不确定性结构分析 的可能应用进行讨论 基于这个的目的 本文组织如下 第二部分回顾了关于不确定性理 论的一些基本概念和性质 在第三部分 对于不确定性理论下的结构分析中可能应用的例 子进行了讨论 在论文的结尾 给出了对于本文的一个简短总结 2 不确定性理论不确定性理论 在本节中 提出了一些不确定性理论的基本概 如不确定性测量 不确定变量 不确 定性分布 不确定预期值以及不确定性可靠度 2 1 不确定性测量 定义 2 1 Liu 设 为非空集合 的子集合的一个集合 是一个 无穷代数 L 无穷代数 中的每一个元素 称为一个事件 如果关于 的函数 服从 1 2 对于每一个事件 有 3 对于事件 的每一个可算序列 有 由此 是一个不确定测度 是一个不确定空间 既然我们有了不确定变量和不确定测度的定义 我们必须考虑乘积测度和不确定算法 2009 年 Liu 提出了乘法公理 设 为非空集 由此 成为不确定测度 K 1 2 n 由此 乘积不确定测度 是一种基于 代数 乘积的不确 定测度 满足 为了描述不确定现象 Liu 给出了不确定变量的定义 定义 2 2 Liu 一个不确定变量是从一个不确定空间 到实数集的一 个可测量函数 对于任何波莱尔实数集 集合 1 是一个事件 定义 2 3 Liu 不确定变量 是独立的 只要满足 2 对于任何波莱尔实数集合族 2007 年 为了描述不确定变量 Liu 提出了不确定性分布的概念 之后在 2009 年 Peng Iwamura 提出了不确定性分布的充分必要条件 定义 2 4 一个不确定变量 的不确定性分布 通过下式定义 3 对任意实数 x 定理 2 1 定义 为独立的不确定变量 包含相互独立的不确定性分布 如果函数 对于 是严格意义上的增函数 对于 是严格意义上的减函数 则 是一个含有不确定性逆分布的不确定变量 L LM 1M 1 c MM i 1 1 ii i i M UM M LM k M k M 12 n LLL 11 1 ii ii i M UM LM 1 BB 12 m ii 11 B B mm ii ti MM 12 m B BB xMx 12 n 12 n 12 n f x xx 12 m x xx 12 mmn xxx 11 mmn f 11111 11 1 1 mmn f 定义 2 5 定义 为一个不确定的变量 则 的的期望值为 4 可知两个积分中至少有一个是有限积分 定理 2 2 定义 为一个包含不确定性分布 的不确定变量 如果期望值存在 则 5 2 2 确定可靠性分析 在 2010 年 Liu 通过不确定性理论 提出了将不确定性可靠度分析作为一种工具来处 理系统可靠性 可靠性指数被定义为系统工作的不确定测度 定义 2 6 假设一个系统包含不确定性变量 且仅当 时成立 则可靠度指数即为 可靠度 定理 2 3 假设 是分别包含不确定分布 的独立不确定性变量 且 对于 是严格意义上的增函数 对于 是严格意 义上的减函数 如果当且仅当 时能成立 则可靠度指数为 可靠度 是下面所列方程的根 6 2 3 不确定性结构的可靠度分析 结构可靠度指数被定义为阻力大于负载的不确定测度 根据结构可靠度指数的意义可知 指数由电阻和负载决定 对于每一根杆 如果有一根失效 那么我们就说结构失效了 现 在 一些基本结构可靠度指数的定理给出如下 假设一个结构包含不确定变量 当且仅当 时能够运 行 其中 R 是结构的功能函数 是结构的基本变量 包括不同负载的影响 材料参数 几何参数等 定理 2 4 结构如图 1 所示 对象的重力是一个不确定变量 分布为 每根杆的抗 性分别为 各自分布分别为 结构的抗力为 v 则可靠度指数 为 7 其中 分别是下列方程的根 8 00 EMdMd 0 0 1 x Ex dxdx 12 n 12 0 n R 12 0 n M R 12 n 12 n 12 n R x xx 12 m x xx 12 mmn xxx 12 0 n R 1111 11 1 1 0 mmn R 12 n 12 0 n R 12 n 12 n 12 n 12 n 12 n 11 111 1 11 222 1 11 1 nnn 证明 结构的抵抗力 为 每根杆的荷载为 v 所以结构的功能函数 可以表示为 当且仅当 时成立 则可到度指数 是下面方程的根 令 为下面方程的根 i 1 2 3 n 则结构的可靠度指标一定是这些杆其中之一的可靠度指数 这意味着存在 i 满足 可知 根据可靠度的 性质 和 都是增函数 可靠度指数 是每杆可靠度指数中的最小值 即 显然 只用上面的一系列理论来进行分析是不够的 我们必须接触另一种类型的结构 即平行结构 平行结构不同于其他平行系统 它在已存在结构和其他领域的分析中 可能 有更多的应用 定理 2 5 结构如图 2 所示 所有杆系均可以在塑性阶段下工作 物体的重力是一个 不确定变量 v 其分布为 每根杆的抗性为 分布分别为 结构的抗性为 系统的可靠度指数 为下面方程的根 9 证明 材料在塑料棒的阶段 意味着其应变和应力不再是线性的 它将导致每根杆的 应力分布 无法通过应力分析以及每根杆的可靠度来获得 当一根杆达到荷载极限 应力 不变而应变不断增加 因此 这种结构的极限状态 意味着所有的杆同时达到极限状态 杆的抗力为 所以系统的总抵抗力为 可以推断出这个系统 的功能函数 为 当且仅当 时 系统能够运行 根据 6 系统的可靠度指数 可被表示为下面方程的根 3 数值实例 数值实例 结构设计是基于结构的极限状态 所谓的结构极限状态的定义是 如果整个结构或结构 的一部分超过某一特定状态 结构不符合特定功能设计规则的要求 那么这个特定状态称 为极限状态 在结构设计中 应考虑所有相应的极限状态 以确保结构足够的安全性 耐 久性和适用性 对于一个特定结构系统 特定结构力学工具足以分析结构的应力状态 但事实上 即 使在特定结构风格的情况下 结构的应力或者抗力并非相像那般为定量 需要考虑和评估 12 n 1212 nn R 0R 1111 12 1 1 1 n i 11 1 iii 1in i 11 1 i 1 1 12 n 12 n 12 n 11 1 1 0 n i i 12 n 12 n 12 n R 1 0 n i i R 0R 11 1 1 0 n i i 其不确定性 例 3 1 结构如图 3 所示 所有的连接均为铰接 方形网格的边长是 5 米 高 2 5 米 每根杆的刚度 系统的外力是不确定力 v 方向垂直向下 分布为 杆的抗 力为 分布分别为 结构的抗力为 为了方便讨论 假设 分布 为线性不确定分布 i 1 2 9 并且 是一个线性不确定分布 这种样式的结构作为一个单独的元素 广泛应用于网格结构和网壳结构 设杆 i 的内力为 利用结构力学知识可推导出 可表示为 i 1 2 9 每根杆的失效模式为 且每根杆的可靠度为 下面方程的根 根据定理 2 4 可知 然后根据线性分布的计算规则 因此 图 3 1 中所示结构的可靠度指数为 例 3 2 结构如图 4 所示 节点 1 3 5 为铰接 联合 7 为固结 表中给出了每根杆 的长度 L 2m 外力 q 是垂直向下的不确定力 v 分布为 节点处玩具为 由于节点 1 可自由转动 极限抗力的其他分布分别为 为方便 讨论 假定分布 i 2 3 7 为线性不确定分布 i 2 3 7 是线性不确 定分布 基于结构力学 推断出连续梁在同一方向加载下 只能在每个跨度单独破坏 而不是 整体破坏 因此这个连续梁在每个跨度只有 3 种不同极限状态 这个例子展示了串联和并 5 10EAkN 129 129 i ii L a b 00 L a b i T 1234 5678 9 0 3537 0 433 TTTT TTTT T ii Tt 0 ii T 11 1 iiii t 129 1234 10 1100 5678 60 6600 90 9 9900 0 354 010 900 0 354 0 433 010 833 0 433 010 875 ba baba ba baba ba baba 129 0 833 127 M MM 1 0M 237 i ii L a b 00 L a b 联系统组合的工作方式 在每个跨度上 极限状态可视作为一个并联系统 整体视作一个 串联系统 在第一跨 根据虚功原理 可知 则 10 同样 在第二跨和第三跨 11 12 然后 根据定理 2 4 和 2 5 跨的可靠度为 分别是下面方程 的根 13 14 15 根据不确定变量的运行规律 可知 同样 因此 图 4 所示结构的可靠度为 容易得出结论 第三跨是最危险的跨 4 结论 结论 结构的可靠度理论可以用来做基于极限状态的结构设计 结构的优化以及结构的全寿命 分析 因为在工程实践中存在很多主观不确定性 不确定性理论在结构分析中具有重要的 现实意义 在本文中 结构的抗力和负载被视作不确定变量 而可靠性指数则被视为抗力 32 2 0 50 5 qlMM ll 2 132 240 RMMql 2 2345 4820 RMMMql 2 3567 8168 0 999 RMMMql 123 123 111 21311 4 1 2 1 0 1