食饵—捕食者模型

数学模型 课程 食饵食饵 捕食者模型捕食者模型 3 讨论具有自身阻滞作用的两种群食饵讨论具有自身阻滞作用的两种群食饵 捕食者模型 首先根据该两种群的相互捕食者模型 首先根据该两种群的相互 关系建立模型 解释参数的意义 然后进行稳定性分析 解释平衡点稳定的实关系建立模型 解释参数的意义 然后进行稳定性分析 解释平衡点稳定的实 际意义 对模型进行相轨线分析来验证理论分析的正确性 并用际意义 对模型进行相轨线分析来验证理论分析的正确性 并用 matlab 软件画软件画 出图形 出图形 自然界中不同种群之间还存在着一种非常有趣的既有相互依存 又有相互制约 的生活方式 种群甲靠丰富的天然资源生长 而种群乙靠捕食甲为生 形成鱼 和鲨鱼 美洲兔和山猫 落叶松和蚜虫等等都是这种生存方式的典型 生态学 称种群甲为食饵 种群乙为捕食者 二者共同组成食饵 捕食者系统 一食饵 捕食者 选用食饵 食用鱼 和捕食者 鲨鱼 为研究对象 设 为食饵 食用鱼 在 tx 1 tx 时刻 的数量 为捕食者 鲨鱼 在时刻 的数量 为食饵 食用鱼 t ty 2 txt 1 r 的相对增长率 为捕食者 鲨鱼 的相对增长率 为大海中能容纳的食饵 2 r 1 N 食用鱼 的最大容量 为大海中能容纳的捕食者 鲨鱼 的最大容量 为单 2 N 1 位数量捕食者 相对于 提供的供养食饵的实物量为单位数量捕食者 相对 2 N 于 消耗的供养甲实物量的倍 为单位数量食饵 相对于 提供的 1 N 1 2 1 N 供养捕食者的实物量为单位数量捕食者 相对于 消耗的供养食饵实物量的 2 N 倍 为捕食者离开食饵独立生存时的死亡率 2 d 二模型假设 1 假设捕食者 鲨鱼 离开食饵无法生存 2 假设大海中资源丰富 食饵独立生存时以指数规律增长 三模型建立三模型建立 食饵 食用鱼 独立生存时以指数规律增长 且食饵 食用鱼 的相对增长率 为 即 而捕食者的存在使食饵的增长率减小 设减小的程度与捕食 1 rrxx 者数量成正比 于是满足方程 tx 1 axyrxayrxtx 比例系数反映捕食者掠取食饵的能力 a 由于捕食者离开食饵无法生存 且它独立生存时死亡率为 即 ddyy 而食饵的存在为捕食者提供了食物 相当于使捕食者的死亡率降低 且促使其 增长 设这种作用与食饵数量成正比 于是满足 ty 2 bxydybxdyty 比例系数反映食饵对捕食者的供养能力 b 方程 1 2 是在自然环境中食饵和捕食者之间依存和制约的关系 这里 没有考虑种群自身的阻滞作用 是 Volterra 提出的最简单的模型 结果如下 不考虑自身阻滞作用不考虑自身阻滞作用 数值解数值解 令 x 0 x0 y 0 0 设 r 1 d 0 5 a 0 1 b 0 02 x0 25 y0 2 使用 Matlab 求解 求解如下 1 先建立 M 文件 function xdot shier t x r 1 d 0 5 a 0 1 b 0 02 xdot r a x 2 x 1 d b x 1 x 2 2 在命令窗口输入如下命令 ts 0 0 1 15 x0 25 2 t x ode45 shier ts x0 t x ts 0 0 1 15 x0 25 2 t x ode45 shier ts x0 t x ans 省略 plot t x grid gtext x t gtext y t pause plot x 1 x 2 grid 可以猜测 x t y t 是周期函数 与此相应地相轨线 y x 封闭曲线 从数 值解近似定出周期为 10 7 x 的最大最小值分别为 99 3 2 0 y 的最大 最小 值分别为 28 4 和 2 0 容易算出 x t y t 再一个周期的平均值为 25 10 考虑阻滞作用考虑阻滞作用 前面我们没有考虑种群自身的阻滞作用 接下来我们考虑种群自身的阻滞 作用 在上面 1 2 两式中加入 Logistic 项 即建立以下数学模型 3 2 2 1 1 1 1 11 1 N x N x xrtx 4 2 2 1 1 2 1 22 2 N x N x xrtx 四平衡点进行理论分析 下面对 3 4 进行平衡点稳定性分析 由微分方程 3 4 2 2 1 1 2 1 22 2 2 1 1 1 1 11 21 21 N x N x xr N x N x xr xxg xxf 令 f x1 x2 0 g x1 x2 0 得到如下平衡点 0 11 NP 1 1 1 1 21 22 21 11 2 NN P 0 0 3 P 因为仅当平衡点位于平面坐标系的第一象限时 才有意义 所以 0 21 xx 对而言要求 0 2 P 2 按照判断平衡点稳定性的方法计算 2 1 2 1 2 2 1 12 2 1 222 2 111 2 21 1 1 1 21 21 N x N x r N xr N xr N x N x r gg ff A xx xx 根据等于主对角线元素之和的相反数 而为其行列式的值 我们得到pq 下表 平衡点 pq 稳定条件 0 11 NP 1 221 rr 1 221 rr 2 1 2 0 0 3 P 21 rr 21r r 不稳定 五模型分析与检验五模型分析与检验 1 平衡点稳定性的分析及其实际意义 1 对而言 有 故当 2 1 时 平衡点是稳定的 21 2121 1 1 1 rr 2 1 1 1 1 21 22 21 11 2 NN P 意义 如果稳定 则两物种恒稳发展 会互相依 1 1 1 1 21 22 21 11 2 NN P 存生长下去 3 对而言 由于 又有题知 0 0 故 0 0 3 P 21 rrp 21r rq 1 r 2 r x0 3000 60 x0 3000 60 t x ode45 fun 0 20 3000 60 t 省略 plot t x grid gtext x t gtext y t 图1 数值解 的图形 1 tx 2 tx