勾股定理的应用

勾股定理的应用 一 四川省井研县高滩初级中学龚知军 a b c 勾股定理 勾股定理的逆定理 已知 在Rt ABC中 C 90 三边分别为a b c 如果a b c 那么这个三角形是直角三角形 练习 求下列阴影部分的面积 x 1 中阴影部分是正方形 2 中阴影部分是长方形 3cm x 1 2 例1 如图 已知CD m AD m ADC 90 BC 24m AB 26m 求图中阴影部分的面积 析 阴影部分是不规则的图形 我们要把它转化为规则图形来看待 S ACB怎样解决呢 S ACD S阴 S ACB S ACD 那我们可以猜想一下它的形状 例1 如图 已知CD m AD m ADC 90 BC 24m AB 26m 解在Rt ADC中 由勾股定理取正得 AC AD CD 6 8 100 AC 10m AC BC 10 24 676 262 AB ACB为直角三角形 如果三角形的三边长a b c有关系 a b c 那么这个三角形是直角三角形 S阴影部分 S ACB S ACD 求图中阴影部分的面积 96 m2 例2 折竹抵地 源自 九章算术 今有竹高一丈 末折抵地 去本三尺 问折者高几何 意 一根竹子 原高一丈 即10尺 虫伤有病 一阵风将竹子折断 其竹梢恰好抵地 抵地处离原长竹子处3尺远 问原处还有多高的竹子 析 结合题意先画出图形 如下图 在Rt BCD中 A B C D AB 10 BD 3 有BC2 BD2 CD2 勾股定理 如设BC为x尺 那怎么来表示CD呢 CD AC AB BC 即CD 10 x 尺 解 根据题意 BCD是Rt AB 10尺 BD 3尺 设BC x尺 则CD AC 10 x 尺 BC2 BD2 CD2 即 x2 32 10 x 2 x2 9 100 20 x x2 20 x 91 x 4 55 答 原处还有4 55尺高的竹子 由勾股定理得 例3 如图所示 有一个高为12cm 底面周长为20cm的圆柱 在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁 它想吃到圆柱上底面上与A点相对的B点处的食物 问这只蚂蚁沿着侧面需要爬行的最短路程为多少厘米 精确到0 01cm 分析 蚂蚁实际上是在圆柱的表面爬行 所爬行路线为曲线 这样就不容易得出蚂蚁的爬行路程 如果将圆柱的侧面展开 就会得到一个长方形ACEF 根据 两点之间 线段最短 所求的最短路程就是展开的AB两点之间的线段之长 根据题意 AC是圆柱的高为12cm即AC 12cm CE为圆柱底面周长20cm 即CE 20cm B为CE的中点 蚂蚁要爬到B点 那么B点在展开长方形的什么位置呢 点B在CE的中点位置 根据题意 AC 12cm CE 20cm B为CE的中点 则BC BE CE 10cm 四边形ACEF为长方形 解 四边形ACEF是长方形 C 90 ABC是Rt AB2 AC2 BC2 勾股定理 AB2 122 102 244 AB 答 蚂蚁爬行的最短路程约为15 62厘米 15 62 cm 课堂小结 作业布置 1 P58练习1题2 P60习题1 3题 1 勾股定理可以解决Rt 中三边的关系 2 逆定理可以判定三角形的形状是否为Rt 3 在解决实际问题时常转化到Rt 中来完成 4 在三角形中也常常利用方程来解决实际问题 课堂随练 谢谢 随堂检测1 在Rt ABC中 B 90 BC 15 AC 17 以AB为直径作半圆 则此半圆的面积为 2 已知直角三角形两边的长为3和4 则此三角形的周长为 3 某市在 旧城改造 中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境 已知这种草皮每平方米售价a元 则购买这种草皮至少需要 元 4 如图 梯子AB靠在墙上 梯子的底端A到墙根O的距离为2m 梯子的顶端B到地面的距离为7m 现将梯子的底端A向外移动到A 使梯子的底端A 到墙根O的距离等于3m 同时梯子的顶端B下降至B 那么BB A 小于1mB 大于1mC 等于1mD 小于或等于1m 5 将一根24cm的筷子 置于底面直径为15cm 高8cm的圆柱形水杯中 如图所示 设筷子露在杯子外面的长度为hcm 则h的取值范围是 A h 17cmB h 8cmC 15cm h 16cmD 7cm h 16cm 拓展提高1 小明想测量教学楼的高度 他用一根绳子从楼顶垂下 发现绳子垂到地面后还多了2 当他把绳子的下端拉开6m后 发现绳子下端刚好接触地面 则教学楼的高为 A 8mB 10mC 12mD 14m2 如果梯子的底端离建筑物9 那么15 长的梯子可以到达建筑物的高度是 A 10mB 11mC 12mD 13m3 直角三角形三边的长分别为3 4 则 可能取的值有 A 1个B 2个C 3个D 无数多个4 直角三角形中 以直角边为边长的两个正方形的面积为7cm2 8cm2 则以斜边为边长的正方形的面积为 cm2 5 如图 矩形零件上两孔中心A B的距离是多少 精确到个位 体验中考1 2009年安徽 长为4m的梯子搭在墙上与地面成45 角 作业时调整为60 角 如图所示 则梯子的顶端沿墙面升高了m 2 2009年湖北十堰 如图 在一次数学课外活动中 小明同学在点P处测得教学楼A位于北偏