2013年江苏高考数学试题及答案解析版1_(word版).doc

20132013 年江苏高考数学试题及答案解析版年江苏高考数学试题及答案解析版 word word 版版 y x l B F O c b a 2013 年普通高等学校统一考试试题 江苏卷 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 14 小题 每小题小题 每小题 5 分 共计分 共计 70 分 请把答案填写在答题卡相印位置上 分 请把答案填写在答题卡相印位置上 6 抽样统计甲 乙两位设计运动员的 5 此训练成绩 单位 环 结果如下 运动员第一次第二次第三次第四次第五次 甲8791908993 乙8990918892 则成绩较为稳定 方差较小 的那位运动员成绩的方差为 答案 2 7 现在某类病毒记作 其中正整数 可以任意选取 则 nmY Xmn7 m9 nnm 都取到奇数的概率为 63 20 8 如图 在三棱柱中 分别是的中点 设三棱锥的体积ABCCBA 111 FED 1 AAACAB ADEF 为 三棱柱的体积为 则 1 24 1 VABCCBA 1112 V 21 V V 9 抛物线在处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 包含三角形内部和边界 若点是 2 xy 1 xD yxP 区域内的任意一点 则的取值范围是 2 Dyx2 1 2 10 设分别是的边上的点 ED ABC BCAB ABAD 2 1 BCBE 3 2 若 为实数 则的值为 ACABDE 21 21 21 1 2 11 已知是定义在上的奇函数 当时 则不等式 的解集用区间表示 xfR0 xxxxf4 2 xxf 为 5 0 5 12 在平面直角坐标系中 椭圆的标准方程为 右焦点为xOyC 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 右准线为 短轴的一个端点为 设原点到直线的距离为 FlBBF 1 d 到 的距离为 若 则椭圆的离心率为 Fl 2 d 12 6dd C 3 3 13 在平面直角坐标系中 设定点 是函数 xOy aaAP x y 1 0 x 图象上一动点 若点之间的最短距离为 则满足条件的实数的所值为 1 或AP 22a10 14 在正项等比数列中 则满足的 n a 2 1 5 a3 76 aa nn aaaaaa 2121 20132013 年江苏高考数学试题及答案解析版年江苏高考数学试题及答案解析版 word word 版版 最大正整数的值为 12n 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 6 小题 共计小题 共计 90 分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文字说明 证明过程或分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文字说明 证明过程或 演算步骤 演算步骤 15 本小题满分 14 分 已知 sin cos sin cos ba 0 1 若 求证 2 设 若 求的值 2 baba 1 0 ccba 解 解 1 a b cos cos sin sin a b 2 cos cos 2 sin sin 2 2 2 cos cos sin sin 2 所以 cos cos sin sin 0 所以 ba 2 2 2得 cos 1sinsin 0coscos 1 2 所以 3 2 3 2 带入 得 sin sin cos sin sin 1 3 2 2 3 1 2 3 所以 3 2 所以 6 5 6 16 本小题满分 14 分 如图 在三棱锥中 平面平面 过作 垂足为ABCS SABSBCBCAB ABAS ASBAF 点分别是棱的中点 求证 FGE SCSA 1 平面平面 EFGABC 2 SABC 证 证 1 因为 SA AB 且 AF SB 所以 F 为 SB 的中点 又 E G 分别为 SA SC 的中点 所以 EF AB EG AC 又 AB AC A AB面 SBC AC面 ABC 所以 平面平面 EFGABC 2 因为平面 SAB 平面 SBC 平面 SAB 平面 SBC BC AF平面 ASB AF SB 所以 AF 平面 SBC 又 BC平面 SBC 所以 AF BC 又 AB BC AF AB A 所以 BC 平面 SAB 又 SA平面 SAB 所以 SABC 17 本小题满分 14 分 如图 在平面直角坐标系中 点 直线 xOy 3 0 A42 xyl 设圆的半径为 圆心在 上 C1l 1 若圆心也在直线上 过点作圆的切线 C1 xyAC 求切线的方程 A B C S G F E x y A l O 20132013 年江苏高考数学试题及答案解析版年江苏高考数学试题及答案解析版 word word 版版 2 若圆上存在点 使 求圆心的横坐CMMOMA2 C 标的取值范围 a 解 解 1 联立 得圆心为 C 3 2 42 1 xy xy 设切线为 d 得 3 kxy1 1 233 2 r k k 4 3 0 kork 故所求切线为 3 4 3 0 xyory 2 设点 M x y 由 知 化简得 MOMA2 2222 2 3 yxyx 4 1 22 yx 即 点 M 的轨迹为以 0 1 为圆心 2 为半径的圆 可记为圆 D 又因为点在圆上 故圆 C 圆 D 的关系为相交或相切 MC 故 1 CD 3 其中 解之得 0 a 22 32 aaCD 12 5 18 本小题满分 16 分 如图 游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径 一种是从沿直线步行ACA 到 另一种是先从沿索道乘缆车到 然后从沿直线步行到 现有甲 乙两CABBC 位游客从处下山 甲沿匀速步行 速度为 在甲出发后 乙从AACmin 50mmin2 乘缆车到 在处停留后 再从匀速步行到 假设缆车匀速直线运动的ABBmin1C 速度为 山路长为 经测量 min 130mACm1260 13 12 cos A 5 3 cos C 1 求索道的长 AB 2 问乙出发多少分钟后 乙在缆车上与甲的距离最短 3 为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟 C3 乙步行的速度应控制在什么范围内 解 解 1 如图作 BD CA 于点 D 设 BD 20k 则 DC 25k AD 48k AB 52k 由 AC 63k 1260m 知 AB 52k 1040m 2 设乙出发 x 分钟后到达点 M 此时甲到达 N 点 如图所示 则 AM 130 x AN 50 x 2 由余弦定理得 MN2 AM2 AN2 2 AM ANcosA 7400 x2 14000 x 10000 其中 0 x 8 当 x min 时 MN 最小 此时乙在缆车上与甲的距离最短 35 37 3 由 1 知 BC 500m 甲到 C 用时 min 1260 50 126 5 若甲等乙 3 分钟 则乙到 C 用时 3 min 在 BC 上用时 min 126 5 141 5 86 5 此时乙的速度最小 且为 500 m min 86 5 1250 43 若乙等甲 3 分钟 则乙到 C 用时 3 min 在 BC 上用时 min 126 5 111 5 56 5 C B A D M N 20132013 年江苏高考数学试题及答案解析版年江苏高考数学试题及答案解析版 word word 版版 此时乙的速度最大 且为 500 m min 故乙步行的速度应控制在 范围内 56 5 625 14 1250 43 625 14 19 本小题满分 16 分 设是首项为 公差为的等差数列 是其前项和 记 n aad 0 d n Sn cn nS b n n 2 其中为实数 Nn c 1 若 且成等比数列 证明 0 c 421 bbb knk SnS 2 Nnk 2 若是等差数列 证明 n b0 c 证 1 若 则 0 cdnaan 1 2 2 1 adnn Sn 2 2 1 adn bn 当成等比数列 421 bbb 41 2 2 bbb 即 得 又 故 2 3 2 2 d aa d aadd2 2 0 dad2 由此 故 anSn 2 aknankSnk 222 aknSn k 222 knk SnS 2 Nnk 2 cn adn n cn nS b n n 2 2 2 2 2 1 cn adn c adn c adn n 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 cn adn c adn 2 2 2 1 2 2 1 若是等差数列 则型 n bBnAnbn 观察 式后一项 分子幂低于分母幂 故有 即 而 0 0 2 2 1 2 cn adn c 0 2 2 1 adn c 2 2 1 adn 故 经检验 当时是等差数列 0 c0 c n b 20 本小题满分 16 分 设函数 其中为实数 axxxf ln axexg x a 1 若在上是单调减函数 且在上有最小值 求的取值范围 xf 1 xg 1 a 2 若在上是单调增函数 试求的零点个数 并证明你的结论 xg 1 xf 解 解 1 0 在上恒成立 则 a x xf 1 1 a x 1 1 x 故 1 a 20132013 年江苏高考数学试题及答案解析版年江苏高考数学试题及答案解析版 word word 版版 axg x e 若 1 e 则 0 在上恒成立 aaxg x e 1 此时 在上是单调增函数 无最小值 不合 axexg x 1 若 e 则在上是单调减函数 在上是单调增函数 aaxexg x ln1 a ln a 满足 故的取值范围为 e ln min agxg aa 2 0 在上恒成立 则 ex axg x e 1 a 故 a 1 e 0 11 x x ax a x xf 若 0 令 0 得增区间为 0 令 0 得减区间为 a 1 e x f 1 a x f 1 a 当 x 0 时 f x 当 x 时 f x 当 x 时 f lna 1 0 当且仅当 时取等号 1 a 1 a a 1 e 故 当 时 f