选修专题-极坐标与参数方程(含答案)

1 2017 高考二轮专题复习 极坐标与参数方程高考二轮专题复习 极坐标与参数方程 1 1 极坐标的基本概念 极坐标的基本概念 极坐标 的含义 设 M 是平面上任一点 表示 OM 的长度 表示以射线 Ox 为始边 射线 OM 为终边所成的角 那么 有序数对 称为点 M 的极坐标 显然 每 一个有序实数对 决定一个点的位置 其中 称为点 M 的极径 称为点 M 的 极角 极坐标系和直角坐标系的最大区别在于 在直角坐标系中 平面上的点与有序数对之 间的对应关系是一一对应的 而在极坐标系中 对于给定的有序数对 可以确定 平面上的一点 但是平面内的一点的极坐标却不是唯一的 极角相差的正数倍 2 2 极坐标与直角坐标的互化 极坐标与直角坐标的互化 若极点在原点且极轴为 x 轴的正半轴 则平面内任意一点 M 的极坐标 M 化为 平面直角坐标 M x y 的公式如下 或者 tan x cos y sin x2 y2 y x 其中要结合点所在的象限确定角 的值 一般取 0 2 3 常见曲线的参数方程 常见曲线的参数方程 1 过定点 P x0 y0 倾斜角为 的直线 t 为参数 x x0 tcos y y0 tsin 其中参数 t 是以定点 P x0 y0 为起点 点 M x y 为终点的有向线段 PM 的数量 又 称为点 P 与点 M 间的有向距离 根据 t 的几何意义 有以下结论 设 A B 是直线上任意两点 它们对应的参数分别为 tA和 tB 则 AB tB tA tB tA 2 4tA tB 线段 AB 的中点所对应的参数值等于 tA tB 2 2 中心在 P x0 y0 半径等于 r 的圆 为参数 x x0 rcos y y0 rsin 3 中心在原点 焦点在 x 轴 或 y 轴 上的椭圆 为参数 x acos y bsin 或 x bcos y asin 4 参数方程化为普通方程 参数方程化为普通方程 由参数方程化为普通方程就是要消去参数 消参数时常常采用代入消元法 加减消元 法 乘除消元法 三角代换法 消参数时要注意参数的取值范围对 x y 的限制 2 高考热点突破高考热点突破 掌握极坐标方程与直角坐标方程 参数方程与普通方程 极坐标方程与 参数方程之间的互化是前提 例 例 在平面直角坐标系中 已知直线 的参数方程为 为参数 xOyl sin cos ty tx t 以原点为极点 以轴正半轴为极轴建立极坐标系 曲线的极坐标方程 0OxC 为 写出直线 的极坐标方程和曲线的直角坐标方程 cos1 p 0 plC 突破点突破点 1 求交点坐标 求交点坐标 2013 2013 全国全国 1 1 卷卷 已知曲线C1的参数方程为 t为参数 以坐标原点为极点 45cos 55sin xt yt x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 曲线C2的极坐标方程为 2sin 1 把C1的参数方程化为极坐标方程 2 求C1与C2交点的极坐标 0 0 2 解 1 将消去参数t 化为普通方程 x 4 2 y 5 2 25 45cos 55sin xt yt 即C1 x2 y2 8x 10y 16 0 将代入x2 y2 8x 10y 16 0 得 cos sin x y 2 8 cos 10 sin 16 0 所以C1的极坐标方程为 2 8 cos 10 sin 16 0 2 C2的普通方程为x2 y2 2y 0 由 22 22 810160 20 xyxy xyy 解得或所以C1与C2交点的极坐标分别为 1 1 x y 0 2 x y 2 4 2 2 相关练习 相关练习 1 在直角坐标系 xoy 中 圆 C 的参数方程 1 cos sin x y 为参数 以 O 为极点 x 轴 的非负半轴为极轴建立极坐标系 I 求圆 C 的极坐标方程 II 射线 OM 4 与圆 C 的交点 O P 两点 求 P 点的极坐标 解 圆 C 的参数方程化为普通方程是 22 1 1xy 即 22 20 xyx 又 222 xy cosx 于是 2 2 cos0 又0 不满足要求 所以圆 C 的极坐标方程是2cos 因为射线 4 OM 的普通方程为 0 yx x 3 联立方程组 22 0 1 1 yx x xy 消去y并整得 2 0 xx 解得1x 或0 x 所以 P 点的直角坐标为 1 1 所以 P 点的极坐标为 2 4 解法 2 把 4 代入2cos 得2cos2 4 所以P点的极坐标为 2 4 2 在平面直角坐标系中 直线 的参数方程为参数 以坐标原点为极xOyl 1 2 2 3 2 xt t yt 点 轴正半轴为极轴建立极坐标系 曲线 C 的极坐标方程为 x4cos 1 直线 的参数方程化为极坐标方程 l 2 求直线 的曲线交点的极坐标 lC0 02 解析 1 将直线 为参数 消去参数 化为普通方程 l 1 2 2 3 2 xt yt tt 2 分32 30 xy 将代入得 4 分 cos sin x y 32 30 xy 3 cossin2 30 2 方法一 的普通方程为 6 分C 22 40 xyx 由解得 或 8 分 22 32 30 40 xy xyx 1 3 x y 3 3 x y 所以 与交点的极坐标分别为 10 分lC 5 2 3 2 3 6 方法二 由 6 分 3 cossin2 30 4cos 得 又因为 8 分sin 2 0 3 0 02 所以或 2 5 3 2 3 6 4 所以 与交点的极坐标分别为 10 分lC 5 2 3 2 3 6 突破点突破点 2 求方程 求方程 真题试做 真题试做 2010 全国全国 1 卷卷 已知直线 C1 x1tcos sinyt t 为参数 C2 xcos siny 为参数 当 3 时 求 C1与 C2的交点坐标 过坐标原点 O 做 C1的垂线 垂足为 A P 为 OA 中点 当 变化时 求 P 点的轨迹的参数方程 并指出它是什么曲线 相关练习 相关练习 1 在直角坐标系 xOy 中 以 O 为极点 x 轴为正半轴为极轴建立极坐标系 圆 C 和直线 的l 极坐标方程分别为 2cos cos 2 其中 tan 2 0 求圆 C 和直线 的直角坐标方程 l 设圆 C 和直线 相交于点 A 和点 B 求以 AB 为直径的圆 D 的参数方程 l 解析 圆 C 的极坐标方程分别为 2cos 转化成直角坐标方程为 x 1 2 y2 1 由于 tan 2 0 则 极坐标方程 cos 2 转化成直角坐标方程为 x 2y 2 0 由 得 解得 A 2 0 B 则 设点 M x y 是圆 D 上的任意一点 则 所以 整理得 5x2 5y2 12x 4y 0 转化成标准形式为 转化成参数方程为 为参数 2 将圆上每一点的横坐标保持不变 纵坐标变为原来的 2 倍 得曲线 C 22 1xy 1 写出 C 的参数方程 2 设直线与 C 的交点为 以坐标原点为 220lxy 12 P P 极点 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 求过线段的中点且与 垂直的直线的极坐标方 12 PPl 5 程 设为圆上的点 经变换为C上点 x y 依题意 得 由 得 11 x y 1 1 2 xx yy 22 11 1xy 即曲线C的方程为 故 C 得参数方程为 t 为参数 22 1 2 y x 2 2 1 4 y x cos 2sin xt yt 由解得 或 2 2 1 4 220 y x xy 1 0 x y 0 2 x y 不妨设 则线段的中点坐标为 所求直线的斜率为 于是 12 1 0 0 2 PP 12 PP 1 1 2 1 2 k 所求直线方程为 化为极坐标方程 并整理得 11 1 22 yx 即2 cos4 sin3 3 4sin2cos 突破点突破点 3 长度与面积问题 长度与面积问题 真题试做 真题试做 2011 全国全国 1 卷卷 在直角坐标系xOy 中 曲线C1的参数方程为 2cos 22sin x y 为参数 M 是 C1上的动点 P 点满足2OPOM uu u vuuuv P 点的轨迹为曲线 C2 求C2的方程 在以O为极点 x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中 射线 3 与C1的异于极点的交点为A 与C2的异于极点的交点为B 求AB 2015 全国全国 1 卷卷 在直角坐标系 中 直线 圆 xOy 1 2Cx 22 2 121Cxy 以坐标原点为极点 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 I 求的极坐标方程 II 若直线的极坐标方程为 设 12 C C 3 C R 4 的交点为 求 的面积 23 C C M N 2 C MN 相关练习 相关练习 1 在直角坐标系中 半圆 C 的参数方程为 为参数 xOy 1 cos sin x y 0 以 O 为极点 x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 求 C 的极坐标方程 6 直线 的极坐标方程是 射线 OM 与半圆 C 的交l sin3cos 5 3 3 点为 O P 与直线 的交点为 Q 求线段 PQ 的长 l 解 解 半圆 C 的普通方程为 22 1 1 01 xyy 又 cos sinxy 所以半圆 C 的极坐标方程是 5 分 2cos 0 2 设为点 P 的极坐标 则有 解得 11 11 1 2cos 3 1 1 1 3 设为点 Q 的极坐标 则有 解得 22 222 2 sin3cos 5 3 3 2 2 5 3 由于 所以 所以 PQ 的长为 4 10 分 12 12 4PQ 2 已知点 Q 2 0 和点 线段 PQ 的中点为 M 2cos 2sin2 0 2Paaa I 求点 M 的轨迹的参数方程 设点 P 的轨迹与点 M 的轨迹交于 A B 两点 求 QAB 的面积 cos1 sin1 cos1 sin1 M x M y 解 1 由中点坐标公式可得 点的轨迹方程为参数0 2 2 22 2cos 0 2 2 4 2sin2 x xy y 由且 得点P的轨迹方程为 22 1 1 1 xy 由 1 得点M 的轨迹方程为 得公共弦所在直线方程为 1 2 xy 1413 2 224 1143 23 7 2248 ABQxy QABS 可求得点到直线的距离为 的面积为 突破点突破点 4 最值问题 最值问题 真题试做 真题试做 20142014 全国卷 全国卷 已知曲线 直线 为 参数 C 22 1 49 xy l 2 22 xt yt t 7 写出曲线的参数方程 直线 的普通方程 Cl 过曲线上任一点作与 夹角为的直线 交 于点 求的最大值与最小值 CPl o 30lA PA 2cos 3sin 60 x y lxy I 曲线C 的参数方程为为参数 直线的普通方程为2 cos sin 5 4cos3sin6 5 l d I I 曲线C 上任意一点P 23 到的距离为 2 54 5sin 6 tan sin3053 22 5 sin 5 2 5 sin 1 5 d PA PA PA 则其中为锐角 且 当 1时 取得最大值 最大值为 当时 取得最小值 最小值为 相关练习相关练习 1 在直角坐标系中 以为极点 轴正半轴为极轴建立直角坐标系 圆的极坐标xOyOxC 方程为 直线的参数方程为 为参数 直线和圆2 2cos 4 12 2 xt yt 交于两点 是圆上不同于的任意一点 C A BPC A B 1 求圆心的极坐标 2 求面积的最大值 PAB 解 解 圆的普通方程为 C022 22 yxyx 即 22 1 1 2 xy 所以圆心坐标为 1 1 圆心极坐标为 7 2 4 直线 的普通方程 圆心到直线 的距离l0122 yxl 所以 3 22 3 1122 d 3 102 9 8 22 AB 点直线距离的最大值为PAB 3 25 3 22 2 dr 8 9 510 3 25 3 102 2 1 max S 2 已知平面直角坐标系 以为极点 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 点的 xoy OxP 极坐标为 曲线的极坐标方程为 4 22 C sin4 写出点的直角坐标及曲线的普通方程 PC 若为上的动点 求中点到直线 为参数 距离的最小值 QCPQM ty tx l 2 23 t 3 在平面直角坐标系中 以坐标原点为极点 轴正半轴为极轴建立极坐标系 曲xOyOx 线的极坐标方程为 C sin2 0 2 求曲线的直角坐标方程 C 在曲线上求一点 使它到直线 为参数 的距离CDl 33 32 xt yt tt R 最短 并求出点的直角坐标 D 9 解解 解 解 由 sin2 0 2 可得 2 2 sin 因为 222 xy siny 所以曲线的普通方程为 或 C 22 20 xyy 2 2 11xy 解法一 解法一 因为直线的参数方程为 为参数 33 32 xt yt tt R 消去 得直线 的普通方程为 5 分tl35yx 因为曲线 是以为圆心 1 为半径的圆 C 2 2 11xy G 1 0 设点 且点到直线 的距离最短 00 D xyDl35yx 所以曲线在点处的切线与直线 平行 CDl35yx 即直线与 的斜率的乘积等于 即 7 分GDl1 0 0 1 31 y x 因为 2 2 00 11xy 解得或 0 3 2 x 0 3 2 x 所以点的坐标为或 9 分D 3 1 22 3 3 22 由于点到直线的距离最短 D35yx 所以点的坐标为 10 分D 3 3 22 2 解 解 因为直线 的参数方程为 为参数 l 33 32 xt yt tt R 消去 得直线 的普通方程为 tl350 xy 因为曲线是以为圆心 1 为半径的圆 C 2 2 11xy G 1 0 因为点在曲线上 所以可设点 DCD cos 1 sin 0 2 10 所以点所以点到直线到直线 的距离为的距离为 Dl 3cossin4 2 d 2sin 3 因为 所以当时 0 2 6 min 1d 此时 所以点的坐标为 D 3 3 22 D 3 3 22 4 2015 山西四校联考 在极坐标系中 曲线 C 的方程为 2 点 R 2 3 1 2sin2 2 4 1 以极点为原点 极轴为 x 轴的正半轴 建立平面直角坐标系 把曲线 C 的极坐标方 程化为直角坐标方程 R 点的极坐标化为直角坐标 2 设 P 为曲线 C 上一动点 以 PR 为对角线的矩形 PQRS 的一边垂直于极轴 求矩形 PQRS 周长的最小值 及此时 P 点的直角坐标 解 1 x cos y sin 曲曲线线 C 的直角坐的直角坐标标方程方程为为 y2 1 x2 3 点点 R 的直角坐的直角坐标为标为 R 2 2 2 设设 P cos sin 根据 根据题题意可得意可得 PQ 2 cos 33 QR 2 sin PQ QR 4 2sin 3 当当 时时 PQ QR 取最小取最小值值 2 6 矩形矩形 PQRS 周周长长的最小的最小值为值为 4 此此时时点点 P 的直角坐的直角坐标为标为 3 2 1 2 5 在极坐标系内 已知曲线的方程为 1 C 2 2cos2sin40 以极点为原点 极轴方向为轴正半轴方向 利用相同单位长度建x 立平面直角坐标系 曲线的参数方程为 为参数 2 C 51 4 5183 xt yt t 求曲线的直角坐标方程以及曲线的普通方程 1 1 C 2 C 设点为曲线上的动点 过点作曲线的两条切线 求这 2 2 C 1 C 两条切线所成角余弦的最小值 11 解 解 对于曲线的方程为 1 1 C 2 2 cos2sin 40 可化为直角坐标方程 即 22 2440 xyxy 22 1 2 1xy 对于曲线的参数方程为 为参数 2 C 51 4 5183 xt yt t 可化为普通方程34150 xy 过圆心过圆心点作直线的垂线 2 1 2 34150 xy 此时两切线成角最大 即余弦值最小 则由点到直线的距离公式可知 则 因此 22 3 14 2 15 4 34 d 1 sin 24 2 7 cos1 2sin 28 因此两条切线所成角的余弦值的最小值是 7 8 突破点突破点 6 范围问题 范围问题 2012 全国全国 1 卷卷 已知曲线的参数方程是 以坐标原点 1 C 3siny 2cosx 为参数 为极点 轴的正半轴为极轴建立坐标系 曲线的坐标系方程是 正方形x 2 C2 的顶点都在上 且依逆时针次序排列 点的极坐标为ABCD 2 C A B C DA 2 3 1 求点的直角坐标 A B C D 2 设为上任意一点 求的取值范围 P 1 C 2222 PAPBPCPD 相关练习 相关练习 以坐标原点为极点 以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 x 已知曲线的参数方程为 为参数 C 2cos 2sin xt yt t 1 曲线在点处的切线为 求 的极坐标方程 C 1 1 ll 2 点的极坐标为 且当参数时 过点的直A 2 2 4 0 t A 线与曲线有两个不同的交点 试求直线的斜率的取值范围 mCm 2cos 2sin xt yt 2 22 yx 点 1 1 C 在圆上 故切线方程为 2 yx 2 分 2cossin 切线的极坐标方程 2 4 sin 5 分 2 2 xky 与半圆 0 2 22 yyx 相切时 2 1 22 2 k k 12 014 2 kk 32 k 32 k 舍去 8 分 设点 0 2 B 22 22 02 AB K 故直线m的斜率的取值范围为 22 32 10 分 突破点突破点 7 直线参数 直线参数 t 的几何意义的运用的几何意义的运用 1 在平面直角坐标系中 过点的直线 的参数方程为 为参数 xOy 2 0 Pl 23xt yt t 圆的方程为 以坐标原点为极点 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 C 22 9xy Ox 1 求直线 和圆的极坐标方程 lC 2 设直线 和圆相交于两点 求的值 lC A B PAPB 22 1212121 2 4 2 3 204 2PAPBttttttt t 2 在平面直角坐标系中 曲线的参数方程为 为参数 以坐标原点xoy 1 C 2 4 4 xt yt t 为极点 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度 曲线的极坐标方程为Ox 2 C 2 cos 42 1 把曲线的方程化为普通方程 的方程化为直角坐标方程 1 C 2 C 2 若曲线 相交于两点 的中点为 过点作曲线的垂线交曲线 1 C 2 C A BABPP 2 C 13 于两点 求的值 1 C E F PEPF 解 解 消去参数可得 2 1 4 Cyx 2 10Cxy 112200 P A x yB xyABxy设 且中点为 所以 2 4 10 yx xy 联立可得 2 610 xx 1212 6 1 xxx x AB 中垂线的参数方程 12 0 00 3 2 12 xx x yx 2 3 2 2 2 2 xt t yt 为参数 代入中 得xy4 2 2 12 8 2160 16ttt t 所以 所以 12 16PEPFt t 3 已知平面直角坐标系中 过点的直线 的参数方程为xOy 1 2 P l 为参数 以原点为极点 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 1cos45 2sin45 xt yt tOx 曲线的极坐标方程为 直线 与曲线相交于不同的两点Csintan2a 0a lC M N 1 求曲线的直角坐标方程和直线 的普通方程 Cl 2 若 求实数的值 PMMN a 解 解 1 因为 为参数 直线 的普通方程为 1cos45 2sin45 xt yt tl10 xy 因为 所以 sintan2a 22 sin2cosa 由 得曲线的普通方程为 cos sin x y C 2 2 0 yax a 2 因为 因为 所以 设直线 上点对应的参数 2 2yax 0 x l M N 14 分别是 则 12 t t 12 0 0tt 12 PMtPNt 因为 所以 所以 PMMN 1 2 PMPN 21 2tt 将代入得 1cos45 2sin45 xt yt 2 2yax 2 2 2 2 4 2 0tata 所以 又因为 所以 12 1 2 2 2 2 4 2 tta t ta 21 2tt 1 4 a 4 已知曲线的极坐标方程是 直线 的参数方程是 为参C 2 2 2 1sin l 2 1 2 2 2 xt y t 数 1 将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程 C 2 设直线 与轴的交点是 直线 与曲线交于两点 求的lxPlC M N 11 PMPN 值 解 解 1 由 得 2 2 2 1 sin 222 2sin 又 所以 即 siny 222 xy 22 22xy 2 2 1 2 x y 故即为曲线的直角坐标方程 2 2 1 2 x y C 2 设直线 上点对应的参数分别是 l M N 12 t t 将直线的参数方程代入 得到 2 2 1 2 x y 2 3 210 2 tt 由根与系数的关系得 12 2 2 3 tt 12 2 3 t t 所以 2 1212 12 1212 4 11 2 2 ttt tttPMPN PMPNPMPNt tt t 5 在直角坐标系中 以原点为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 一直曲线 C 15 2 sin2 cosa a 0 过点 P 2 4 的直线 l 的参