鲜大权概率论与数理统计第13讲

1 西南科技大学理学院鲜大权 概率论与数理统计第13讲 纲要1 参数点估计复习2 置信区间与置信度3 正态总体均值与方差的区间估计4 单侧置信区间5 0 1 分布参数的区间估计6 小结 2 1 两种点估计法纲要 矩估计法 求矩 替换 解参数 最大似然估计法 似然函数 取对数 求最值 在统计问题中常先使用最大似然估计法 在最大似然估计法使用不方便时再用矩估计法 参数点估计 3 引言 从前面可看到 对于同一个参数 用不同的估计方法求出的估计量可能不相同 原则上任何统计量都可以作为未知参数的估计量 问题 1 对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好 2 评价估计量的标准是什么 下面介绍几个常用标准 二 估计量的评选标准 EvaluationRuleofEstimator 4 1 无偏性 Unbiased 无偏估计的实际意义 无系统误差 5 证 例10 6 特别的 不论总体X服从什么分布 只要它的数学期望存在 7 证 例11 8 该方法称为无偏化 9 2 最小方差性和有效性 MinimumVarianceandefficiency 由于方差是随机变量取值与其数学期望的偏离程度 所以无偏估计以方差小者为好 10 例12 2006数学一 设总体X的概率密度为 其中是未知参数 为来自总体的简单随机样本 记为样本值中小于1的个数 求的最大似然估计 例13 2004数学一 设总体X的分布函数为 其中未知参数 为来自总体的简单随机样本 求 I 的矩估计量 II 的最大似然估计量 11 例1 2006年12月期终考试 10分 设总体为它的一个样本 问下列统计量哪些是的无偏统计量 哪个无偏统计量更有效 12 3 相合性 相合性 或称一致性 是对估计量的一个基本要求 不具备相合性的估计量是不予以考虑的 13 2 评价估计量的三个标准 无偏性 有效性 相合性 由最大似然估计法得到的估计量 在一定条件下也具相合性 而估计量相合性只有当样本容量相当大时才显出优越性 这在实际中常难以做到 因此在工程中常只使用无偏性和有效性两标准 14 引言 为弥补点估计这一缺陷 20世纪30年代 统计学家Neyman奈曼引入了一种估计方法 该参数估计法称为区间估计 也称为置信区间法估计 15 一 置信区间与置信度 1 定义 置信区间 置信度 分别称为置信下限和置信上限 16 一旦有了样本 就把估计在区间内 对参数作区间估计 是要设法找出两个只依赖于样本的界限 两个统计量 q X1 Xn X1 Xn 两点要求 要求以很大的可能被包含在区间内 即概率要尽可能大 1可靠性 2精确性 要求估计的精确度尽可能高 即区间长度尽可能短 这是一对矛盾 一般是在保证可靠度的条件下尽可能提高精确度 2 置信度和置信区间的意义 17 3 说明 18 4 一般步骤 P163 19 二 正态总体均值与方差的区间估计 单个总体的情况两个总体的情况 20 一 单正态总体的情况 均值的置信区间 为已知 可得到的置信水平为的置信区间为 或 21 例1 P63 解 分三步完成 22 23 为未知 可得到的置信水平为的置信区间为 此分布不依赖于任何未知参数 由 或 24 例2 解 分三步完成 25 26 例3 有一大批糖果 现从中随机取16袋 称得重量 以克计 如下 506508499503504510497512514505493496506502509496设袋装糖果重量近似服从正态分布 试求总体均值的置信水平为0 95的置信区间 解 于是得到的置信水平为0 95的置信区间为 即 27 方差的置信区间 可得到的置信水平为的置信区间为 可得到标准差的置信水平为的置信区间为 28 例4 解 29 例5 有一大批糖果 现从中随机地取16袋 称得重量 以克计 如下 506508499503504510497512514505493496506502509496设袋装糖果的重量近似地服从正态分布 试求总体标准差的置信水平0 95为的置信区间 解 于是得到的置信水平为0 95的置信区间为 30 区间估计纲要信号 定统计量 查分位点 算区间 31 二 双正态总体的情况 两个总体均值差的置信区间 为已知 32 故 或 则得的置信水平为的置信区间为 33 为已知 其中 于是得到的置信水平为的置信区间为 其中 34 例6 为比较I 两种型号步枪子弹的枪口速度 随机地取I型子弹10发 得到枪口速度的平均值为标准差随机地取 型子弹20发 得到枪口速度的平均值为标准差假设两总体都可认为近似地服从正态分布 且生产过程可认为方差相等 求两总体均值差的置信水平为0 95的置信区间 35 解 依题意 可认为分别来自两总体的样本是相互独立的 又因为由假设两总体的方差相等 但数值未知 故两总体均值差的置信水平为的置信区间为 其中 36 这里 故两总体均值差的置信水平为0 95的置信区间为 即 3 07 4 93 37 两个总体方差比的置信区间 为已知 由 即 则得的置信水平为的置信区间为 38 例7 研究由机器A和机器B生产的钢管的内径 随机地抽取机器A生产的钢管18只 测得样本方差随机地取机器B生产的钢管13只 测得样本方差设两样本相互独立 且设由机器A和机器B生产的钢管的内径分别服从正态分布这里 i 1 2 均未知 试求方差比的置信水平为0 90的置信区间 39 即 0 45 2 79 解 故两总体方差比的置信水平为0 90的置信区间为 40 41 42 三 单侧置信区间 上述置信区间中置信限都是双侧的 但对于有些实际问题 人们关心的只是参数在一个方向的界限 如元件使用寿命过长没问题 过短就有问题了 这时可将置信上限取为 只考虑置信下限 这样的置信区间叫单侧置信区间 单侧置信区间和置信限的定义 若统计量满足 43 四 0 1 分布参数的区间估计 设总体X服从 0 1 分布 求参数p的置信水平为1 的置信区间 设X1 X2 Xn是一个样本 n较大 由中心极限定理有 P168例 44 五 考题选讲 1 1993数学三 设总体X的方差为1 据来自X的容量为100的简单随机样本 测得样本均值为5 则的数学期望的置信度近似等于0 95的置信区间为 2 1996数学三 由来自正态总体 容量为9的简单随机样本 若得到样本均值则未知参数的置信度0 95的置信区间是 注 45 3 一批零件的长度服从正态分布 其中均未知 现从中随机抽取16个零件 测得样本均值 样本标准差 则