2016八年级下勾股定理培优

2016八年级下勾股定理培优一选择题（共4小题）1ABC周长是24，M是AB的中点，MC=MA=5，则ABC的面积是（）A12B16C24D302如图，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，若在AB、AC上各取一点N、M，使得BM+MN的值最小，这个最小值为（）A12B10C16D203如图，已知O是矩形ABCD内一点，且OA=1，OB=3，OC=4，那么OD的长为（）A2B2C2D34如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）A13cmB2cmCcmD2cm二填空题（共5小题）5已知一个直角三角形的边长都是整数，且周长的数值等于面积的数值，那么这个三角形的三边长分别为6如图，设MON=20，A为OM上一点，OA=4，D为ON上一点，OD=8，C为AM上任一点，B是OD上任意一点，那么折线ABCD的长最小为7如图，设P是等边ABC内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，则APB的度数是8如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成33个小正方形其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用秒钟9在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=三解答题（共8小题）10长方形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长11如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？（2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？12如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在边BC的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长13如图，在ABC中，BAC=90，AB=AC，E、F分别是BC上两点，若EAF=45，试推断BE、CF、EF之间的数量关系，并说明理由14如图，四边形ABCD中，ABC=135，BCD=120，AB=，BC=5，CD=6，求AD15已知RtABC中，ACB=90，CA=CB，有一个圆心角为45，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N（）当扇形CEF绕点C在ACB的内部旋转时，如图1，求证：MN2=AM2+BN2；（思路点拨：考虑MN2=AM2+BN2符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决可将ACM沿直线CE对折，得DCM，连DN，只需证DN=BN，MDN=90就可以了请你完成证明过程）（）当扇形CEF绕点C旋转至图2的位置时，关系式MN2=AM2+BN2是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由16结论：在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=，PC=1求BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长李明同学做了如图2所示的辅助线：将BPC绕点B逆时针旋转60，画出旋转后的图形，连接PP，从而问题得到解决你能说说其中的理由吗？请你参考李明同学的思路，解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，BP=，PC=1求BPC度数的大小和正方形ABCD的边长17如图，正方形ABCD内一点E，E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求此正方形的边长2016八年级下勾股定理培优参考答案与试题解析一选择题（共4小题）1（2013天心区校级自主招生）ABC周长是24，M是AB的中点，MC=MA=5，则ABC的面积是（）A12B16C24D30【考点】三角形的面积菁优网版权所有【专题】计算题【分析】由M是AB的中点，MC=MA=5可知MA=MB=MC，依此可判定ACB=90斜边为10，两直角边和可求出，再求直角三角形ABC的面积【解答】解：MA=MB=MC=5，ACB=90周长是24，AB=10AC+BC=14，AC2+BC2=102，2ACBC=（AC+BC）2（AC2+BC2）=142102=424故选C【点评】解决本题的关键是根据所给条件判定三角形ABC是直角三角形2如图，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，若在AB、AC上各取一点N、M，使得BM+MN的值最小，这个最小值为（）A12B10C16D20【考点】轴对称-最短路线问题菁优网版权所有【专题】探究型【分析】作B关于AC的对称点B，连AB，则N点关于AC的对称点N在AB上，这时，B到M到N的最小值等于BMN的最小值，等于B到AB的距离BH，连B与AB和DC的交点P，再由三角形的面积公式可求出SABP的值，根据对称的性质可知PAC=BAC=PCA，利用勾股定理可求出PA的值，再由SABP=PABH即可求解【解答】解：如图，作B关于AC的对称点B，连AB，则N点关于AC的对称点N在AB上，这时，B到M到N的最小值等于BMN的最小值，等于B到AB的距离BH，连B与AB和DC的交点P，则SABP=2010=100，由对称知识，PAC=BAC=PCA，所以PA=PC，令PA=x，则PC=x，PD=20x，在RtADP中，PA2=PD2+AD2，所以x2=（20x）2+102，所以x=12.5，因为SABP=PABH，所以BH=【点评】本题考查的是最短路线问题及轴对称的性质，作出B点关于直线AC对称的点B是解答此题的关键3如图，已知O是矩形ABCD内一点，且OA=1，OB=3，OC=4，那么OD的长为（）A2B2C2D3【考点】矩形的性质；勾股定理菁优网版权所有【专题】计算题【分析】过O作EFAD于E，交BC于F；过O作GHDC于G，交AB于H，设CF=x，FB=y，AH=s，HB=t，则可得x2y2=169，t2s2=3212=8，整理得OD2=x2+s2=（y2+t2）1=8，即可解题【解答】解：如图，过O作EFAD于E，交BC于F；过O作GHDC于G，交AB于H设CF=x，FB=y，AH=s，HB=t，所以OG=x，DG=s所以OF2=OB2BF2=OC2CF2即42x2=32y2所以x2y2=169=7（1）同理有OH2=12s2=32t2所以t2s2=3212=8（2）又因为OH2+HB2=OB2即y2+t2=9（1）（2）得（x2+s2）（y2+t2）=1所以OD2=x2+s2=（y2+t2）1=91=8所以OD=2故选 B【点评】本题考查了矩形对角线相等且互相平分的性质，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中整理计算OD的长度是解题的关键4（2015资阳）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）A13cmB2cmCcmD2cm【考点】平面展开-最短路径问题菁优网版权所有【分析】将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A，根据两点之间线段最短可知AB的长度即为所求【解答】解：如图：高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，AD=5cm，BD=123+AE=12cm，将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A，连接AB，则AB即为最短距离，AB=13（Cm）故选：A【点评】本题考查了平面展开最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键同时也考查了同学们的创造性思维能力二填空题（共5小题）5已知一个直角三角形的边长都是整数，且周长的数值等于面积的数值，那么这个三角形的三边长分别为6，8，10或5，12，13【考点】勾股定理；三角形的面积菁优网版权所有【专题】计算题；分类讨论【分析】设三边长为a、b、c，其中c是斜边，则存在勾股定理和周长等于面积这两个等量关系，解方程组且根据a、b、c均为正整数可得a、b、c的值【解答】解：设三边长为a，b，c，其中c是斜边，则有（2）代入（1）得即因为ab0所以ab4a4b+8=0所以（a，b为正整数）所以b4=1，2，4，8，所以b=5，6，8，12；a=12，8，6，5；c=13，10，10，13，所以，三边长为6，8，10或5，12，13故答案为 6，8，10或5，12，13【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了分类讨论思想，本题中讨论a、b的值是解题的关键6如图，设MON=20，A为OM上一点，OA=4，D为ON上一点，OD=8，C为AM上任一点，B是OD上任意一点，那么折线ABCD的长最小为12【考点】轴对称-最短路线问题菁优网版权所有【专题】作图题；证明题【分析】作A关于ON的对称点A，D关于OM的对称点D，将折线长度问题转化为两点之间线段最短的问题；然后判断出ODA为直角三角形，利用勾股定理求出AD的长，即为折线的长【解答】解：如图，作A关于ON的对称点A，D关于OM的对称点D，连接AB，CD，则AB=AB，CD=CD，从而AB+BC+CD=AB+BC+CDAD，因为AON=MON=MOD=20，所以AOD=60，又因为OA=OA=4，OD=OD=8，所以OD=2OA，即ODA为直角三角形，且OAD=90，所以AD=，所以，折线ABCD的长的最小值是12【点评】此题考查了轴对称最短路径问题，此题要考虑两个点的对称点，将折线转化为线段的问题，并转化到直角三角形内利用勾股定理解答是解题的关键7（2011秋雁塔区校级期末）如图，设P是等边ABC内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，则APB的度数是150【考点】旋转的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理菁优网版权所有【专题】计算题【分析】将BPC绕点B逆时针旋转60得BEA，根据旋转的性质得BE=BP=4，AE=PC=5，PBE=60，则BPE为等边三角形，得到PE=PB=4，BPE=60，在AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到APE为直角三角形，且APE=90，即可得到APB的度数【解答】解：ABC为等边三角形，BA=BC，可将BPC绕点B逆时针旋转60得BEA，连EP，如图，BE=BP=4，AE=PC=5，PBE=60，BPE为等边三角形，PE=PB=4，BPE=60，在AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，AE2=PE2+PA2，APE为直角三角形，且APE=90，APB=90+60=150故答案为150【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等也考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理8（2015秋简阳市期末）如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成33个小正方形其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用2.5秒钟【考点】平面展开-最短路径问题菁优网版权所有【分析】把此正方体的点A所在的面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离在直角三角形中，一条直角边长等于5，另一条直角边长等于2，利用勾股定理可求得【解答】解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线（1）展开前面右面由勾股定理得AB=cm；（2）展开底面右面由勾股定理得AB=5cm；所以最短路径长为5cm，用时最少：52=2.5秒【点评】本题考查了勾股定理的拓展应用“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键9（2012庆阳）在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=4【考点】勾股定理；全等三角形的判定与性质菁优网版权所有【专题】规律型【分析】运用勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答【解答】解：观察发现，AB=BE，ACB=BDE=90，ABC+BAC=90，ABC+EBD=90，BAC=EBD，ABCBDE（AAS），BC=ED，AB2=AC2+BC2，AB2=AC2+ED2=S1+S2，即S1+S2=1，同理S3+S4=3则S1+S2+S3+S4=1+3=4故答案为：4【点评】运用了全等三角形的判定以及性质、勾股定理注意发现两个小正方形的面积和正好是之间的正方形的面积三解答题（共8小题）10（2015春黔南州期末）长方形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长【考点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）菁优网版权所有【专题】几何图形问题【分析】注意发现：在折叠的过程中，BE=DE从而设BE即可表示AE在直角三角形ADE中，根据勾股定理列方程即可求解【解答】解：设DE=xcm，则BE=DE=x，AE=ABBE=10x，ADE中，DE2=AE2+AD2，即x2=（10x）2+16x=（cm）【点评】注意此类题中，要能够发现折叠的对应线段相等11（2009秋天长市期末）如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？（2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？【考点】勾股定理的应用菁优网版权所有【专题】应用题【分析】（1）点到直线的线段中垂线段最短，故应由A点向BF作垂线，垂足为C，若AC200则A城不受影响，否则受影响；（2）点A到直线BF的长为200千米的点有两点，分别设为D、G，则ADG是等腰三角形，由于ACBF，则C是DG的中点，在RtADC中，解出CD的长，则可求DG长，在DG长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间【解答】解：（1）由A点向BF作垂线，垂足为C，在RtABC中，ABC=30，AB=320km，则AC=160km，因为160200，所以A城要受台风影响；（2）设BF上点D，DA=200千米，则还有一点G，有AG=200千米因为DA=AG，所以ADG是等腰三角形，因为ACBF，所以AC是DG的垂直平分线，CD=GC，在RtADC中，DA=200千米，AC=160千米，由勾股定理得，CD=120千米，则DG=2DC=240千米，遭受台风影响的时间是：t=24040=6（小时）【点评】此题主要考查辅助线在题目中的应用，勾股定理，点到直线的距离及速度与时间的关系等，较为复杂12（2012秋临清市期末）如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在边BC的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，则EC的长为3cm【考点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）菁优网版权所有【分析】能够根据轴对称的性质得到相关的线段之间的关系再根据勾股定理进行计算【解答】解：D，F关于AE对称，所以AED和AEF全等，AF=AD=BC=10，DE=EF，设EC=x，则DE=8xEF=8x，在RtABF中，BF=6，FC=BCBF=4在RtCEF中，由勾股定理得：CE2+FC2=EF2，即：x2+42=（8x）2，解得x=3EC的长为3cm【点评】特别注意轴对称的性质以及熟练运用勾股定理13如图，在ABC中，BAC=90，AB=AC，E、F分别是BC上两点，若EAF=45，试推断BE、CF、EF之间的数量关系，并说明理由【考点】旋转的性质；勾股定理菁优网版权所有【专题】开放型【分析】将ABE绕点A顺时针旋转90得ACG，根据旋转的性质得AG=AE，CG=BE，1=B，EAG=90，FCG=ACB+1=ACB+B=90，根据勾股定理有FG2=FC2+CG2=BE2+FC2；再根据EAF=45，易证得AGFAEF，则有FG=EF，即可得到BE、CF、EF之间的数量关系【解答】解：BE、CF、EF之间的数量关系为：EF2=BE2+FC2理由如下：BAC=90，AB=AC，将ABE绕点A顺时针旋转90得ACG，连FG，如图，AG=AE，CG=BE，1=B，EAG=90，FCG=ACB+1=ACB+B=90，FG2=FC2+CG2=BE2+FC2；又EAF=45，而EAG=90，GAF=9045=45，而AG=AE，AF公共，AGFAEF，FG=EF，EF2=BE2+FC2【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等也考查了勾股定理以及三角形全等的判定与性质14（2012大兴区一模）如图，四边形ABCD中，ABC=135，BCD=120，AB=，BC=5，CD=6，求AD【考点】勾股定理菁优网版权所有【专题】计算题【分析】作出辅助线，构建直角三角形，使AD成为直角三角形的一条边，根据勾股定理求解【解答】解：如图，过A作AEBC交CD于E，过B作BFAE于F，作CGAE于G，则1=45，2=60，则RtABF为等腰直角三角形，BCGF为矩形，又因为AB=，BC=5，所以BF=AF=AB=，所以CG=BF=，所以CE=CG=2，EG=CG=1所以AE=AF+FG+GE=AF+BC+GE=6DE=CDEC=62=4过D作DMAE延长线于MMED=180AED=180BCD=180120=60所以EM=DE=2，DM=DE=2在RtAMD中，AD=【点评】本题考查的是直角三角形中勾股定理的运用，作辅助线构建可以运用勾股定理的直角三角形是解题的关键15（2008天津）已知RtABC中，ACB=90，CA=CB，有一个圆心角为45，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N（）当扇形CEF绕点C在ACB的内部旋转时，如图1，求证：MN2=AM2+BN2；（思路点拨：考虑MN2=AM2+BN2符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决可将ACM沿直线CE对折，得DCM，连DN，只需证DN=BN，MDN=90就可以了请你完成证明过程）（）当扇形CEF绕点C旋转至图2的位置时，关系式MN2=AM2+BN2是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由【考点】圆心角、弧、弦的关系；勾股定理菁优网版权所有【专题】证明题；压轴题；探究型【分析】（）考虑MN2=AM2+BN2符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决可将ACM沿直线CE对折，得DCM，连DN，只需证DN=BN，MDN=90就可以了；（）还将ACM沿直线CE对折，得GCM，连GN，GCMACM，然后由勾股定理即可证明【解答】（）证明：将ACM沿直线CE对折，得DCM，连DN，DCMACM（1分）CD=CA，DM=AM，DCM=ACM，CDM=A又CA=CB，CD=CB（2分），DCN=ECFDCM=45DCMBCN=ACBECFACM=9045ACM=45ACMDCN=BCN （3分）又CN=CN，CDNCBN（4分）DN=BN，CDN=BMDN=CDM+CDN=A+B=90（5分）在RtMDN中，由勾股定理MN2=DM2+DN2，即MN2=AM2+BN2（6分）（）解：关系式MN2=AM2+BN2仍然成立（7分）证明：将ACM沿直线CE对折，得GCM，连GN，GCMACM（8分）CG=CA，GM=AM，GCM=ACM，CGM=CAM，又CA=CB，得CG=CBGCN=GCM+ECF=GCM+45BCN=ACBACN=90（ECFACM）=45+ACM得GCN=BCN （8分）又CN=CN，CGNCBNGN=BN，CGN=B=45，CGM=CAM=180CAB=135，MGN=CGMCGN=13545=90，在RtMGN中，由勾股定理，MN2=GM2+GN2，即MN2=AM2+BN2（9分）【点评】此题的关键是辅助线，让MN2=AM2+BN2符合勾股定理的形式，转化为在直角三角形中解决做几何题加辅助线是关键，所以学生要尽可能多的从题中总结，加辅助线的规律16（2014秋岳池县月考）结论：在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=，PC=1求BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长李明同学做了如图2所示的辅助线：将BPC绕点B逆时针旋转60，画出旋转后的图形，连接PP，从而问题得到解决你能说说其中的理由吗？请你参考李明同学的思路，解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，BP=，PC=1求BPC度数的大小和正方形ABCD的边长【考点】旋转的性质；等边三角形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；正方形的性质菁优网版权所有【分析】根据旋转得出AP=CP=1，BP=BP=，PBC=PBA，APB=BPC，求出ABP+ABP=60，得到等边BPP，推出PP=，BPP=60，求出APP=90即可求出BPC；过点B作BMAP，交AP的延长线于点M，由MPB=30，求出BM=，PM=，根据勾股定理即可求出答案；（2）求出BEP=（18090）=45，根据勾股定理的逆定理求出APP=90，推出BPC=AEB=90+45=135；过点B作BFAE，交AE的延长线于点F，求出FE=BF=1，AF=2，关键勾股定理即可求出AB【解答】（1）解：ABC是等边三角形，ABC=60，将BPC绕点B顺时针旋转60得出ABP，AP=CP=1，BP=BP=，PBC=PBA，APB=BPC，PBC+ABP=ABC=60，ABP+ABP=ABC=60，BPP是等边三角形，PP=，BPP=60，AP=1，AP=2，AP2+PP2=AP2，APP=90，BPC=APB=90+60=150，过点B作BMAP，交