2020届云南师范大学附属中学高考适应性月考卷（四） 数学（文）试题（解析版）

2020届云南师范大学附属中学高考适应性月考卷（四） 数学（文）试题一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD【答案】B【解析】解一元二次不等式化简集合，求出再与取交集，即可得答案.【详解】或，.故选：B.【点睛】本题考查集合的交、补运算，考查运算求解能力，属于基础题.2复数z满足，则ABCD【答案】B【解析】因为，所以,选B.3庄子.天下篇中有一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”如果经过天，该木锤剩余的长度为（尺），则与的关系为（ ）ABCD【答案】A【解析】每日所取长度是以为首项，为公比的等比数列，根据等比数列求和公式可求得取走的总长度，由此建立方程求得.【详解】设每日所取长度为，则是首项，公比的等比数列所取总长度 故选：【点睛】本题考查等比数列求和公式的应用，关键是能够通过已知条件确定每日所取长度构成的数列为等比数列，同时确定其首项和公比，进而利用等比数列的知识来进行求解.4若关于的不等式的解集为实数集，则实数的取值范围为（ ）ABCD【答案】A【解析】对二次项系数分成两种情况讨论，即，结合二次函数的图象，即可得答案.【详解】当时，不等式为，恒成立，满足题意；当时，则，解得，综上，实数的取值范围是.故选：A.【点睛】本题考查一元二次不等式的恒成立问题，考查函数与方程思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意判别式的应用.5已知命题，或，则为（ ）A，且B，或C，或D，且【答案】D【解析】利用全称命题的否定可得出命题的否定.【详解】由全称命题的否定可知，命题的否定为，且.故选：D.【点睛】本题考查全称命题否定的改写，要熟悉量词与结论的变化，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.6两个红球与两个黑球随机排成一行，从左到右依次在球上标记1，2，3，4，则红球上的数字之和小于黑球上的数字之和的概率为（ ）ABCD【答案】C【解析】列出红球与黑球排列的所有等可能结果，再利用古典概型概率计算公式求解.【详解】红球与黑球上标记数字情况用表格列举如下：红球1，21，31，42，32，43，4黑球3，42，42，31，41，31，2共6种情况，其中红球与黑球上数字之和相等的情况有两种，其余4种情况中红球上数字之和小于黑球上数字之和与红球上数字之和大于黑球上数字之和是“对等”的，各占一半，故所求概率为.故选：C.【点睛】本题考查古典概型概率计算，考查模型识别能力和运算求解能力，求解时注意列举法的应用.7定义在区间上的函数的图像与的图像交于点，过作轴的垂线，垂足为，直线与函数的图像交于点，则线段的长为（ ）ABCD【答案】A【解析】根据题意作出图象，联立方程，即可解得，又因为直线与函数的图像交于点，故即为所求线段的长.【详解】解：如图，联立，即，解得：出，又因为直线与函数的图像交于点即为所求线段的长，故选：A【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，利用数形结合是解决本题的关键.8某多面体的三视图如图所示，网格小正方形的边长为1，则该多面体最长棱的长为（ ）ABC3D【答案】C【解析】根据三视图还原几何体的直观图，再计算各条棱的长，并比较棱的大小，即可得答案.【详解】多面体的直观图如图所示，最长棱为，其长为3.故选：C.【点睛】本题考查利用三视图还原几何体的直观图、几何体棱长计算，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意考虑的所有的棱长大小.9如图是函数的部分图像，则（ ）A-2BC2D【答案】B【解析】根据图像求出函数的解析式，再求即可.【详解】解：根据图象，可知： ,，所以.故选:B.【点睛】本题考查由得部分图象求解析式和函数值，属于基础题.10已知，为坐标原点，则的最大值是（ ）ABCD【答案】C【解析】设，利用两点间的距离公式可得，再利用柯西不等式进行放缩，从而求得的最大值.【详解】设，则，取等号条件：；令，则，得.故选：C.【点睛】本题考查两点间的距离公式，勾股定理、柯西不等式的应用，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意不等式放缩时等号成立的条件.11已知定义在上的函数满足，对任意的实数，且，则不等式的解集为（ ）ABCD【答案】B【解析】根据题意设新函数，则可得，又因为即可算出，再根据，得到函数是增函数，根据增函数的定义即可求出的解【详解】解：设，则，对任意的，且，得，即，所以在上是增函数，不等式即为，所以，.故选：B【点睛】本题考查函数的单调性解不等式，属于中档题12在一个半圆中有两个互切的内切半圆,由三个半圆弧围成曲边三角形,作两个内切半圆的公切线把曲边三角形分隔成两块,阿基米德发现被分隔的这两块的内切圆是同样大小的,由于其形状很像皮匠用来切割皮料的刀子,他称此为“皮匠刀定理”,如图,若,则阴影部分与最大半圆的面积比为（ ）ABCD【答案】B【解析】设,则,建立平面直角坐标系,分别求出各点坐标,设两个小圆圆心,则根据圆与圆内切,解得.同理,得,由圆与圆内切,得,于是阿基米德“皮匠刀定理”得证.再对面积求比即可.【详解】解：设,则,建立如图所示的坐标系,设,则,得,所以,由圆与圆内切,得,解得.同理,得,由圆与圆内切,得,解得,于是阿基米德“皮匠刀定理”得证.,所以. 故选：B【点睛】本题考查圆与圆的位置关系的证明和由位置关系得出的面积的比,属于基础图.二、填空题13已知狄利克雷函数，则_.【答案】.【解析】利用分段函数在不同区间上的解析式不同即可得出【详解】解：因为函数所以，当时，故；当时，故；综上，；故答案为：【点睛】本题主要考查对函数概念的理解，正确理解分段函数的意义是解题的关键14设，是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，.给出下列三个论断：；以其中一个论断作为条件，余下两个论断作为结论，写出一个真命题：_.（用论断序号和推出符合“”作答）【答案】.【解析】根据直线与平面垂直，则直线与平面内的任意一条直线垂直可得；根据平面内的一条直线与另一个平面垂直，则两个平面垂直可得.【详解】解：.证明如下：因为，是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，故成立.，故成立.综上：成立.故答案为：【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定和直线与直线垂直的判定，解决此类题型要牢记判定定理.15双曲线：的左、右焦点分别为、，若以线段为直径的圆与的渐近线的交点恰是一个正六边形的顶点，则的离心率为_.【答案】.【解析】根据题意，为直径的圆与的渐近线的交点恰是一个正六边形的顶点，则此顶点与原点的斜率为 ，即渐近线的斜率为，由此可得的关系，进而得出离心率.【详解】解：以双曲线的两焦点为直径的圆与其的渐近线的交点恰是一个正六边形的顶点，则此顶点与原点的斜率为 ，即渐近线的斜率为，即得，所以.故答案为：【点睛】本题考查双曲线方程的性质，考查直线的斜率公式和离心率的求法，属于基础题.16已知数列满足，若，则_.【答案】【解析】由题意得，对方程两边平方得，再进行递推得到，两式相减提取公因式得到数列的周期，即可得答案.【详解】由题意，于是，-得，因为，所以，所以，所以数列是周期数列，周期为2，所以.故答案为：.【点睛】本题考查数列的递推关系、数列的周期性，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意利用多递推一项再相减的思想解决问题.三、解答题17已知三角形的面积为，在边上，内角，的对边分别为，.求，.【答案】，【解析】由利用三角形的面积比可得，再利用三角形的面积为，可得，从而求得的值，再利用余弦定理求得.【详解】如图，联立，解得，.在中，由余弦定理，得，所以.【点睛】本题考查三角形的面积公式、余弦定理的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.182019年9月24日国家统计局在庆祝中华人民共和国成立70周年活动新闻中心举办新闻发布会指出，1952年2018年，我国GDP从679.1亿元跃升至90.03万亿元，实际增长174倍；人均CDP从119元提高到6.46万元，实际增长70倍.全国各族人民，砥砺奋进，顽强拼搏，实现了经济社会的跨越式发展.特别是党的十八大以来，在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，党和国家事业取得历史性成就、发生历史性变革，中国特色社会主义进入新时代.如图是全国2012年至2018年GDP总量（万亿元）的折线图.注：年份代码17分别对应年份20122018.（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合与年份代码的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立关于的回归方程（系数精确到0.01），预测2019年全国GDP的总量.附注：参考数据：，.参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.【答案】（1）详见解析（2）关于的回归方程为;预测2019年全国GDP总量约为93.73万亿元【解析】（1）对式子进行变得，再将相关数据代入，即可求得的值；（2）将数据代入，求得，再利用回归直线经过样本点中心，可得，求得回归直线方程后，将代入方程即可得答案.【详解】（1）由折线图中的数据和附注中参考数据得，所以，因为与的相关系数近似为0.99，说明与的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系.（2）由及（1）得，所以关于的回归方程为.将2019年对应的代码代入回归方程得.所以预测2019年全国GDP总量约为93.73万亿元.【点睛】本题考查统计案例中的回归分析、最小二乘法求回归方程，考查函数与方程思想，考查数据处理和运算求解能力，求解时注意对公式的变形推导.19如图，楔形几何体由一个三棱柱截去部分后所得，底面侧面，楔面是边长为2的正三角形，点在侧面的射影是矩形的中心，点在上，且.（1）证明：平面；（2）求楔形几何体的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）连接交于，连接，则是的中点，利用线段的度量计算证明，即可得答案；（2）由（1）可知，楔形几何体由直三棱柱和四棱锥组成，利用柱体和锥体的体积公式计算即可.【详解】（1）如图，连接交于，连接，.则是的中点，.因为平面，所以平面平面，又平面平面，所以平面平面，根据题意，四边形和是全等的直角梯形，三角形和是全等的等腰直角三角形，所以，在直角三角形中，所以，.于是，所以，.因为平面，所以平面.（2）由（1）可知，楔形几何体由直三棱柱和四棱锥组成，直三棱柱的体积为，四棱锥的体积为，所以楔形几何体的体积为.【点睛】本题考查线面垂直判定定理、多面体的体积计算，考查转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意割补法的应用.20已知函数,为的导函数.（1）证明：在定义域上存在唯一的极大值点；（2）若存在,使,证明：.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）对函数求导得,当时, ；当时,所以在上递减,又因为,判断出单调性,即可证明在定义域上存在唯一的极大值点.（2）假设存在,使,代入函数得,整理得.设新函数,求导结果大于,在上递增,再设,则,即,整理可得,根据对数均值不等式得出.【详解】（1）,当时,“”不能同时取到,所以；当时,所以在上递减,因为,所以在定义域存在唯一,使且；当时,；当时,所以是在定义域上的唯一极值点且是极大值点.（2）存在,使,即,得.设,则,在上递增,不妨设,则,即,所以,得,根据对数均值不等式,可得,.【点睛】本意考查利用导数证明函数极值点,以及利用单调性和基本不等式证明定值问题.21已知椭圆：的一个焦点为，离心率为.（1）求的标准方程；（2）若动点为外一点，且到的两条切线相互垂直，求的轨迹的方程；（3）设的另一个焦点为，自直线：上任意一点引（2）所求轨迹的一条切线，切点为，求证：.【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】（1）根据离心率和焦点坐标可求得的值，进而得到椭圆的方程；（2）设，切点分别为，对点的位置进行讨论，即切线的斜率不存在和存在时；当设切线方程为代入椭圆的方程得到关于的二次方程，利用直线互相垂直得到的关系，从而得到点的轨迹的方程；（3）设，将，都用进行表示，即可得答案.【详解】（1）设，由题设，得，所以，所以的标准方程为.（2）设，切点分别为，当时，设切线方程为，联立方程，得，消去，得，关于的方程的判别式，化简，得，关于的方程的判别式，因为在椭圆外，所以，即，所以，关于的方程有两个实根，分别是切线，的斜率.因为，所以，即，化简为.当时，可得，满足，所以的轨迹方程为.（3）如图，设，所以，即.【点睛】本题考查椭圆的标准方程、点的轨迹方程、直线与椭圆的位置关系，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意坐标法的运用.22在平面直角坐标系中，是曲线段：（是参数，）的左、右端点，是上异于，的动点，过点作直线的垂线，垂足为.（1）建立适当的极坐标系，写出点轨迹的极坐标方程；（2）求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据的参数方程可得直角坐标方程,求出端点,求在处的切线斜率为和与轴的交点坐标,由垂直关系得的轨迹是以线段为直径的圆弧（不含端点）,由此建立极坐标系,得出极坐标方程.（2）设直线与以为圆心,为半径的圆交于两点,则根据半径相等,由相交弦定理,得,代入,即可得出最大值.【详解】解：（1）如图,曲线段即为抛物线上一段,端点,在处的切线斜率为,与轴的交点坐标为.因为,所以的轨迹是以线段为直径的圆弧（不含端点）,以线段的中点为极点,射线为极轴,建立极坐标系,则点轨迹的极坐标方程为.（2）设直线与以为圆心,为半径的圆交于两点,则,由相交弦定理,得,当,即时,最大,最大值为.【点睛】本题考查极坐标与参数方程之间的转化,以及极值问题,属于中档题.23已知,若关于的不等式的解集为.（1）求；（2）关于的方程的方程有三个相异实根,求的取值范围.