2013届第一次联考数学(理科)试题卷201212.doc

浙江省名校新高考研究联盟2013届第一次联考数学（理科）试题卷命 题：慈溪中学 施炎平 胡 平审 题：元济高级中学 甘建飞 德清县高级中学 江战明 永嘉中学 汪志强 校 稿：金勤宏 本试题卷分选择题和非选择题两部分满分150分，考试时间120分钟参考公式：如果事件，互斥，那么 棱柱的体积公式 如果事件，相互独立，那么 其中表示棱柱的底面积，表示棱柱的高 棱锥的体积公式如果事件在一次试验中发生的概率是，那么 次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中表示棱锥的底面积，表示棱锥的高 棱台的体积公式球的表面积公式 球的体积公式 其中分别表示棱台的上底、下底面积， 其中表示球的半径 表示棱台的高第I卷(选择题 共50分)一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求请将你认为正确的选项答在指定的位置上。）1已知是虚数单位，且复数是实数，则实数的值为（ ） A B C0 D2已知集合，是实数集，则（）=（ ）AR B C D 3一次函数的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是（ ）A B C D4当时，函数取得最小值，则函数是 （ ）A奇函数且图像关于点对称 B偶函数且图像关于点对称 C奇函数且图像关于直线对称 D偶函数且图像关于点对称5已知每项均大于零的数列中，首项且前项的和满足且，则（ ）A638 B639 C640 D6416已知为双曲线：上的点，点满足，且，则当取得最小值时的点到双曲线的渐近线的距离为（ ）A B C D7在平面斜坐标系中，点的斜坐标定义为：“若（其中分别为与斜坐标系的轴，轴同方向的单位向量），则点的坐标为”若且动点满足，则点在斜坐标系中的轨迹方程为（ ）A B C D.8在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且平面，则与平面所成角的正切值构成的集合是 （ ）A B C D (第8题图)9如果正整数的各位数字之和等于6，那么称为 “好数”（如：6，24，2013等均为“好数”），将所有“好数”从小到大排成一列 若，则 （ ）A50 B51 C52 D53 10设函数，若有且仅有一个正实数，使得对任意的正数t都成立，则=（ ）A5 B C3 D 第卷（非选择题，共100分）二、填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分。）11 在各项均为正数的等比数列中，若公比为，且满足=16，则 .12二项式（）展开式中的常数项是 .13执行如下图的程序框图，输出和,则的值为 . 14已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积是 . 正视图侧视图俯视图图图图（第13题图） （第14题图）15设圆，过圆心作直线交圆于、两点，与轴交于点，若恰好为线段的中点，则直线的方程为 .16设函数为坐标原点，为函数图象上横坐标为 的点，向量,向量，设为向量与向量的夹角，则满足的最大整数是 .17已知函数 . 若对任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 三、解答题：（本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）18在中，内角的对边分别为已知（）求的值；（）若为钝角，求的取值范围.19甲乙两支球队进行总决赛，比赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛就此结束因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为二分之一据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元（）求总决赛中获得门票总收入恰好为300万元的概率；（）设总决赛中获得的门票总收入为，求的均值20如图，为圆的直径，点、在圆上，矩形所在的平面与圆所在的平面互相垂直已知,（）求证：平面平面； （）求直线与平面所成角的大小；（）当的长为何值时，平面与平面所成的锐二面角的大小为？21已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆，它的离心率为，一个焦点和抛物线的焦点重合,过直线上一点M引椭圆的两条切线，切点分别是A,B.（）求椭圆的方程；（）若在椭圆上的点处的椭圆的切线方程是. 求证:直线恒过定点；并出求定点的坐标.（）是否存在实数，使得恒成立？(点为直线恒过的定点)，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。22. 已知函数（I） 若为的极值点，求实数的值；（II） 若在上为增函数，求实数的取值范围；（III） 当时，方程有实根，求实数的最大值.浙江省名校高考研究联盟2013届第一次联考数学(理科)参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）12345678910ACBCCBDDBD二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11. 5 12. 15 13. 13 14. 15. 或 16. 10 17. 4 三、解答题(本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或解题步骤)18. （本小题满分14分）解：（I）由正弦定理，设 则所以 4分即，化简可得 6分又，所以因此 8分 （II）由得 9分由题意， 12分 14分19. （本小题满分14分）解：（I）依题意，每场比赛获得的门票收入组成首项为40，公差为10的等差数列设此数列为，则易知，解得（舍去）或，所以此决赛共比赛了5场 3分则前4场比赛的比分必为，且第5场比赛为领先的球队获胜，其概率为； 6分（II）随机变量可取的值为，即220，300，390，490 7分又 8分 12分所以，的分布列为220300390490所以的均值为377.5万元 14分20. （本小题满分14分）（I）证明：平面平面,平面平面=，平面平面，2分又为圆的直径，平面 3分平面，平面平面 4分 （II）根据（）的证明，有平面，为在平面内的射影,因此，为直线与平面所成的角 6分，四边形为等腰梯形，过点作，交于,，则在中，根据射影定理，得 8分，直线与平面所成角的大小为 9分（）设中点为，以为坐标原点，、方向分别为轴、轴、 轴方向建立空间直角坐标系（如图）.设，则点的坐标为则 ,又 10分设平面的法向量为，则,即 令，解得 12分由（I）可知平面，取平面的一个法向量为，依题意 与的夹角为，即， 解得因此，当的长为时，平面与平面所成的锐二面角的大小为.14分21. （本小题满分15分）解：（I）设椭圆方程为。抛物线的焦点是，故，又，所以，所以所求的椭圆方程为 4分（II）设切点坐标为,直线上一点M的坐标。则切线方程分别为，。又两切线均过点M，即，即点A,B的坐标都适合方程，而两点之间确定唯一的一条直线，故直线AB的方程是，显然对任意实数t，点（1,0）都适合这个方程，故直线AB恒过定点。 9分（III）将直线AB的方程，代入椭圆方程，得，即所以不妨设，同理12分所以即。故存在实数，使得。 15分22. （本小题满分15分）解：（I）因为为的极值点，所以，即，解得。4分（II）因为函数在上为增函数，所以在上恒成立。6 分当时，在上恒成立，所以在上为增函数，故 符合题意。 7分 当时，由函数的定义域可知，必须有对恒成立，故只能，所以在上恒成立。 8分令函