121随机事件与概率

第一章 随机事件与概率内容提要 一 随机事件 1 随机事件满足下述性质的试验称为随机试验:(1) 可以在相同条件下重复进行试验; (2) 每次试验的可能结果不止一个, 但事先知道试验的所有可能结果;(3) 进行一次试验之前, 不能确定哪一个结果会出现.随机试验的所有可能结果的全体称为样本空间, 用(或)表示. 样本空间的元素, 即随机试验的每一个可能的结果称为一个样本点.样本空间的任意一个子集是一个随机事件, 简称事件. 一般用表示. 由一个样本点组成的子集称为基本事件.在一次随机试验中, 当且仅当出现的结果是属于事件的样本点时, 称在这次随机试验中事件发生. 每次试验子集都必然发生, 称为必然事件. 每次试验空子集都不会发生, 称为不可能事件. 2 随机事件的运算与关系(1) 事件的并集(或)称为与的和事件. 推广: 有限多个事件的和事件与无穷多个事件的和事件.(2) 事件的交集称为与的积事件. 推广: 有限多个事件的积事件与无穷多个事件的积事件.(3) 事件的差集称为与的差事件. (4) 作为子集, 如果有, 则称事件包含事件. 特例: 如果, 且, 则称事件与事件相等. 记作. (5) 作为子集, 如果有, 则称事件与事件互不相容. 特例: 如果, 则称事件是事件的对立事件. 记作. 3 事件的运算律(1) 和与积: 交换律 , 结合律 , 分配律 , (2) 对立事件: , , (3) 差事件: (4) 德摩根公式: , 二 概率 1 定义设是随机试验, 是样本空间. 对每个事件赋予一个实数, 称为事件的概率, 如果集合函数满足以下条件:(1) 非负性: ;(2) 归一性: ;(3) 可列可加性: 如果两两不相容, 则 2 性质(1) 不可能事件: .(2) 互不相容关系(有限可加性): 如果事件是两两不相容的事件, 则.(3) 包含关系(事件的差): 如果, 则.(4) 对立事件: . 不等式: .(5) 加法公式: . . 三 条件概率 1 定义设是两个事件, 且, 则称为在事件发生的条件下, 事件发生的条件概率. 乘法定理 设, 则.乘法定理的推论 设, 则. 2 全概率公式与贝叶斯公式设是样本空间, 是一组事件, 如果满足(1) 两两不相容; (2) ,则称为样本空间的一个划分. 全概率公式 设为样本空间的一个划分, 且, 则对任意事件, 有. 贝叶斯公式 设 为样本空间的一个划分, 且, 则对任意事件, 有. 3 两个事件的独立性对于事件与, 如果有, 则称事件与相互独立. 定理1 若与相互独立, 且, 则, 反之亦然. 定理2 事件对, , , 中有一对相互独立, 则另外三对也相互独立. 4 多个事件的独立性对于事件和, 如果有(1)(2)(3)(4)则称事件和相互独立. 如果只有后面三式成立, 称事件和两两独立. 注意 如果事件和相互独立, 则它们两两独立. 但是, 这个命题的逆命题不成立. 四 古典概型 1 定义与公式 古典概型具有下列特点:(1) 样本空间中样本点的个数有限;(2) 每个基本事件发生的概率相等. 古典概型公式: ，或简写作. 古典概型的条件概率公式:, 或简写作. 2 几何概率 几何概率公式: . 常见的几何度量有线段的长度，平面区域的面积与立体的体积等.一、填空题1在1到1000中随机地取一个整数，则取到的整数能被7整除的概率为2. 设一箱产品共有30件, 其中次品有5件, 现有一位顾客从中随机买走5件, 则下一顾客买一件产品买到次品的概率为 .3. 如果随机事件满足 ，则称为对立事件4. 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中的概率分别为0.5，0.4，则目标被命中的概率为_二、选择题1. 设随机事件满足 ，则事件( ). (A) 互不相容. (B) 相互独立. (C) 对立. (D) 不独立. 2. 设随机事件满足：，则( ).(A) 互为对立事件. (B) 互不相容.(C) 一定为不可能事件. (D) 不一定为不可能事件.3. 设随机事件，则下列结论正确的是( ).(A) . (B) .(C) . (D) . 4. 同时抛掷3枚匀称的硬币，则恰好有两枚正面向上的概率为( ). (A) 0.5 (B) 0.375 (C) 0.25 (D) 0.125 三、简单计算题1设随机事件与相互独立的，且，求2. 设为三个随机事件，且, , 求都不发生的概率.四、计算题1甲、乙两人同时对飞机进行射击，两人击中飞机的概率分别为0.5，0.8，飞机被一人击中而被击落的概率为0.4，被两人击中而被击落的概率为0.6. 假设甲、乙两人的射击状态是相互独立